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PublicouWilian Dimas Alterado mais de 10 anos atrás
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Corda é um segmento de recta que une dois pontos da circunferência
Circunferência é o conjunto dos pontos equidistantes de um ponto (centro) Raio é um segmento de recta que une um ponto da circunferência ao seu centro Diâmetro Corda é um segmento de recta que une dois pontos da circunferência Raio Diâmetro é toda a corda que passa pelo centro da circunferência O diâmetro é a maior das cordas O diâmetro divide a circunferência em duas semi-circunferências Corda
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Ângulo ao Centro e Arco de Circunferência
B Um ângulo formado por dois raios designa-se ângulo ao centro (o vértice do ângulo coincide com o centro da circunferência) Qualquer porção da circunferência determinada por dois dos seus pontos, que são os extremos do arco designa-se Arco de circunferência. Nota – Quando falamos em arco, sem nada acrescentar referimo-nos ao arco menor
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Pág.12 – exercício 1 Observa a circunferência de centro O da figura:
Ao ângulo ao centro ACB corresponde a corda [AB] e o arco [AB] e vice-versa. Numa circunferência, qualquer ângulo que não seja ao centro diz-se excêntrico. Pág.12 – exercício 1 Observa a circunferência de centro O da figura: Identifica quatro ângulos ao centro. Indica dois pares de ângulos ao centro geometricamente iguais. Classifica quanto aos lados o triângulo [EOD]. Triângulo isósceles
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- a cada ângulo ao centro corresponde um arco e vice-versa
B E D Numa circunferência: - a cada ângulo ao centro corresponde um arco e vice-versa - A arcos iguais correspondem cordas e ângulos ao centro iguais - A ângulos ao centro iguais correspondem arcos e cordas iguais C F G H I - A cordas iguais correspondem arcos e ângulos ao centro iguais - A amplitude de um arco é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente
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Observa a figura onde [MT] [EA].
Pág.13 – exercício 3 Observa a figura onde [MT] [EA]. Prova que Resposta: Esta afirmação é verdadeira porque se trata dos comprimentos dos lados de um quadrado, pois como [MT] e [EA] são diâmetros da circunferência, representam as diagonais de um quadrado, por serem iguais.
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Pág.13 – exercício 4 Na figura abaixo, [AD] é um diâmetro da circunferência de centro O, é a bissectriz do ângulo BOD. a) Calcula b) Que podemos concluir em relação a Porquê? c) E em relação a Porquê? A amplitude dos arcos é 60º porque a amplitude dos ângulos ao centro correspondentes também é 60º. Os comprimentos das cordas são iguais porque a arcos e ângulos ao centro iguais correspondem cordas iguais d) Supondo que , calcula o comprimento do arco AB.
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Observa as figuras e determina, em cada caso, os valores de x e y.
Pág.23 – exercício 1 a) e c) Observa as figuras e determina, em cada caso, os valores de x e y. a) Ângulos verticalmente opostos x y c) x+30º 2x - 10º
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Ângulo inscrito c F D Um ângulo formado por duas cordas designa-se ângulo inscrito (o vértice do ângulo coincide com um ponto da circunferência) E 80º A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados O ângulo ao centro tem de amplitude 80º, logo a amplitude do arco correspondente também é 80º, o que significa que a amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da do arco correspondente (80º/2=40º).
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Observa a figura e indica:
Pág.15 – exercício 6 Observa a figura e indica: a) Um ângulo ao centro; b) Um ângulo inscrito; c) Um arco de circunferência; d) Um raio de circunferência; e) Uma corda da circunferência.
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Considera a circunferência de centro O.
Pág.15 – exercício 7 Considera a circunferência de centro O. [AB] e [DC] são diâmetros. Porquê? Se , calcula: b1) b2) b3) b4) Porque são cordas que passam pelo centro. b5)
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Abre agora o programa Geogebra, no teu computador, e verifica o exercício anterior começando por:
traçar uma recta (com 2 pontos); desenhar uma circunferência (centro sobre um ponto e raio no outro); marcar os pontos A e B; marcar o ângulo AOD de 34º e os pontos D e C; marcar a corda DB; verificar todos os resultados.
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Ângulo inscrito Propriedades:
Os ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência são geometricamente iguais. Qualquer ângulo inscrito numa semi-circunferência é recto.
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Pág.17 – exercício 12 O triângulo [MAR] representado na figura é rectângulo em A e os seus três vértices pertencem à circunferência. Sabendo que e que calcula
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Abre novamente o programa Geogebra e verifica o exercício anterior começando por:
traçar uma recta com dois pontos; desenhar uma circunferência (centro sobre um ponto e raio no outro); marcar os pontos M e R; traçar o ângulo MRA de 30º; marcar o ponto A e a corda [MA]; verificar que o ângulo MAR é 90º; traçar uma recta perpendicular a MR e marcar o ponto Q; verificar todos os resultados.
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Eixo de simetria de uma circunferência
Qualquer recta que passe pelo centro de uma circunferência é eixo de simetria da circunferência.
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Qualquer recta que passe pelo centro de uma circunferência divide ao meio as cordas que lhe são perpendiculares, assim como os ângulos ao centro e os arcos correspondentes. Numa circunferência, arcos e cordas compreendidos entre cordas paralelas são geometricamente iguais.
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tangente A tangente a uma circunferência é perpendicular à recta que passa pelo centro e pelo ponto de tangência. ponto de tangência 90º Pág ex.16 a) b)
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Pág ex.17 a) b) c)
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Polígonos Polígono é o conjunto de pontos do plano limitado por uma linha fechada, formada por segmentos de recta unidos pelas extremidades. Polígono Não Polígono Os polígonos podem ser côncavos ou convexos. Côncavo Convexo
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Diagonal de um Polígono
Polígonos Polígono regular Um polígono regular é todo o polígono convexo com as seguintes características: todos os seus lados têm a mesma medida (são congruentes); todos os seus ângulos internos têm a mesma amplitude (são congruentes). Diagonal de um Polígono Diagonal de um polígono é qualquer segmento de recta cujos extremos são vértices não consecutivos do polígono.
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Polígonos Regulares Polígono N.º Lados Ângulo ao Centro Ângulo Interno
Triângulo equilátero 3 120º 60º Quadrado 4 90º Pentágono 5 72º 108º Hexágono 6 ... N 360º/N = Ângulo ao centro
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Polígonos Concluímos que:
A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono (convexo) de n lados é igual a (n-2) 180º. Pentágono triângulo Si = (5 - 2) 180º = = 3 180º = = 540º Si = (3 - 2) 180º = = 1 180º = = 180º Hexágono Si = (6 - 2) 180º = = 4 180º = = 720º
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Polígonos Concluímos que:
Num polígono convexo, qualquer que seja o número de lados, a soma dos ângulos externos é sempre 360º.
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Polígonos inscritos numa circunferência
N.º lados N.º triângulos Soma dos ângulos internos Triângulo 3 1 180º Quadrilátero 4 2 2 × 180º = 360º Pentágono 5 3 × 180º = 540º Hexágono 6 4 × 180º = 720º Heptágono 7 ? Octagono 8
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Polígonos Concluímos que:
Um polígono diz-se inscrito numa circunferência se esta contém todos os seus vértices. A circunferência diz-se circunscrita ao polígono. A amplitude do ângulo ao centro correspondente ao lado de um polígono regular de n lados é
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Polígonos Regulares Polígono N.º Lados Ângulo ao Centro (Ac)
Ângulo Interno (Ai) Triângulo equilátero 3 120º 60º Quadrado 4 90º Pentágono 5 72º 108º Hexágono 6 ... N Ac = 360º/N Ai = Ac
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Polígonos Página 31 – ex. 2 a) Página 31 – ex. 3
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Polígonos Página 31 – ex. 6 Página 31 – ex. 7
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Como se pode determinar a área de um polígono regular qualquer?
Polígonos Como se pode determinar a área de um polígono regular qualquer? [ABCDE] é um pentágono regular inscrito na circunferência. Dividimos o pentágono em cinco triângulos isósceles geometricamente iguais. Chama-se apótema de um polígono regular ao segmento de recta que une o centro do polígono com o ponto médio de qualquer um dos lados. o apótema do pentágono coincide com a altura de cada triângulo. h
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Polígonos A área do polígono regular [ABCDE] pode ser obtida multiplicando por 5 a área de um dos triângulos em que dividimos o pentágono. ap lado do pentágono. l
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Polígonos representa o perímetro do pentágono
De modo análogo prova-se que: P = perímetro do polígono ap = apótema de um polígono
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Polígonos Página 33 ex. 24 ex. 25 Apótema ex. 26
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Chama-se ISOMETRIA a uma transformação geométrica em que são conservados os comprimentos dos segmentos de recta e as amplitudes dos ângulos Translação Transforma uma figura F noutra figura F’ (imagem de F) tendo como referência um vector Reflexão Transforma uma figura F noutra figura F’ (imagem de F) conhecendo um eixo (recta) de simetria Rotação Transforma uma figura F noutra figura F’ (imagem de F) tendo um centro de rotação (ponto) e a amplitude (ângulo) da rotação
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Simetria uma roda dentada de uma máquina; aos ponteiros de um relógio;
Intuitivamente, todos nós sabemos o que é uma rotação, até porque usamos esse termo no dia-a-dia, quando nos referimos por exemplo: uma roda dentada de uma máquina; aos ponteiros de um relógio; à roda de um veículo; à hélice de um avião; ao movimento de rotação que a Terra faz em torno de si mesmo;
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Associado ao conceito de rotação está o conceito de ângulo orientado.
Deste modo, convencionou-se que o sentido contrário ao do movimento dos ponteiros de um relógio é o sentido positivo, enquanto que o sentido do movimento dos ponteiros de um relógio é o sentido negativo. Sentido positivo ângulo orientado +90º Sentido negativo ângulo orientado -90º
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A figura [A’B’C’D’E’] resulta da rotação de centro O e amplitude 90º da figura [ABCDE].
Por seu lado, a figura [ABCDE] resulta da rotação de centro O e amplitude -90º da figura [A’B’C’D’E’]
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O que é uma Rotação? Uma Rotação de centro O e amplitude - R(O,) é a aplicação que ao ponto O faz corresponder o próprio O e a cada ponto A da figura original faz corresponder um ponto A’, tal que No exemplo ao lado a amplitude do ângulo é 60º
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