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Funções Elementares Pré-Cálculo - Profa. Marli. Definição - Função Exponencial Seja a um número positivo deferente de 1. A função é a função exponencial.

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1 Funções Elementares Pré-Cálculo - Profa. Marli

2 Definição - Função Exponencial Seja a um número positivo deferente de 1. A função é a função exponencial de base a, sendo a uma constante. O Dm(f) =R e a Im(f) = (0,+ ).

3 Definição-Crescimento e Decrescimento Exponenciais A função é um modelo para crescimento exponencial quando k> 0 e para descaimento exponencial quando k<0. Gráficos de (a) crescimento exponencial, k = 1.5 > 0 e (b) decaimento exponencial, k = –1.2 < 0.

4 Figura: y = 2 x, y = 3 x, y = 10 x.

5 Regras de Exponenciação Se a>0 e b>0, as afirmações a seguir são verdadeiras para quaisquer x e y reais.

6 Definição – Função Logaritmo de Base a A função logarítmica na base a, é a função inversa da função exponencial de base a. O domínio de é (0,+ ), a imagem de A imagem de é, o domínio de

7 O gráfico de 2 x e sua função inversa, log 2 x.

8 Propriedade dos Logaritmos Inversas para e Base a: Base e:

9 Propriedade dos Logaritmos Para qualquer número real x > 0 e y>0, Regra do Produto: Regra do quociente: Regra da Potencia:

10 Cada função exponencial é a potencia da função exponencial natural. Formula para mudança de base, sendo a,b,c>0 e a,c 1.

11 Função Trigonométrica e Suas Inversas – unidade radiano Semi-reta inicial xx P(x,y) y y r Semi-reta final Um ângulo na posição-padrão

12 Semi-reta inicial x P(x,y) y y r Semi-reta final Um ângulo - na posição- padrão x - -y r P(x,-y)

13 Quando r=1

14 Formulas para conversão 1 grau = /180 ~0.02 radianos 1 radiano = 180/ ~ 57 graus Tabela 17 - Valores de sen, con, tg para alguns valores do ângulo ( Grau) Radians / / / /6 45 /4 60 /3 90 / /4 180 Sen cos tg

15 Período das funções Trigonométricas Período : tg(x + ) = tgx cotg(x + ) = cotgx Período 2 : sen(x + 2 ) = sen x cos(x + 2 ) = cos x sec(x + 2 ) = sec x cossec (x + 2 ) = cossec x

16 Figura 39: Gráfico das funções (a) cosseno, (b) seno, (c) tangente, (d) secante, (e) cossecante e (f) cotangente utilizando a medida em radianos.

17

18 Identidade cos 2 + sen 2 =1 Dividindo essa identidade por cos 2 e depois por sen 2 temos: 1 + tg 2 = sec cotg 2 = cosec 2

19 Formula para soma dos ângulos e ângulos duplos cos( + )= cos( ) cos( )- sen( ) sen( ) sen( + )= sen( ) cos( ) +cos( ) sen( ) cos 2 = cos 2 - sen 2 sen2 = 2 sen cos Lei dos cossenos c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos A(b,0) b B(a cos,a sen a c a cos x y C

20 c 2 = (acos ( - ) +b) 2 + (a sen ( - )) 2 c 2 = a 2 cos 2 ( - ) +b 2 + 2abcos ( - )+ a 2 sen 2 ( - ) cos ( - ) = -cos sen ( - ) = sen cos 2 + sen 2 = 1 Logo c 2 = a 2 cos 2 +b 2 + a 2 sen 2 - 2abcos c 2 = a 2 (cos 2 + sen 2 ) +b 2 - 2abcos c 2 = a 2 +b 2 - 2abcos Lei dos cossenos c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos a sen ( - ) A(b,0) b B(a cos ( - ),a sen( - ) a c a cos( - ) x y C Triangulo Retângulo ( - ) * = 1

21 Inversos da função Trigonométrica Seja,Dm(f) = [-1,1], Im(f)=[0, ]. Determinar x sendo que f(x) = /3.

22 Figura : Gráficos de (a) y = arc cos x, (b) y = arc sen x, (c) y = arc tg x, (d) y = arc sec x, (e) y = arc cosec x e (f) y = arc cotg x.

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