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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Prof. João Candido Bracarense Costa, Dr.

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1 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Prof. João Candido Bracarense Costa, Dr.

2 Sumário FME / PDE Números Reais e Funções Logaritmo e Exponencial Trigonometria Polinômio Análise Combinatória Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico

3 DCM: Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico FME / PDE Data: 29/06/2007 Pela manhã G7 3 G7 ; Cruzeiro do Oeste e Foz do Iguaçu 3 Palestra do Mestrado em Educação Matemática Aula de Trigonometria Data: 06/07/2007 Pela manhã G7 3 Foz e 3 Barras 4 Goioerê 3 Chico 2 Toledo 2 Josemara 1 Clarice 1

4 Conteúdos: Funções FME / PDE Relações Funções Funções do 1º Grau Função Quadrática Função Modular Função Composta – Função Inversa

5 Relações FME / PDE Par Ordenado – conceito primitivo (a, b) = (c, d) a = c e b = d Sistema Cartesiano Ortogonal Teorema: entre o conj. de pontos P do pl cartesiano e o conj. dos pares ordenados (x p, y p ) de números reais existe uma correspondência biunívoca. Produto Cartesiano Def: Sejam A e B dois conjs. não vazios. Denominamos PC de A por B o conj. A X B cujos elementos são todos pares ordenados (x, y), x elto A e y de B. A X B = {(x, y)/ x X A e y X B}

6 Relações Relação Binária R é relação binária de A em B R T A X B -x X D y X B/(x, y) X R -y X Im x X A/(x, y) X R Relação Inversa - (y, x) X R -1 (x, y) X R FME / PDE

7 Funções f é função de A em B x X A, ! y X B/ (x, y) X f Domínio (Imagem): D (Im) é o conj. das abscissas (ordenadas) dos pontos tais que as retas verticais (horizontais) conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, i. e., é o conj. formado por todas as abscissas (ordenadas) dos pontos do gráfico f. Def. Duas funções, f de A em B e g de C em D são iguais sss A = C, B = D e f( x ) = g( x ) para todo x X A FME / PDE

8 Inequações Def.: Sejam as funções f(x) e g(x) com domínio D 1 e D 2 contidos no conj. dos Reais. Inequação na incógnita x é qq uma das sentenças abertas: f(x) > g(x)f(x) < g(x) f(x) P g(x) f(x) O g(x) Domínio de validade da inequação f(x) < g(x) é o conj. D = D 1 W D 2, onde D 1 é domínio da f e D 2 da g. Assim, para todo ponto x 0 XD, estão definidos f( x 0 ) e g( x 0 ). FME / PDE

9 Inequações O número real x 0 é solução da inequação f(x) > g(x) sss é verdadeira a sentença f(x 0 ) > g(x 0 ) O conjunto S de todos os números reais x tais que f(x) > g(x) é uma sentença verdadeira, chamamos de conjunto-solução da inequação. Diz-se que duas Inequações são equivalentes em D nos reais se o conjunto-solução da primeira é igual ao conjunto-solução da segunda. FME / PDE

10 Inequações Princípio 1. Sejam as fç f(x) e g(x) definidas em D 1 e D 2, respectivamente. Se a função h(x) é definida em D 1 W D 2, as inequações f(x) < g(x) e f(x) + h(x) < g(x)+ h(x) são equivalentes em D 1 W D 2. FME / PDE

11 Inequações Princípio 2. Sejam as fç f(x) e g(x) definidas em D 1 e D 2, respectivamente. Se a função h(x) é definida em D = D 1 W D 2 e tem sinal constante, então: (i) Se h(x) > 0, as inequações f(x) < g(x) e f(x). h(x) < g(x). h(x), são equivalentes em D (ii) Se h(x)< 0, as inequações f(x) g(x). h(x), são equivalentes em D FME / PDE

12 Funções do 1º Grau Função Constante f : R YR xYc Função Linear f : R YR xYax, a K 0 Função Afim f : R YR xYax + b, a K 0 FME / PDE

13 Funções do 1º Grau Função Afim -Gráfico -Coeficientes da função -Zero da função -Funções Crescentes e Decrescentes -Sinal da função FME / PDE

14 Inequações Simultâneas f(x) f(x) < g(x) g(x) < h(x) FME / PDE Inequações Produto/Quociente f(x). g(x) > 0 (f(x) e g(x) > 0) ou (f(x) e g(x) < 0) f(x). g(x) < 0 ; f(x). g(x) P 0; f(x). g(x) O 0

15 Função Quadrática FME / PDE Função Quadrática f : R Y R x Y ax 2 + bx + c, a K 0 -Gráfico -Concavidade -Forma Canônica -Zero de função -Máximo e mínimo -Vértice da parábola e Imagem -Eixo de simetria -Sinal

16 Inequação do 2º Grau FME / PDE -ax 2 + bx + c > 0 -ax 2 + bx + c < 0 -ax 2 + bx + c P 0 -ax 2 + bx + c O 0 Função Modular -Definição de módulo -Propriedades -Função -Equações modulares -Inequações modulares

17 Função Composta – Função Inversa FME / PDE Def.: Seja f uma fç de um conj. A em um conj. B e seja g uma fç de B em um conj. C; chama-se fç composta de g e f à fç h de A em C definida por: h(x) = g(f( x )) para todo x em A. h(x) = (g o f)(x) = g(f( x ))

18 Função Composta – Função Inversa FME / PDE f: A Y B f é sobrejetora y, y X B, x, x X A/ f(x)=y f é sobrejetora Im (f) = B f: A Y B f é injetora x 1, x 1 X A, x 2, x 2 X A ( x 1 K x 2 ) => f( x 1 ) K f( x 2 ) f: A Y B f é bijetora y, y X B, ! x X A / f(x)=y Teo:Seja f: A Y B. A relação inversa f -1 é uma fç de B em A sss f é bijetora.

19 Sumário FME / PDE Números Reais e Funções Logaritmo e Exponencial Trigonometria Polinômio Análise Combinatória Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico

20 Conteúdos: Logaritmo e Exponencial FME / PDE Potências e Raízes Função Exponencial Logaritmos Função Logarítmica Equações Exponenciais e Logarítmicas Inequações Exponenciais e Logarítmicas Logaritmos Decimais

21 Potências e Raízes FME / PDE DEF.: Dado um número real a natural. Potência de base a e expoente n é o número a n tal que: a 0 = 1, para a K0 a n = a n-1.a, n P 1 DEF.: Dado um número real a não nulo, e um número n natural, define-se a potência a -n pela relação: a -n = 1/a n

22 Potências e Raízes FME / PDE DEF.: Dados um número real não negativo, a, e um n natural, demonstra-se que existe sempre um real positivo ou nulo b tal que b n = a. b = raiz n-ésima aritmética de a a = radicando e n = índice OBS.: [¬ n /(a)] n = a; ¬/36 = 6 não é (- 6); ¬/a 2 = !a!; Assim, ¬/x 2 = !x! e, ¬/(x-1) 2 = = !x-1! = x – 1, se x > 1; 0, se x = 1; 1 – x, se x < 1 Propriedades: página 20

23 Função Exponencial FME / PDE DEF.: Dado um número real a, tal que a seja maior que zero e diferente de 1, diz-se função exponencial de base a a função f de R em R (conj dos reais) que associa a cada x real o número a x. Propriedades: pág 23 a pág 29

24 Função Exponencial FME / PDE Imagem => Im = reais positivos Gráfico: y=a x (a > 1), fç crescente (0< a <1), fç decrescente

25 Equações Exponenciais (EE) FME / PDE DEF.: EE são equações com incógnita no expoente. Exemplo 1: 2 x = 64 Exemplo 2: 4 x – 2 x = 2 Exemplo 3: 2 x = 3 Método da redução a uma base comum Exs 1 e 2

26 Inequações Exponenciais (IE) FME / PDE DEF.: IE são as inequações com incógnita no expoente. Exemplo 1: 2 x > 32 Exemplo 2: 4 x – 2 = 2 x Método da redução a uma base comum Se b e c são números reais então: a > 1 => a b > a c b > c 0 a b > a c b < c

27 Logaritmos FME / PDE DEF.: se a e b são números reais e positivos, com a diferente de 1, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b (logaritmando ou número).

28 Logaritmos FME / PDE Sistemas de Logaritmos: -decimal -Neperiano Prop: pág 56 Conseqüência da definição: Mudança de Base -Propriedades -Conseqüências pág 64

29 Função Logarítmica FME / PDE DEF.: Dado um número real a, positivo e diferente de 1, chamamos de função logarítmica de base a a função f de R* + em R que associa a cada x o número: Propriedades: pág 69 a pág 71. Imagem: Im = R Gráfico: fç crescente e fç decrescente

30 Equações Exponenciais FME / PDE Exemplo:

31 Equações Logarítmicas FME / PDE 1º Tipo: pág. 79 2º Tipo: pág. 80 3º Tipo: são as equações que resolvemos fazendo inicialmente uma mudança de incógnita. pág. 81

32 Inequações Exponenciais FME / PDE IE que não podem ser reduzidas a uma desigualdade de potências de mesma base.

33 Inequações Logarítmicas FME / PDE 1º Tipo: pág. 97 2º Tipo: pág º Tipo: idem pág. 101

34 Logaritmos Decimais FME / PDE Característica -Regra 1: (x > 1): A caract. do logaritmo decimal de um número x > 1 é igual ao número de algarismos de sua parte inteira, menos 1. Exemplo: log 2,3 => c = 0; log 23 => c = 1 -Regra 2: (0 < x < 1): a caract é o oposto da qt de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo. Exemplo: log 0,2 => c = -1; log 0,00053 => c = -4

35 Logaritmos Decimais FME / PDE Mantissa -Obtida nas tábuas de logaritmos. -Propriedade: A mantissa do logaritmo decimal de x não se altera se multiplicarmos x por uma potência de 10 com expoente inteiro. Assim, os logaritmos decimais dos números 2; 20; 200; 2000; 0,2; 0,002 tem todos a mesma mantissa 0,3010; mas as caract. são, resp, 0; 1; 2; 3; -1; -3.

36 Sumário FME / PDE Números Reais e Funções Logaritmo e Exponencial Trigonometria Polinômio Análise Combinatória Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico

37 Conteúdos: Trigonometria FME / PDE Arcos e Ângulos Funções Circulares Relações Fundamentais Redução ao 1º Quadrante Transformações Equações Inequações

38 Arcos e Ângulos FME / PDE Arcos de Circunferência DEF.: Dados 2 pts distintos A e B sobre uma circunf, esta fica dividida em duas partes. Cada uma dessas partes, que incluem A e B, é denominada arco de circunferência AB Medidas de Arcos => identificação de uma unidade, cujo raio é idêntico aos arcos a serem comparados.

39 Arcos e Ângulos FME / PDE Unidades: Grau e Radiano. -Grau ( º) é um arco unitário igual a 1/360 da circunf. que contém o arco a ser medido. -Radiano (rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunf. que contém o arco a ser medido.

40 Arcos e Ângulos FME / PDE Relação entre as duas medidas Medidas de Ângulos: l = compr. arco AB, r raio da circunf.

41 Funções Circulares FME / PDE Ciclo trigonométrico => r = 1, e o comprimento da circunf. é 2 Noções Gerais: -Eixos dos cossenos u e dos senos v -Sentido (> 0) ; (< 0) e 4 quadrantes DEF.: Uma fç de A em B é periódica se existir um número p > 0 tal que f(x+p) = f(x) Identificação das funções circulares no ciclo trigonométrico: sen, cos, tg, cot, sec, cosec.

42 Relações Fundamentais FME / PDE

43 Relações Fundamentais FME / PDE

44 Relações Fundamentais FME / PDE Identidades:

45 DCM: Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico FME / PDE Data: 29/06/2007 Pela manhã G7 3 G7 ; Cruzeiro do Oeste e Foz do Iguaçu 3 Palestra do Mestrado em Educação Matemática

46 Redução ao 1º Quadrante FME / PDE -Redução do 2º ao 1º Quadrante -Redução do 3º ao 1º Quadrante -Redução do 4º ao 1º Quadrante -Identidades – pág. 58

47 Transformações FME / PDE pág. 67

48 Equações FME / PDE pág. 93

49 Inequações FME / PDE pág. 127

50 Sumário FME / PDE Números Reais e Funções Logaritmo e Exponencial Trigonometria Polinômio Análise Combinatória Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico

51 Conteúdos: Polinômio FME / PDE Números Complexos Polinômios Equações Polinomiais Transformações Raízes Múltiplas e Raízes Comuns

52 DCM: Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico FME / PDE Data: 06/07/2007 Pela manhã Foz e 3 Barras 4 Goioerê 3 Chico 2 Toledo 2 Josemara 1 Clarice 1

53 Sumário FME / PDE Números Reais e Funções Logaritmo e Exponencial Trigonometria Polinômio Análise Combinatória Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico

54 Conteúdos: Análise Combinatória FME / PDE Princípio Fundamental da Contagem Arranjos Permutações Fatorial Combinações Binômio de Newton

55 Sumário FME / PDE Números Reais e Funções Logaritmo e Exponencial Trigonometria Polinômio Análise Combinatória Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico

56 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Obrigado por sua atenção. FME / PDE Prof. João Candido Bracarense Costa, Dr.


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