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COLÉGIO GOYASES Prof. Kairo O. Silva contato:

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1 COLÉGIO GOYASES Prof. Kairo O. Silva contato:

2 1- Determine a medida de x + y. X= 1/2 ARCO (CBE) Y=1/2 ARCO (CDA) X+Y= ½ ARCO (CBE) + ½ ARCO (CDA) Temos que x = ½ [arco (CBA) + 70°] Logo: X + Y = ½ [arco(CBA) + 70°] + ½ arco(CDA) = 1/2 arco(CBA) ½ arco(CDA) = ½ [ arco(CBA) + arco(CDA)] + 35° = ½. 360° + 35° = 180° + 35° = 215° Resolução

3 2–( Mack-2007) Se = 0, 0 < x < π/2, sec 2 x vale : 6cosx tgx sen2x cosx a)4 b)2 c)1 d)3 e)5 Resolução: 6cosx. cosx -(tgx). (sen2x) = 0 6cos 2 x - senx/cosx. 2.senx.cosx = 0 6cos 2 x – 2sen 2 x = 0 6cos 2 x = 2sen 2 x 6/2 = sen 2 x / cos 2 x 3 = tg 2 x tgx = +/- 3 tx = 3 temos: sec 2 x = tg 2 x + 1 sec 2 x = Logo, sec 2 x = 4

4 3-(ITA-2008) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Identifique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao acaso nessa população. a)1/21 b)1/8 c)3/21 d)5/21 e)1/4 Resolução: Sendo os eventos: D: pessoas daltônicas H : homens M: mulheres Temos: P( H D) = 0,05 P( M D) = 0,0025 P(M / D) = 0,0025 / 0,05 + 0,0025 P(M / D) = 25/525 P(M / D) = 1/21

5 4-(ITA-2008) Um diedro mede 120°. A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume 43π cm 3 que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a : a) 33 b) 32 c) 23 d) 22 e) 2 Resolução: Ve = 43π 4 πr 3 /3 = 43π r 3 = 33 r = 3 cm sen60°= r / d 3 / 2 = 3 / d Logo, d = 2 cm

6 5–(ITA-2008) Considere o quadrado ABCD com lados 10 m de comprimento. Seja M um ponto sobre o lado AB e N um ponto sobre o lado AD, eqüidistantes de A. Por M traça-se uma reta r paralela ao lado AD e por N uma reta s paralela ao lado AB, que se interceptam no ponto O. Considere os quadrados AMON e OPCQ, onde P é a intersecção de s com o lado BC e Q é a intersecção de r com o lado DC. Sabendo-se que as áreas dos quadrados AMON, OPCQ e ABCD constituem, nessa ordem, uma progressão geométrica, então a distância entre os pontos A e M é igual, em metros, a. a) b) c) d) 15 – 55 e) RESOLUÇÃO A B CD M N s r Q P O x x 10 -x A sequência ( x 2, (10 – x) 2, 10 2 ) é uma PG [(10-x) 2 ] 2 = x (10 – x) 2 = 10x 100 – 20x + x 2 – 10 x = 0 X 2 – 30x = 0 X = 15 +/- 55 Como 0 < x < 10, temos X = ( )m

7 6 –(ITA -2009) Do triângulo de vértices A,B e C, inscrito em uma circunferência de raio R = 2 cm, sabe-se que o lado BC mede 2cm e o ângulo interno ABC mede 30°. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm, igual a. a) b) 1 / 3 c) 2/4 d) 23 – 3 e) 1 / 2 RESOLUÇÃO: AB C 30° 2 cm L 30° 120° Pela lei dos senos, temos: BC / senA = 2 R 2 / senA = 4 senA = 0,5 A = 30° Pela lei dos cossenos, temos L 2 = – ( - ½ ) L 2 = L = 23 Seja r o raio da circunferência inscrita no triângulo ABC S : sua área S = (2. 2) / 2. 3/2 S = 3 S = p. r 3 = (2 + 3)r R = (23 – 3)cm

8 7- (ITA – 2009) Se a = cos (π / 5) e b = sen (π / 5), então, o número complexo z = (cos π / 5 + i sen π / 5 ) 54 é igual a. a)a + bi b)- a + bi c)(1 – 2a 2 b 2 ) + ab(1 + b 2 )i d)a – bi e)1 – 4a 2 b 2 + 2ab(1 – b 2 )i RESOLUÇÃO: cos(54π / 5 ) + i sen(54π / 5) cos(10π + 4π/5) + i sen(10π + 4π/5) cos(4π/5) + i sen(4π/5) - cos(π/5) + i sen(π/5) Logo, z = - a + bi Lembrete: Z n = |z| n [cos(n.θ) + isen(n.θ)] Fórmula de De Moivre 4π/5π/5 x y

9 8 – (ITA-2009) Sejam C uma circunferência de raio R > 4 e centro ( 0,0 ) e AB uma corda de C. Sabendo que ( 1, 3) é o ponto médio de AB, então uma equação da reta que contém AB é. a)y + 3x – 6 = 0 b)y + x – 4 = 0 c)3y + x – 10 = 0 d)2y + 3x – 9 = 0 e)2y + x – 7 = 0 RESOLUÇÃO: A B C(0,0) d M(1,3) Cálculo do coeficiente angular m 1 = 3/1 = 3 Como a reta que contém AB é perpendicular a CM, temos: m 1. m 2 = - 1 m 2 = - 1/3 Usando a equação do feixe de retas y – y 0 = m(x – x 0 ) para a reta AB, temos: y – 3 = -1/3(x – 1) 3y – 9 = - x + 1 x + 3y – 9 – 1 = 0 x + 3y – 10 = 0

10 9–(ITA -2009) Considere o triângulo ABC de lados a = BC, b = AC e c = AB e o ângulo interno α = CBA, β = ABC e γ = BCA. Sabendo-se que a equação x 2 – 2bxcos α + b 2 – a 2 = 0 admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que: a)α = 90° b)β = 60° c)γ = 90° d)O triângulo é retângulo apenas se α = 45° e)O triângulo é retângulo apenas se b é hipotenusa RESOLUÇÃO: α β γ A B C Se c é raiz dupla, então pelo produto das raízes temos: c 2 = b 2 – a 2 c. c = (b 2 – a 2 )/1 b 2 = a 2 + c 2 Então, o triângulo é retângulo e b é hipotenusa a b c

11 10-(ITA-2008) Sendo [ - π/2, π/2 ] o contradomínio da função arcoseno e [0,π] o contradomínio da função arcoseno, assinale o valor de cos[ arcsen(3/5) + arccos(4/5) ]. a) 1/12 b) 7/25 c) 4/15 d) 1/15 e) 1/(25) RESOLUÇÃO: α α = arcsen(3/5) = arccos(4/5) sen α = (3/5) cos α = (4/5) Portanto, cos[arcsen(3/5) + arccos(4/5) ] cos(α + α) = cos 2 α - sen 2 α = (4/5) 2 – (3/5) 2 = 16/25 – 9/25 = 7/25

12 11-(ITA-2007) Se A,B e C forem conjuntos tais que n(A U B) = 23, n(B – A)= 12, n(C – A) = 10, n(B C) = 6 e n(A B C) = 4, então n(A), n(A U C), n(A U B U C) nesta ordem. a)Formam uma progressão aritmética de razão 6. b)Formam uma progressão aritmética de razão 2. c)Formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo último termo é 11 d)Formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31. e)Não formam uma progressão aritmética Resolução: n(A U B)= x+y+z = 23 x+y+z = 7 n(A) = 11 n(A U C) = 21 n(A U B U C) = 31 Assim: (11, 21, 31) é uma PA de razão 10 cujo último termo é 31

13 12- (ITA-2007) – Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada? RESOLUÇÃO: Das C 9,5 = 126 comissões possíveis sem nenhuma restrição, só não serve aquela constituída pelos 5 rapazes. Logo, tal comissão poderá ser formada de 126 – 1 = 125 formas distintas

14 13-(ITA-2009) Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de altura e de 60° de ângulo de vértice. Os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência e distam 23 cm do vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela esfera, em cm 3, é igual a: a) 416π/9 b) 480π/9 c) 500π/9 d) 512π/9 e) 542π/9 RESOLUÇÃO: O R 2R 2323 E A B C M 60° F O triângulo ABC é eqüilátero, pois o ângulo do vértice do cone ABC é igual a 60° e os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência. A altura do cone é 8 cm, então, AB = 163/3 cm Os triângulos MCB e CEO são semelhantes, logo (163/3)/ 2R = (8 / 23) R = 2 cm V cone – V esfera V = π (83/3) π2 3 (83/3) 33 V =( 416 π / 9 ) cm 3


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