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Triângulos Prof. Ilizete. 1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença entre os outros dois.

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1 Triângulos Prof. Ilizete

2 1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença entre os outros dois. a b c b - c a b + c

3 2) ELEMENTOS Altura: é o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto, perpendicularmente. Bissetriz interna: é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos de medidas iguais.

4 2) ELEMENTOS Observação: Teorema da Bissetriz Interna. A bissetriz interna de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados. A B C P

5 2) ELEMENTOS Mediana: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Mediatriz: é a reta perpendicular a um lado, que o divide em dois segmentos de mesma medida.

6 2) ELEMENTOS Baricentro: é o ponto de interseção das medianas. OBSERVAÇÃO: O baricentro divide cada mediana na razão 2/3 a partir do vértice.

7 2) ELEMENTOS Incentro: é o ponto de interseção das bissetrizes. OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Assim, o incentro é eqüidistante dos lados do triângulo.

8 2) ELEMENTOS Circuncentro: é o ponto de interseção das mediatrizes. OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Assim o circuncentro é equidistante dos vértices do triângulo.

9 2) ELEMENTOS Ortocentro: é o ponto de interseção das alturas.

10 2) ELEMENTOS OBSERVAÇÃO: Os pontos de interseções, baricentro, circuncentro e ortocentro, de uma maneira geral são pontos distintos. Mas em qualquer triângulo, eles estão alinhados (Reta de Euler) Se o triângulo for eqüilátero, os quatro pontos (baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro) são coincidentes.

11 3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes quando possuem lados homólogos* proporcionais e ângulos respectivamente de mesmas medidas. * lados homólogos: são lados opostos a ângulos iguais.

12 3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 45 o 60 o 50 o 2 cm 3 cm 4,5 cm 2 cm 3 cm 4 cm 8 cm 6 cm

13 4) RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO A B C a b c mn h b 2 = a.m c 2 = a.n h 2 = m.n a.h = b.c a 2 = b 2 + c 2

14 Questão 1: (UCSal/adaptada) Na figura abaixo têm-se o triângulo ABC, cujo perímetro é 26cm e o losango ADEF, cujos lados medem 4cm. Se BC mede 8cm e sendo AB paralelo à EF, os outros dois lados do triângulo ABC medem: a)5 e 13 b)6 e 12 c)7 e 11 d)8 e 10 e)9 e 9

15 Questão 2: (Fuvest) Num triângulo ABC, os ângulos B e C medem 50° e 70°, respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice A forma com a reta BC ângulos proporcionais a: a) 1 e 2 b) 2 e 3 c) 3 e 4 d) 4 e 5 e) 5 e 6

16 Questão 3: Dois navios partem de um mesmo ponto com velocidades iguais a VA= 15Km/h às 14 horas e VB= 60Km/h às 20 horas, formando entre si dimensões cujo ângulo é de 60°. Qual a distância que separa os navios às 22 horas do mesmo dia?

17 Questão 4: (UFRJ) Os pontos médios dos lados de um quadrado de perímetro 2x são vértices de um quadrado de perímetro:

18 Questão 5: (Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que, após caminhar 12,3 metros sobre a rampa, está a 1,5 metros de altura em relação ao solo. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.


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