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30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares.

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2 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares

3 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares

4 Teorema Fundamental da Trigonometria

5 Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

6 Continuação... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ 1

7 Continuação... )θ sen θ cos θ 1 Utilizando o teorema de Pitágoras h 2 = c 2 + c 2, temos : C M P Q D

8 Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo )θ)θ Cateto Adjacente Cateto Oposto Hipotenusa

9 Continuação... Cotangente de θ Secante de θ Cossecante de θ Tangente de θ Cosseno de θ Seno de θ Relação no Triângulo Retângulo Ente Trigonométrico

10 Na Circunferência Trigonométrica )θ cos sen 0 sen θ cos θ · tg tg θ

11 Continuação... )θ 0 · cotg cotg θ secante θ cossec θ

12 Arcos Notáveis 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360°

13 Tabela de Entes Trigonométricos...

14 Vamos pensar... ?

15 Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado? Observem a figura ao lado 1) Em relação ao ângulo, podemos dizer que o sen vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b

16 2) Em relação ao ângulo, podemos dizer que o cos vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b

17 3) Em relação ao ângulo, podemos dizer que a tg vale: a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c

18 4) Em relação ao ângulo, podemos dizer que a cotg vale: a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c

19 5) Em relação ao ângulo, podemos dizer que tg.cotg vale: a) 1/a b) 1/c c) 1/b d) 0 e) 1

20 6) Se a = 3b, podemos dizer então, que sen 2 + cos 2 vale: a) b 2 / a 2 b) 9c 2 / b 2 c) 0 d) 1 e) (c 2 + b 2 ) / 9a 2 Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que: sen 2 + cos 2 = 1

21 7) Em relação ao ângulo, podemos dizer que sec vale: a) tg 2 b) cotg 2 c) - 1 d) 0 e) 1

22 8) Em relação ao ângulo, podemos dizer que cossec vale: a) tg 2 b) cotg 2 c) - 1 d) 0 e) 1

23 9) Se sen b/c, então, calculando o valor de chegaremos a: a) a/c b) b/c c) a/b d) b/a e) 1 Procure sempre partir da relação fundamental Resposta na outra folha

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25 Voltando para a parte teórica...

26 Lei dos Senos Seja um triângulo ABC qualquer temos : ) ( A B C a c b

27 Lei dos Cossenos Seja um triângulo ABC qualquer temos : ) ( A B C a c b

28 Gráficos das funções trigonométricas Senóide sen x y x 0° 540 ° 720 ° 450 ° 630 ° 360 ° 270 ° 180 ° -180° -90° 90 ° 1 -1

29 Cossenóide cos x y x 0° 540° 720° 450 ° 630° 360 ° 270 ° 180 ° -180° -90° 90 ° 1 -1

30 Tangente tg x y x 0° 360 ° -90° 90° 180° 270° 450 ° 540° 630°

31 Cossecante y x 0° 540°720° 450 ° 630° 360 ° 270 ° 180 ° -180° -90° 90° 1 -1 cossec x

32 Secante 0° 540° 720° 450 ° 630° 360 ° 270 ° 180 ° -180° -90° 90° sec x y x 1 -1

33 Continuação... cotg x y x 0° 360 ° 90° 180° 270° 450 ° 540° 630° 720°

34 Trigonometria Algumas Aplicações

35 Parte Prática O exemplo clássico da Sombra Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos. São eles:uma distância um ângulo Observe a seguir...

36 portanto: Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo que vale 30°, podemos dizer então que:

37 Exemplo 01. Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?

38 Como poderíamos resolver essa situação? Como sugestão, faremos um desenho do que representa essa situação. Observemos: 6 metros 16,4 metros 2 metros Comprimento total da rampa solo

39 Observemos o triângulo retângulo em destaque... 2 metros 16,4 metros hip c.o. c.a. Temos em relação ao ângulo hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros

40 2 metros 16,4 metros hip c.o. c.a. Como: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros Obs.: quando dizemos que arcsen = 1/2, podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: qual é o arco, cujo seno vale 1/2?, a resposta seria dizer que = 30°.

41 Em nosso exercício, chegamos a conclusão que: sen = 0, , logo podemos encontrar o ângulo, com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN -1, então, devemos digitar 0, e a opção acima de sua calculadora. Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7, , que iremos considerar como aproximadamente 7°. Encontramos assim, a inclinação da rampa!

42 6 metros Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes, portanto, podemos dizer que é válido para ambos 2 metros 16,4 metros hip c.o. c.a. Como: Chegamos a conclusão que o comprimento total da rampa é 49,2 metros

43 Exemplo 2 Mecânica Geral ou Trigonometria?

44 Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde F 1 = 20N, F 2 = 100N, F 3 = 40N e F 4 = 10N, você seria capaz de determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)? Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros assuntos. Abaixo segue um problema CLÁSSICO de física e trigonometria

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50 Observe que são problemas bem clássicos e resolvidos da mesma forma.

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52 Desafio ! Mais um Problema Clássico de Vestibular

53 Questão01. Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco) Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )

54 Solução: Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio.

55 Igualando o h das equações ( I ) e (II) Como

56 30 metros 17 metros para subir a árvore 17 metros para descer da árvore Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe: De A até C ele percorreu = 64 metros v = 0,2 m/s

57 Portanto

58 RESUMÃO DE FÓRMULAS Rela ç ões b á sicas sen 2 α + cos 2 α = 1 tan α. cot α = tan 2 α = 1 / cos 2 α 1 + cot 2 α = 1 / sen 2 α Rela ç ões com quadrantes Obs: valores de ângulos em graus. Conversão para radianos: 90 π/2 180 π 270 3π/ π sen (90 + α) = + cos α sen (90 α) = + cos α sen (180 + α) = sen α sen (180 α) = + sen α cos (90 + α) = sen α cos (90 α) = + sen α cos (180 + α) = cos α cos (180 α) = cos α

59 RESUMÃO DE FÓRMULAS tag (90 + α) = cot α tan (90 α) = + cot α tan (180 + α) = + tan α tan (180 α) = tan α cot (90 + α) = tan α cot (90 α) = + tan α cot (180 + α) = + cot α cot (180 α) = cot α sen (270 + α) = cos α sen (270 α) = cos α sen (360 + α) = + sen α sen (360 α) = sen α cos (270 + α) = + sen α cos (270 α) = sen α cos (360 + α) = + cos α cos (360 α) = + cos α tan (270 + α) = cot α tan (270 α) = + cot α tan (360 + α) = + tan α tan (360 α) = tan α cot (270 + α) = tan α cot (270 α) = + tan α cot (360 + α) = + cot α cot (360 α) = cot α sen (α) = sen α cos (α) = + cos α tan (α) = tan α cot (α) = cot α sen (α ± k 360) = + sen α cos (α ± k 360) = + cos α tan (α ± k 180) = + tan α cot (α ± k 180) = + cot α O símbolo k significa um número inteiro e positivo.

60 RESUMÃO DE FÓRMULAS Relações com soma / diferença de ângulos sen (α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β cos (α ± β) = cos α cos β ± sen α sen β tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ± tan α tan β) cot (α ± β) = (cot α cot β ± 1) / (cot β ± cot α) Relações com soma / diferença / produto de funções sen α + sen β = 2 sen (α + β)/2. cos (α β)/2 sen α sen β = 2 cos (α + β)/2. sen (α β)/2 cos α + cos β = 2 cos (α + β)/2. cos (α β)/2 cos α cos β = 2 sen (α + β)/2. sen (α β)/2

61 a sen x + b cos x = (a 2 + b 2 ) sen (x + φ) onde φ = arctan b/a se a 0 ou φ = arctan b/a ± π se a < 0 tan α ± tan β = sen (α ± β) / (cos α cos β) cot α ± cot β = sen (β ± α) / (sen α sen β) sen α sen β = (1/2) cos (α β) (1/2) cos (α + β) sen α cos β = (1/2) sen (α + β) + (1/2) sen (α β) cos α cos β = (1/2) cos (α + β) + (1/2) cos (α β) tan α tan β = (tan α + tan β) / (cot α + cot β) = (tan α tan β) / (cot α cotβ) cot α cot β = (cot α + cot β) / (tan α + tan β) = (cot α cot β) /(tan α tan β) cot α tan β = (cot α + tan β) / (tan α + cot β) = (cot α tan β) /(tan α cot β) RESUMÃO DE FÓRMULAS

62 Relações diversas sen α = 2 sen α/2. cos α/2 cos α = cos 2 α/2 sen 2 α/2 tan α = sen α / cos α cot α = cos α / sen α sen α = tan α / (1 + tan 2 α) cos α = cot α / (1 + cot 2 α) tan α = sen α / (1 sen 2 α) cot α = cos α / (1 cos 2 α) sen α = (cos 2 α cos 2α)

63 Relações diversas cos α = 1 2 sen 2 α/2 tan α = [ (1/cos 2 α) 1 ] cot α = [ (1/sen 2 α) 1 ] sen α = [ (1 cos 2α) / 2 ] cos α = [ (1 + cos 2α) / 2 ] tan α = [ (1 cos 2 α) ] / cos α cot α = [ (1 sen 2 α) ] / sen α sen α = 1 / (1 + cot 2 α) cos α = 1 / (1 + tan 2 α) sen 2α = 2 sen α cos α

64 Relações diversas cos 2α = cos 2 α sen 2 α cos 2α = 2 cos 2 α 1 cos 2α = 1 2 sen 2 α tan 2α = 2 tan α / (1 tan 2 α) tan 2α = 2 / (cot α tan α) cot 2α = (cot 2 α 1) / (2 cot α) cot 2α = (1/2) cot α (1/2) tan α sen α/2 = [ (1 cos α) / 2 ] cos α/2 = [ (1 + cos α) / 2 ] tan α/2 = sen α / (1 + cos α) cot α/2 = sen α / (1 cos α) tan α/2 = (1 cos α) / sen α cot α/2 = (1 + cos α) / sen α tan α/2 = [ (1 cos α) / (1 + cos α) ]

65 Pessoal, espero ter contribuído um pouco mais para o seu sucesso. Abraços Fred Tavares


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