FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

Apresentação em tema: "FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR"— Transcrição da apresentação:

1 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
Prof. João Candido Bracarense Costa, Dr.

2 Sumário Números Reais e Funções Logaritmo e Exponencial Trigonometria
Polinômio Análise Combinatória Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico FME / PDE

3 DCM: Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico
Data: 06/07/2007 Pela manhã G Foz e 3 Barras 4 Goioerê Chico Toledo Josemara Clarice Data: 29/06/2007 Pela manhã G G7 ; Cruzeiro do Oeste e Foz do Iguaçu Palestra do Mestrado em Educação Matemática Aula de Trigonometria FME / PDE

4 Função Composta – Função Inversa
Conteúdos: Funções Relações Funções Funções do 1º Grau Função Quadrática Função Modular Função Composta – Função Inversa FME / PDE

5 Relações Par Ordenado – conceito primitivo
(a, b) = (c, d)  a = c e b = d Sistema Cartesiano Ortogonal Teorema: entre o conj. de pontos P do pl cartesiano e o conj. dos pares ordenados (xp, yp) de números reais existe uma correspondência biunívoca. Produto Cartesiano Def: Sejam A e B dois conjs. não vazios. Denominamos PC de A por B o conj. A X B cujos elementos são todos pares ordenados (x, y), x elto A e y de B. A X B = {(x, y)/ x X A e y X B} FME / PDE

6 Relações Relação Binária R é relação binária de A em B  R T A X B
x X D   y X B/(x, y) X R y X Im   x X A/(x, y) X R Relação Inversa - (y, x) X R-1  (x, y) X R FME / PDE

7 Funções f é função de A em B   x X A , ! y X B/ (x, y) X f
Domínio (Imagem): D (Im) é o conj. das abscissas (ordenadas) dos pontos tais que as retas verticais (horizontais) conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, i. e., é o conj. formado por todas as abscissas (ordenadas) dos pontos do gráfico f. Def. Duas funções, f de A em B e g de C em D são iguais sss A = C, B = D e f(x) = g(x) para todo x X A FME / PDE

8 Inequações Def.: Sejam as funções f(x) e g(x) com domínio D1 e D2 contidos no conj. dos Reais. Inequação na incógnita x é qq uma das sentenças abertas: f(x) > g(x) f(x) < g(x) f(x) P g(x) f(x) O g(x) Domínio de validade da inequação f(x) < g(x) é o conj. D = D1 W D2, onde D1 é domínio da f e D2 da g. Assim, para todo ponto x0 XD, estão definidos f(x0) e g(x0). FME / PDE

9 Inequações O número real x0 é solução da inequação f(x) > g(x) sss é verdadeira a sentença f(x0) > g(x0) O conjunto S de todos os números reais x tais que f(x) > g(x) é uma sentença verdadeira, chamamos de conjunto-solução da inequação. Diz-se que duas Inequações são equivalentes em D nos reais se o conjunto-solução da primeira é igual ao conjunto-solução da segunda. FME / PDE

10 f(x) < g(x) e f(x) + h(x) < g(x)+ h(x)
Inequações Princípio 1. Sejam as fç f(x) e g(x) definidas em D1 e D2, respectivamente. Se a função h(x) é definida em D1 W D2, as inequações f(x) < g(x) e f(x) + h(x) < g(x)+ h(x) são equivalentes em D1 W D2. FME / PDE

11 Inequações Princípio 2. Sejam as fç f(x) e g(x) definidas em D1 e D2, respectivamente. Se a função h(x) é definida em D = D1 W D2 e tem sinal constante, então: (i) Se h(x) > 0, as inequações f(x) < g(x) e f(x) . h(x) < g(x). h(x), são equivalentes em D (ii) Se h(x)< 0, as inequações f(x) < g(x) e f(x) . h(x) > g(x). h(x), são equivalentes em D FME / PDE

12 Funções do 1º Grau Função Constante f : R YR xYc
Função Linear f : R YR xYax, a K 0 Função Afim f : R YR xYax + b, a K 0 FME / PDE

13 Funções do 1º Grau Função Afim Gráfico Coeficientes da função
Zero da função Funções Crescentes e Decrescentes Sinal da função FME / PDE

14 Inequações Simultâneas
f(x) < g(x) < h(x) => f(x) < g(x) g(x) < h(x) Inequações Produto/Quociente f(x) . g(x) > 0 (f(x) e g(x) > 0) ou (f(x) e g(x) < 0) f(x) . g(x) < 0 ; f(x) . g(x) P 0; f(x) . g(x) O 0 FME / PDE

15 Função Quadrática x Y ax2 + bx + c, a K 0 Função Quadrática f : R Y R
Gráfico Concavidade Forma Canônica Zero de função Máximo e mínimo Vértice da parábola e Imagem Eixo de simetria Sinal FME / PDE

16 Inequação do 2º Grau Função Modular ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c P 0 ax2 + bx + c O 0 Função Modular Definição de módulo Propriedades Função Equações modulares Inequações modulares FME / PDE

17 Função Composta – Função Inversa
Def.: Seja f uma fç de um conj. A em um conj. B e seja g uma fç de B em um conj. C; chama-se fç composta de g e f à fç h de A em C definida por: h(x) = g(f( x )) para todo x em A. h(x) = (g o f)(x) = g(f( x )) FME / PDE

18 Função Composta – Função Inversa
f: A Y B f é sobrejetora   y, y X B , x, x X A/ f(x)=y f é sobrejetora  Im (f) = B f é injetora   x1, x1 X A ,  x2, x2 X A (x1 K x2) => f(x1) K f(x2) f é bijetora   y, y X B , ! x X A / f(x)=y Teo:Seja f: A Y B. A relação inversa f -1 é uma fç de B em A sss f é bijetora. FME / PDE

19 Sumário Números Reais e Funções Logaritmo e Exponencial Trigonometria
Polinômio Análise Combinatória Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico FME / PDE

20 Conteúdos: Logaritmo e Exponencial
Potências e Raízes Função Exponencial Logaritmos Função Logarítmica Equações Exponenciais e Logarítmicas Inequações Exponenciais e Logarítmicas Logaritmos Decimais FME / PDE

21 Potências e Raízes DEF.: Dado um número real a natural. Potência de base a e expoente n é o número an tal que: a0 = 1, para a K0 an = an-1.a, n P 1 DEF.: Dado um número real a não nulo, e um número n natural, define-se a potência a-n pela relação: a-n = 1/an FME / PDE

22 Potências e Raízes OBS.: [¬n/(a)]n = a; ¬/36 = 6 não é (- 6);
DEF.: Dados um número real não negativo, a, e um n natural, demonstra-se que existe sempre um real positivo ou nulo b tal que bn = a. b = raiz n-ésima aritmética de a a = radicando e n = índice OBS.: [¬n/(a)]n = a; ¬/36 = não é (- 6); ¬/a2 = !a!; Assim, ¬/x2 = !x! e, ¬/(x-1)2 = = !x-1! = x – 1, se x > 1; 0, se x = 1; 1 – x, se x < 1 Propriedades: página 20 FME / PDE

23 Propriedades: pág 23 a pág 29
Função Exponencial DEF.: Dado um número real a, tal que a seja maior que zero e diferente de 1, diz-se função exponencial de base a a função f de R em R (conj dos reais) que associa a cada x real o número ax. Propriedades: pág 23 a pág 29 FME / PDE

24 Função Exponencial Imagem => Im = reais positivos
Gráfico: y=ax (a > 1) , fç crescente (0< a <1), fç decrescente FME / PDE

25 Equações Exponenciais (EE)
DEF.: EE são equações com incógnita no expoente. Exemplo 1: 2x = 64 Exemplo 2: 4x – 2x = 2 Exemplo 3: 2x = 3 Método da redução a uma base comum Exs 1 e 2 FME / PDE

26 Inequações Exponenciais (IE)
DEF.: IE são as inequações com incógnita no expoente. Exemplo 1: 2x > 32 Exemplo 2: 4x – 2 = 2x Método da redução a uma base comum Se b e c são números reais então: a > 1 => ab > ac <=> b > c 0 < a < 1 => ab > ac <=> b < c FME / PDE

27 Logaritmos DEF.: se a e b são números reais e positivos, com a diferente de 1, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b (logaritmando ou número). FME / PDE

28 Logaritmos Conseqüência da definição: Sistemas de Logaritmos:
decimal Neperiano Prop: pág 56 Mudança de Base Propriedades Conseqüências pág 64 FME / PDE

29 Função Logarítmica DEF.: Dado um número real a, positivo e diferente de 1, chamamos de função logarítmica de base a a função f de R*+ em R que associa a cada x o número: Propriedades: pág 69 a pág 71. Imagem: Im = R Gráfico: fç crescente e fç decrescente FME / PDE

30 Equações Exponenciais
Exemplo: FME / PDE

31 Equações Logarítmicas
1º Tipo: pág. 79 2º Tipo: pág. 80 3º Tipo: são as equações que resolvemos fazendo inicialmente uma mudança de incógnita. pág. 81 FME / PDE

32 Inequações Exponenciais
IE que não podem ser reduzidas a uma desigualdade de potências de mesma base. FME / PDE

33 Inequações Logarítmicas
1º Tipo: pág. 97 2º Tipo: pág. 100 3º Tipo: idem pág. 101 FME / PDE

34 Logaritmos Decimais Característica
Regra 1: (x > 1): A caract. do logaritmo decimal de um número x > 1 é igual ao número de algarismos de sua parte inteira, menos 1. Exemplo: log 2,3 => c = 0; log 23 => c = 1 Regra 2: (0 < x < 1): a caract é o oposto da qt de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo. Exemplo: log 0,2 => c = -1; log 0,00053 => c = -4 FME / PDE

35 Logaritmos Decimais Mantissa Obtida nas tábuas de logaritmos.
Propriedade: A mantissa do logaritmo decimal de x não se altera se multiplicarmos x por uma potência de 10 com expoente inteiro. Assim, os logaritmos decimais dos números 2; 20; 200; 2000; 0,2; 0,002 tem todos a mesma mantissa 0,3010; mas as caract. são, resp, 0; 1; 2; 3; -1; -3. FME / PDE

36 Sumário Números Reais e Funções Logaritmo e Exponencial Trigonometria
Polinômio Análise Combinatória Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico FME / PDE

37 Conteúdos: Trigonometria
Arcos e Ângulos Funções Circulares Relações Fundamentais Redução ao 1º Quadrante Transformações Equações Inequações FME / PDE

38 Arcos e Ângulos Arcos de Circunferência
DEF.: Dados 2 pts distintos A e B sobre uma circunf, esta fica dividida em duas partes. Cada uma dessas partes, que incluem A e B, é denominada arco de circunferência AB Medidas de Arcos => identificação de uma unidade, cujo raio é idêntico aos arcos a serem comparados. FME / PDE

39 Arcos e Ângulos Unidades: Grau e Radiano.
Grau ( º) é um arco unitário igual a 1/360 da circunf. que contém o arco a ser medido. Radiano (rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunf. que contém o arco a ser medido. FME / PDE

40 Relação entre as duas medidas
Arcos e Ângulos Relação entre as duas medidas Medidas de Ângulos: l = compr. arco AB, r raio da circunf. FME / PDE

41 Funções Circulares Ciclo trigonométrico => r = 1, e o comprimento da circunf. é 2 Noções Gerais: Eixos dos cossenos u e dos senos v Sentido (> 0) ; (< 0) e 4 quadrantes DEF.: Uma fç de A em B é periódica se existir um número p > 0 tal que f(x+p) = f(x) Identificação das funções circulares no ciclo trigonométrico: sen, cos, tg, cot, sec, cosec. FME / PDE

42 Relações Fundamentais
FME / PDE

43 Relações Fundamentais
FME / PDE

44 Relações Fundamentais
Identidades: FME / PDE

45 DCM: Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico
Data: 29/06/2007 Pela manhã G G7 ; Cruzeiro do Oeste e Foz do Iguaçu Palestra do Mestrado em Educação Matemática FME / PDE

46 Redução ao 1º Quadrante Redução do 2º ao 1º Quadrante
Identidades – pág. 58 FME / PDE

47 Transformações pág. 67 FME / PDE

48 Equações pág. 93 FME / PDE

49 Inequações pág. 127 FME / PDE

50 Sumário Números Reais e Funções Logaritmo e Exponencial Trigonometria
Polinômio Análise Combinatória Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico FME / PDE

51 Raízes Múltiplas e Raízes Comuns
Conteúdos: Polinômio Números Complexos Polinômios Equações Polinomiais Transformações Raízes Múltiplas e Raízes Comuns FME / PDE

52 DCM: Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico
Data: 06/07/2007 Pela manhã Foz e 3 Barras 4 Goioerê Chico Toledo Josemara Clarice FME / PDE

53 Sumário Números Reais e Funções Logaritmo e Exponencial Trigonometria
Polinômio Análise Combinatória Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico FME / PDE

54 Conteúdos: Análise Combinatória
Princípio Fundamental da Contagem Arranjos Permutações Fatorial Combinações Binômio de Newton FME / PDE

55 Sumário Números Reais e Funções Logaritmo e Exponencial Trigonometria
Polinômio Análise Combinatória Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico FME / PDE

56 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
Prof. João Candido Bracarense Costa, Dr. Obrigado por sua atenção. FME / PDE