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Circunferência é o conjunto dos pontos equidistantes de um ponto (centro) Corda é um segmento de recta que une dois pontos da circunferência Diâmetro é

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Apresentação em tema: "Circunferência é o conjunto dos pontos equidistantes de um ponto (centro) Corda é um segmento de recta que une dois pontos da circunferência Diâmetro é"— Transcrição da apresentação:

1 Circunferência é o conjunto dos pontos equidistantes de um ponto (centro) Corda é um segmento de recta que une dois pontos da circunferência Diâmetro é toda a corda que passa pelo centro da circunferência O diâmetro é a maior das cordas O diâmetro divide a circunferência em duas semi-circunferências Diâmetro Corda Raio Raio é um segmento de recta que une um ponto da circunferência ao seu centro

2 Ângulo ao Centro e Arco de Circunferência Um ângulo formado por dois raios designa-se ângulo ao centro (o vértice do ângulo coincide com o centro da circunferência) c A B Qualquer porção da circunferência determinada por dois dos seus pontos, que são os extremos do arco designa-se A AA Arco de circunferência. Nota – Nota – Quando falamos em arco, sem nada acrescentar referimo-nos ao arco menor

3 Ao ângulo ao centro ACB corresponde a corda [AB] e o arco [AB] e vice-versa. Numa circunferência, qualquer ângulo que não seja ao centro diz-se e ee excêntrico. Pág.12 – exercício 1 Observa a circunferência de centro O da figura: a)Identifica quatro ângulos ao centro. b)Indica dois pares de ângulos ao centro geometricamente iguais. c)Classifica quanto aos lados o triângulo [EOD]. Triângulo isósceles

4 - a cada ângulo ao centro corresponde um arco e vice-versa Numa circunferência: - A arcos iguais correspondem cordas e ângulos ao centro iguais - A ângulos ao centro iguais correspondem arcos e cordas iguais - A cordas iguais correspondem arcos e ângulos ao centro iguais - A amplitude de um arco é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente C F G H I C A B E D

5 Observa a figura onde [MT] [EA]. Pág.13 – exercício 3 Prova que Resposta: Esta afirmação é verdadeira porque se trata dos comprimentos dos lados de um quadrado, pois como [MT] e [EA] são diâmetros da circunferência, representam as diagonais de um quadrado, por serem iguais.

6 Na figura abaixo, [AD] é um diâmetro da circunferência de centro O, é a bissectriz do ângulo BOD. Pág.13 – exercício 4 a) Calcula b) Que podemos concluir em relação a Porquê? c) E em relação a Porquê? d) Supondo que, calcula o comprimento do arco AB. A amplitude dos arcos é 60º porque a amplitude dos ângulos ao centro correspondentes também é 60º. Os comprimentos das cordas são iguais porque a arcos e ângulos ao centro iguais correspondem cordas iguais

7 Observa as figuras e determina, em cada caso, os valores de x e y. Pág.23 – exercício 1 a) e c) xy a) c) x+30º 2x - 10º Ângulos verticalmente opostos

8 Ângulo inscrito Um ângulo formado por duas cordas designa- se ângulo inscrito (o vértice do ângulo coincide com um ponto da circunferência) E c F D A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados O ângulo ao centro tem de amplitude 80º, logo a amplitude do arco correspondente também é 80º, o que significa que a amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da do arco correspondente (80º/2=40º). 80º

9 Observa a figura e indica: Pág.15 – exercício 6 a) Um ângulo ao centro; b) Um ângulo inscrito; c) Um arco de circunferência; d) Um raio de circunferência; e) Uma corda da circunferência.

10 Considera a circunferência de centro O. Pág.15 – exercício 7 a)[AB] e [DC] são diâmetros. Porquê? b)Se, calcula: b 1 ) b 2 ) b 3 ) b 4 ) Porque são cordas que passam pelo centro. b5)b5)

11 Abre agora o programa Geogebra, no teu computador, e verifica o exercício anterior começando por:Geogebra traçar uma recta (com 2 pontos); desenhar uma circunferência (centro sobre um ponto e raio no outro); marcar os pontos A e B; marcar o ângulo AOD de 34º e os pontos D e C; marcar a corda DB; verificar todos os resultados.

12 Ângulo inscrito Propriedades: Os ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência são geometricamente iguais. Qualquer ângulo inscrito numa semi- circunferência é recto.

13 O triângulo [MAR] representado na figura é rectângulo em A e os seus três vértices pertencem à circunferência. Pág.17 – exercício 12 Sabendo que e que calcula.

14 Abre novamente o programa Geogebra e verifica o exercício anterior começando por:Geogebra traçar uma recta com dois pontos; desenhar uma circunferência (centro sobre um ponto e raio no outro) ; marcar os pontos M e R; traçar o ângulo MRA de 30º; marcar o ponto A e a corda [MA]; verificar que o ângulo MAR é 90º; traçar uma recta perpendicular a MR e marcar o ponto Q; verificar todos os resultados.

15 Eixo de simetria de uma circunferência Qualquer recta que passe pelo centro de uma circunferência é e ee eixo de simetria da circunferência.

16 Qualquer recta que passe pelo centro de uma circunferência divide ao meio as c cc cordas que lhe são perpendiculares, assim como os â ââ ângulos ao centro e os arcos correspondentes. Numa circunferência, arcos e cordas compreendidos entre cordas paralelas são geometricamente iguais.

17 A tangente a uma circunferência é perpendicular à recta que passa pelo centro e pelo ponto de tangência. tangente 90º Pág. 21 ex.16 a) b) ponto de tangência

18 Pág. 21 ex.17 a) b) c)

19 Polígono é o conjunto de pontos do plano limitado por uma linha fechada, formada por segmentos de recta unidos pelas extremidades. Polígono Não Polígono Os polígonos podem ser c cc côncavos ou c cc convexos. CôncavoConvexo PolígonosPolígonos

20 Polígono regular Um polígono regular é todo o polígono convexo com as seguintes características: todos os seus lados têm a mesma medida (são congruentes); todos os seus ângulos internos têm a mesma amplitude (são congruentes). Diagonal de um Polígono Diagonal de um polígono é qualquer segmento de recta cujos extremos são vértices não consecutivos do polígono. PolígonosPolígonos

21 Polígonos Regulares PolígonoN.º Lados Ângulo ao Centro Ângulo Interno Triângulo equilátero 3120º60º Quadrado490º Pentágono572º108º Hexágono660º120º... N360º/N = Ângulo ao centro

22 A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono (convexo) de n lados é igual a ( (( (n-2) 180º. triângulo Si = (3 - 2) 180º = = 1 180º = = 180º Pentágono Si = (5 - 2) 180º = = 3 180º = = 540º Hexágono Si = (6 - 2) 180º = = 4 180º = = 720º PolígonosPolígonos Concluímos que:

23 PolígonosPolígonos Num polígono convexo, qualquer que seja o número de lados, a soma dos ângulos externos é sempre º.

24 Polígonos inscritos numa circunferência PolígonoN.º ladosN.º triângulos Soma dos ângulos internos Triângulo31180º Quadrilátero422 × 180º = 360º Pentágono533 × 180º = 540º Hexágono644 × 180º = 720º Heptágono7?? Octagono8??

25 PolígonosPolígonos Concluímos que: A amplitude do ângulo ao centro correspondente ao lado de um polígono regular de n lados é Um p pp polígono diz-se inscrito numa circunferência se esta contém todos os seus vértices. A c cc circunferência diz-se c cc circunscrita ao polígono.

26 Polígonos Regulares PolígonoN.º Lados Ângulo ao Centro (Ac) Ângulo Interno (Ai) Triângulo equilátero 3120º60º Quadrado490º Pentágono572º108º Hexágono660º120º... NAc = 360º/NAi = Ac

27 Página 31 – ex. 2 a) PolígonosPolígonos Página 31 – ex. 3

28 Página 31 – ex. 6 PolígonosPolígonos Página 31 – ex. 7

29 Como se pode determinar a área de um polígono regular qualquer? Dividimos o pentágono em cinco triângulos isósceles geometricamente iguais. Chama-se apótema de um polígono regular ao segmento de recta que une o centro do polígono com o ponto médio de qualquer um dos lados. [ABCDE] é um pentágono regular inscrito na circunferência. o apótema do pentágono coincide com a altura de cada triângulo. h PolígonosPolígonos

30 A área do polígono regular [ABCDE] pode ser obtida multiplicando por 5 a área de um dos triângulos em que dividimos o pentágono. ap lado do pentágono. PolígonosPolígonos

31 representa o perímetro do pentágono De modo análogo prova-se que: P = perímetro do polígono ap = apótema de um polígono PolígonosPolígonos

32 PolígonosPolígonos Página 33 ex. 25ex. 24 ex. 26 Apótema

33 Chama-se ISOMETRIA a uma transformação geométrica em que são conservados os comprimentos dos segmentos de recta e as amplitudes dos ângulos -Translação Transforma uma figura F noutra figura F (imagem de F) tendo como referência um vector -Reflexão Transforma uma figura F noutra figura F (imagem de F) conhecendo um eixo (recta) de simetria -Rotação Transforma uma figura F noutra figura F (imagem de F) tendo um centro de rotação (ponto) e a amplitude (ângulo) da rotação

34 Intuitivamente, todos nós sabemos o que é uma rotação, até porque usamos esse termo no dia-a-dia, quando nos referimos por exemplo: uma roda dentada de uma máquina; aos ponteiros de um relógio; à roda de um veículo; à hélice de um avião; ao movimento de rotação que a Terra faz em torno de si mesmo; Simetria

35 Associado ao conceito de rotação está o conceito de ângulo orientado. Deste modo, convencionou-se que o sentido contrário ao do movimento dos ponteiros de um relógio é o sentido positivo, enquanto que o sentido do movimento dos ponteiros de um relógio é o sentido negativo. Sentido positivo ângulo orientado +90º Sentido negativo ângulo orientado -90º

36 A figura [ABCDE] resulta da rotação de centro O e amplitude 90º da figura [ABCDE]. Por seu lado, a figura [ABCDE] resulta da rotação de centro O e amplitude -90º da figura [ABCDE]

37 Uma Rotação de centro O e amplitude - R(O, ) é a aplicação que ao ponto O faz corresponder o próprio O e a cada ponto A da figura original faz corresponder um ponto A, tal que O que é uma Rotação? No exemplo ao lado a amplitude do ângulo é 60º

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