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O paralelogramo ABCD da figura tem 18cm de perímetro e os segmentos CM e DM estão contidos nas bissetrizes dos ângulos Ĉ e Ď. A medida de AD é a) 3cm.

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2 O paralelogramo ABCD da figura tem 18cm de perímetro e os segmentos CM e DM estão contidos nas bissetrizes dos ângulos Ĉ e Ď. A medida de AD é a) 3cm b) 3,2cm c) 3,4cm d) 3,6cm A M B CD x xx x 2x 2P = x + x + x + x + 2x 18 = 6x x = 3

3 Num trapézio isósceles, as bases medem 8cm e 3cm e os ângulos da base medem 60º. Seu perímetro é a) 20cm b) 21cm c) 22cm d) 24cm 3 60º 2,5 8 3 xx cos 60º = 2,5 x x 1 2 = x = 5 2P = x + x P = P = 21

4 As bases de um trapézio medem 4cm e 12cm. As diagonais desse trapézio dividem sua base média em três segmentos adjacentes proporcionais a a) 1, 2 e 1. b) 2, 3 e 2. c) 1, 2 e 3. d) 1, 3 e

5 As diagonais de um quadrilátero convexo medem 8m e 12m. Os pontos médios dos lados desse quadrilátero são vértices de um outro quadrilátero. Ele é um a) paralelogramo de 20m de perímetro. b) paralelogramo de 24m de perímetro. c) quadrilátero, não necessariamente paralelogramo, de 20m de perímetro. d) quadrilátero, não necessariamente paralelogramo, de 24m de perímetro

6 Em um triângulo, o ponto de encontro das bissetrizes internas, o ponto de encontro das alturas, o ponto de encontro das medianas e o ponto de encontro das mediatrizes dos lados denominam-se, respectivamente, a) circuncentro, ortocentro, baricentro e incentro. b) incentro, ortocentro, baricentro e circuncentro. c) incentro, baricentro, ortocentro e circuncentro. d) circuncentro, baricentro, ortocentro e incentro.

7 Na figura, M e N são os pontos médios dos lados AB e AC do triângulo ABC. Assinale a afirmativa FALSA. a) MN // BC b) MN = BC 2 c) BP = 2.PN d) MC = AC + BC 2 MN P BC A

8 A37. Dois círculos de raios 3cm e 4cm são tangentes externamente. Cada um deles tangencia, internamente, um terceiro círculo de raio 12cm. Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são os centros dos três círculos – 3 12 – 4 2P = 12 – – 3 = 24

9 Na figura, AC é um diâmetro do círculo e as retas r e s são tangentes ao círculo em A e B. Podemos afirmar que: a) = 2 b) + = 90º c) = 3 d) + 2 = 90º C s B A P r 90 – – º + = 180º = 2

10 Os segmentos PA, PB e QR são tangentes ao círculo da figura em A, B e C, respectivamente. Se PA = 8, calcule o perímetro do triângulo PQR. B A P C Q R 2P = 8 – y + y + 8 – x + x = 16 x y 8 – x x y 8 – y

11 Um triângulo ABC está circunscrito a um círculo. Os lados AB = 5cm, AC = 8cm e BC = 9cm tangenciam um círculo em M, N e P, respectivamente. Calcule AM. A BC M N P xx y yz z x + y = 5 x + z = 8 y + z = 9 x + y = 5 x + z = 8 –y – z = –9 2x = 4 x = 2

12 (UFES) Na figura, a medida de, em graus, é a) 52 b) 54 c) 56 d) 58 32º 58º 2 2 = 58º 2 = 58º

13 (Mack-SP) Na figura, sabe-se que m(CÂD) = 20º e m(CÊD) = 70º. Então, a medida de AMB é igual a a) 50º b) 45º c) 60º d) 30º O BA E DC M x 20º 100º 40º 70º 110º 50º x = 100º – 40º 2 x = 30º

14 (VUNESP) Sejam A, B e C pontos distintos no interior de um círculo, sendo C o centro do mesmo. Se construirmos um triângulo, inscrito no círculo, com um lado passando por A, outro por B e outro por C, podemos afirmar que este triângulo a) é acutângulo b) é retângulo c) é obtusângulo d) pode ser eqüilátero C A B diâmetro 180º 90º

15 Na figura, ABC é um triângulo inscrito no círculo, sendo BC diâmetro. A reta t é tangente ao círculo em A; e são os ângulos que t forma com AB e AC, respectivamente, e – = 38º. O ângulo Ĉ do triângulo ABC mede a) 58º b) 60º c) 62º d) 64º A t BC 90º – = 38º + = 90º 2 = 128º = 64º 128º 64º

16 As retas r e s da figura tangenciam o círculo em A e B. Então a medida x do ângulo assinalado é: a) 60º b) 65º c) 70º d) 75º P A B s r x 50º 2x 65º 2x = 130º x = 65º

17 30º Na figura, AB = 8 é diâmetro do círculo e P é o ponto médio de AQ. O perímetro do triângulo ABQ é a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 A P B Q 60º sen 30º = x = x x x = 4 2P = 8 3 = 24 O triângulo é eqüilátero

18 As bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo medem 5 e 9. Calcule a medida de cada um dos lados não-paralelos. x xx x y yy y 9 5 2x = 5 x = 2,5 2y = 9 y = 4,5 x + y = 2,5 + 4,5 = 7

19 A52. Dois lados consecutivos de um quadrilátero circunscrito a um círculo medem 6cm e 8cm. Calcule as medidas dos outros dois lados do quadrilátero, sabendo que seu perímetro é 30cm. a a b b 6 6 – a a a + b a + b = 30 2a + 2b = 14 a + b = 7 l 1 = a + b = 7 l 2 = a b = = 9

20 A53. Um quadrilátero convexo está inscrito a um círculo. Dois de seus ângulos internos medem 85º e 113º. A diferença das medidas dos outros dois ângulos internos é a) 23º b) 25º c) 28º d) 32º 85º 113º Dois ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são sempre suplementares 85º + x = 180º x = 95º 95º 113º + y = 180º y = 67º 67º 95º – 67º = 28º

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22 Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. ab cd

23 A3. O trapézio retângulo ABCD da figura é circunscritível em um círculo. Sendo r paralela às bases do trapézio, o valor de y é: a) 13,2 b) 13,8 c) 14,5 d) 15 AB CD x y r = x + y 36 = 16 + x + y 20 = x + y = 20 y y = 15

24 A4. Na figura, as retas r, s e t são paralelas cortadas por duas transversais. Se AC = AB, o perímetro do triângulo ABC é: a) 24 b) 25 c) 27 d) 30 60º r s t AC B x = 4 6 4x = 36 x = 9 O triângulo é eqüilátero 2P = 27

25 A5. O triângulo ABC é isósceles, de base AC. Se AM é bissetriz interna, o valor de x é: a) 13 b) 12 c) 10 d) 9 A B M C x 4 6 x – 4 x = 6 4 4x = 6x – 24 2x = 24 x = 12

26 A7. Na figura, os ângulos assinalados são congruentes. O perímetro do triângulo ABC é: a) 15 b) 15,5 c) 16 d) 16,5 B A C y x 3 + y 3 = y = 18 4y = 6 y = ,5 = x 2 x = 4 2P = 3 + y + x P = , P = 16,5

27 A8. A figura mostra um paralelogramo ABCD. Se M é ponto médio de CD e BD = 15, a medida de PB é: a) 8,5 b) 9 c) 10 d) 10,5 A BC D P M 3a 2a a 3a + a + 2a = 15 a = 2,5 PB = 7,5 + 2,5 PB = 10

28 A9. Na figura, o valor de x é: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 x caso L.L.L = x 5 6x = 60 x = 10

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30 Teorema da Bissetriz Interna A B C D AB BC = AD DC

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32 Se dois ângulos de um triângulo são, respectivamente, congruentes a dois ângulos de um outro triângulo, então eles são semelhantes (caso AA). C A B C A B Â = Â e Ĉ e Ĉ ABC ~ ABC

33 Se um ângulo de um triângulo é congruente a um ângulo de outro e os lados que formam esses ângulos são proporcionais, então os triângulos são semelhantes (caso LAL). C A B C A B AC = CB Ĉ = Ĉ ABC ~ ABC

34 Se os lados de um triângulo são proporcionais aos lados de outro, então eles são semelhantes (caso LLL). C A B C A B ABC ~ ABC AC = CB = BA

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36 a bc H 1a 2 = b 2 + c 2 2 a b = c H a · H = b · c 3 m H = H n H 2 = m · n 4 b a = m b b 2 = a · m 5 c a = n c c 2 = a · n mn

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38 QuadradoRetângulo l l S Quadrado = l 2 3 cm S = 3 × 3 = 9 cm 2 h b S Retângulo = b × h 3 cm 5 cm S = 5 × 3 = 15 cm 2

39 ParalelogramoTrapézio h b S Paralelogramo = b × h b h h bB bB S Trapézio = (B + b) · h 2

40 Losango S Losango = D × d 2

41 Polígono Regular Pode Ser Decomposto em Triângulos apap S Polígono = n · l · a p 2 semi-perímetro S Polígono = P · a p

42 r 2p Círculo = 2 r S Disco = · r · r r r R r S Coroa = (R 2 – r 2 ) S Segmento = S Setor – S Triângulo Segmento Circular Disco Setor Circular Coroa Circular S Setor = · r 2 360º · S Disco = r 2

43 Triângulo a b c h S Triângulo = a · h 2 S Triângulo Retângulo = b · c 2 S Triângulo = p(p – a)(p – b)(p – c) ll l S Triângulo Eqüilátero = l 2 3 4

44 Triângulo Circunscrito a b c r r r S Triângulo Circunscrito = c · r 2 + b · r 2 + a · r 2 S Triângulo Circunscrito = r · a + b + c 2 S Triângulo Circunscrito = P · r

45 Triângulo Inscrito 0 a b c h a 2R = h b S Triângulo Inscrito = c · h 2 S Triângulo Inscrito = a · b · c 4R h = a · b 2R

46 Triângulo Dado apenas um Ângulo e os Lados Correspondentes b a H S Triângulo = a · H 2 sen = H b b · sen = H S Triângulo = a · b · sen 2

47 (Faap) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na razão de 4 para 7. Admitindo-se que o perímetro desse terreno seja 66m, sua área, em m 2, é: a)250 b)300 c)252 d)246 a 4 b 7 a = 4/7 b 2a + 2b = 66a + b = 33 4/7b + b = 33b = 21 a + 21 = 33a = 12 S = a. b = 252

48 (Faap) Um out-door retangular tem área A. Se sua base aumenta 50% e sua altura diminui 50%, então sua área: a)não se altera. b)diminui 25%. c)aumenta 25%. d)aumenta 50%. S = x. y (x + x/2). (y – y/2) 3x/2. y/2 = (3x. y)/4 Diminuiu exatamente ¼ que representa 25%.

49 Os lados de um triângulo são proporcionais a 3, 4 e 5 e sua área é 45 cm 2. Calcular a medida da menor de suas alturas. x y z k x = 3k; y = 4k; z = 5k P = (3k + 4k + 5k)/2 = 6k 54 = 6k(6k – 3k)(6k – 4k)(6k – 5k) 54 = 6k 2 k = 3 A menor altura é relativa ao maior lado. z = = h. 15/2 h = 7/2

50 (OEMRJ) O triângulo mostrado na figura possui comprimento AC = 32, largura AE = 20 e B e F são pontos médios de AC e AE, respectivamente. A área do quadrilátero ABDF é: a)320. b)325. c)330. d)335. A A E E C C D D F F B B S = – [(32. 10)/2 + (20. 16)/2] S = 640 – ( ) S = 640 – 320 = 320

51 A área de um losango é 60 e uma de suas diagonais é o triplo da outra. A distância entre dois lados opostos do losango é: a)6. b)8. c)9. d)12. (D. d)/2 = 60 (3d. d)/2 = 60 d = 2 10 D = Aplicando Pitágoras: l 2 = l = = (x. 10)/2 x = x

52 (PUC-MG) O trapézio da figura é retângulo e representa o contorno de um terreno plano na escala 1 : Na figura, AB = 4cm, AD = 2cm e DCB = 45º. A área do terreno, em metros quadrados, mede: a)100. b)1000. c) d) A A D D C C B B 45º 2 2 S = [(4 + 6). 2]/2 S = 10 1 – – x x = cm 2 = 1000m 2

53 Um triângulo isósceles está inscrito numa circunferência de raio igual a 2 3 cm. Se os ângulos da base do triângulo medem 30º, calcule o perímetro e sua área. ll a S = (a. b. c)/4R S = (l. l. a)/ S = 1/2 (l. l. sen 120º) (l 2. a)/8 3 = l 2 3/4 a = 6 l 2 = l 2 + a 2 – (2la. cos30º) –36 = –2l. 6. 3/2 l = 2 3 S = ( )/4(2 3) S = 3 3cm 2 2P = cm

54 (Unicamp – Adapt.) Em um quadrilátero convexo ABCD, a diagonal AC mede 12cm e os vértices B e D distam, respectivamente, 3cm e 5cm de diagonal AC. Calcule a área do quadrilátero A D C B S = (5. 12)/2 + (3. 12)/2 = 48 cm 2

55 Na figura, BAE, ACE e FDE são ângulos retos e as medidas CD, AF e DF são 1, 2 e 3, respectivamente. A área do triângulo de vértices A, B e E é: a)9 2/2. b)12 3. c)24 3. d)32 3. A A B B E E C C D D F F 2 x x 3 x x = 6 h 64 = 16 + h 2 h = 4 3 y h 2 = y. 448 = 4yy = 12 S = ( )/2S = 32 3

56 (Fuvest – Adapt.) Considere o triângulo representado na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a 1cm. A área do triângulo, em cm 2, é: a)1,5 b)2. c)2,5. d)3. S = 2 S = (4 2. 2/2)/2

57 As diagonais de um paralelogramo medem 8 e 10 e formam, entre si, um ângulo de 60º. Calcule seu perímetro e sua área º 120º S = (2. ½ sen60º) + (2. ½ sen120º) S = ( 3/2) S = 20 3 x y x 2 = – ½x = 21 y 2 = – –½y = 51 2P = 2( )

58 Um terreno tem a forma do trapézio ABCD de figura, em que A é um ângulo reto. Sabe-se que AB mede 30m, AD mede 20m e DC mede 45m. Esse terreno será dividido em dois terrenos de mesma área, traçando-se uma paralela ao lado AD. A que distância de D deve ser traçada essa paralela? a)18m. b)18,25m. c)18,75m. d)19,25m. S = ( )20/2S = 750 A A D D C C B B 375 = 20. x x x = 18,75m

59 (Fuvest) O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe-se que A e B são extremidades de um diâmetro e que a corda BC mede 6cm. Então a área do triângulo ABC, em cm 2, vale: a)24. b)12. c)6 2. d)2 3. x = 36 + x 2 x = 8 S = ( )/(4. 5) S = 24

60 Num losango ABCD, a diagonal BD mede 2 5 e é a metade da diagonal AC. Sendo 0 o centro do losango e P um ponto de CD tal que OP seja perpendicular a CD, calcule a área do triângulo OPD x x 2 = x = 5 S = ( )/2S = a 5 = (5. a)/2a = b 5 = 4 + b 2 b = 1 S = ½ S = 1

61 (PUC-MG) A medida da área do triângulo ADB da figura é 2,2dm 2. O triângulo ABC é retângulo em A, sendo AC = 4dm e BC = 5dm. A distância do ponto D ao cateto AC, em centímetros, é: a)12. b)14. c)17. d)19. A A B B D D C C 4 5 x 25 = 16 + x 2 x = 3 S = (4. 3)/2S = 6 6 – 2,2 = 3,8 y 3,8 = (4. y)/2y = 1,9dm = 19cm

62 A17. Um trapézio está inscrito numa circunferência de raio R. Uma de suas bases é lado de um triângulo eqüilátero e a outra é lado de um hexágono regular, ambos inscritos na circunferência cujo centro é exterior ao trapézio. Calcule, em função de R, a área do trapézio. ahah r l h /2 l t /2 atat r l h = r l t = 3. r a h = ( 3/2). r a t = r/2. h h = a h – a t = [( 3/2). R] –r/2 S = [( 3r + r). ( 3r – r). ½]/2 S = [(3r 2 – r 2 ). ½]/2 = (2. r 2 )/4 S = r 2 /2

63 (Mack) Na figura a seguir, AC e BD medem, respectivamente, 8 3 e 5. Então, a área do quadrilátero ABCD é: a)30. b)35. c)40. d)60. P P A A D D C C B B 60º 5 – b b b a a (8 3) – a S = ½. [(5 – b). a. ( 3/2)] S = ½. [(5 – b). (8 3 – a). ( 3/2)] S = ½. [b. a. ( 3/2)] S = ½. [(8 3 – a). b. ( 3/2)] S = ¼. [120 – (5a 3) – 24b + (ab 3) + (5a 3) – (ab 3) + (ab 3) + 24b – (ab 3] S = ¼. 120 = 30

64 (Fatec) A altura de um triângulo eqüilátero e a diagonal de um quadrado tem medidas iguais. Se a área do triângulo eqüilátero é 16 3m 2, então a área do quadrado, em metros quadrados, é: a)6. b)24. c)54. d)96. (l t 3)/2 = l q 2 (l t 2 3/4) = 16 3 l t = 8 (8 3)/2 = l q 2 l q = 2 6 S = 24

65 (Mack) No hexágono regular da figura, a distância do vértice E à diagonal AC é 3. Então a área do polígono assinalado é: a)6. b)4 3. c)5 3. d)6 3. D D C C B B A A F F E E 3 3 – l l l sen30º = (3 – l)/l l = 2 S t = ½ /2 = 3 S h = (6. 4 3)/4 = 6 3 S p = 6 3 – 3 = 5 3

66 Dois círculos de centros P e Q são tangentes exteriormente e suas áreas medem e 16. Uma reta tangencia esses círculos em dois pontos distintos A e B. Calcule a área do quadrilátero de vértices A, B, P e Q S = [(1 + 4). 4]/2 S = 10

67 Um triângulo eqüilátero tem 9 3cm 2 de área. Calcule a área da coroa circular determinada pelos círculos inscrito e circunscrito. (l 2 3)/4 = 9 3 l = 6 3 R r tg60º = r/3 r = 3 cos30º = 3/R R = 2 3 S = R 2 – r 2 ( 3/2). R = 3 S = 12 – 3 S = 9

68 O apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência mede 3cm. Calcule a área da região exterior ao hexágono e interior à circunferência. 60º 3 tg60º = 3/(l/2) l = 2 3. l/2 = 3 S = 4 – 6 3 S = 4 – ( )/4

69 (UEL) Na figura a seguir, tem-se a reta r tangente à circunferência de centro C e o triângulo eqüilátero ABC, cujo lado mede 8 3cm. A área da região sombreada é, em cm 2 : a)48. b)36. c)30. d)24. A A B B C C r r h h = r r = 12 [(8 3) 2. 3]/4 = [(8 3). r]/2 4 S = [. (12) 2. 60]/360 = 144 /6 S = 24

70 (Cesgranrio) OPQ é um quadrante de círculo no qual foram traçados semicírculos de diâmetros OP e OQ. Determine o valor da razão entre as áreas hachuradas, a/b. a)1/ 2. b)1/2. c) /4. d)1. c c c c a a b b O O P P Q Q c + a = ( r 2 )/2 2c + a + b = ( 4r 2 )/4 2[( r 2 )/2 – a] + a + b = r 2 r 2 – 2a + a + b = r 2 –a + b = 0a = ba/b = 1

71 (UEL) Considere a região hachurada, no interior do círculo de centro O, limitada por semicircunferências, conforme mostra a figura a seguir. Se a área dessa região e 108 cm 2 e AM = MN = NB, então a medida do raio do círculo, em cm, é: a)9. b)12. c)16. d)18. B B N N O O M M A A 4r 2 – r 2 = 108 3r 2 = 108 r = 6 r R = 6. 3R = 18

72 (Unesp) O lado BC do triângulo ABC mede 20cm. Traça-se o segmento MN, paralelo a BC conforme a figura, de modo que a área do trapézio MNCB seja igual a ¾ da área do triângulo ABC. Calcule o comprimento de MN. A A B B C C M M N N 20 cm 20 H MN h 20 – MN H – h MN h [(20 + MN). (H – h)]/2 = 3/4. (20. H)/2 (20 + MN). (20 – MN)/20. H = 15H 400 – MN 2 = 300 MN 2 = 100 MN = 10 h H

73 (UEL) Na figura, o segmento BD é a mediana relativa ao lado AC do triângulo ABC. E e F são os pontos médios dos segmentos AD e BD, respectivamente. Se S é a área do triângulo ABC, então a área do quadrilátero ABFE é: a)3/16. S. b)1/4. S. c)5/16. S. d)3/8. S. C C B B A A E E D D F F ABD = S/2 S/2 – S/8 = (4S – S)/8 = 3S/8

74 (PUC-MG – Adapt.) O preço de uma pizza é proporcional a sua área. Uma pizza grande custa R$18,00 e tem diâmetro medindo 42cm. O preço de uma mini-pizza, cujo diâmetro é 14cm, é: a)R$2,00. b)R$3,00. c)R$4,00. d)R$6, x (18. 49)/441 = x x = 2

75 Os pontos médios dos lados de um hexágono regular são vértices de um outro hexágono regular. Calcule a razão entre as áreas do maior e do menor dos dois hexágonos. a a 2 = (l 2 /4) + (l 2 /4) + 2.(l/2. l/2. 1/2) a 2 = 3l 2 /4a = (l 3/)2 (6l 2 3/4) / {[6. (3l 2 3)/4]/4} 3/4

76 (Vunesp) Considere o triângulo retângulo isósceles ABC (reto em B) e o trapézio EFCD, cujos ângulos internos retos são os dos vértices F e C, conforme a figura a seguir. Sabe-se que a medida do segmento BF é igual a 8cm, do segmento DC é igual a 4cm e que sua área é 30cm 2. A medida de AB é: a)12cm. b)14cm. c)16cm. d)18cm. C C F F B B A A E E D D x y 8 4 x + 8 x y x = y [(4 + y). x]/2 = 30 4x + x 2 = 60 x 2 + 4x – 60 = 0S = –4 P = –60x | = –10 x || = 6 x = 6AB = x + 8AB = 14

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78 TriânguloQuadradoHexágono 30º a R l/245º a R l/2 60º a R l/2


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