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Resolução de equações não lineares. Raiz de uma equação Raiz exata Um número x r é raiz exata de uma equação f(x)=0 se f(x r )=0 Raiz aproximada Um número.

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1 Resolução de equações não lineares

2 Raiz de uma equação Raiz exata Um número x r é raiz exata de uma equação f(x)=0 se f(x r )=0 Raiz aproximada Um número x é raiz aproximada de uma equação f(x)=0 se |x-x r | e |f(x)| forem ambos próximos de 0 Comparar o módulo da subtração da raiz é basicamente uma operação teórica, pois não se pode obter a raiz exata

3 Calculando as raízes Para calcular as raízes reais de uma equação f(x)=0 é necessário: 1) delimitar, enumerar e separar as raízes 2) utilizar um método numérico para calculo de cada raiz

4 Equações algébricas polinomiais A) toda equação do tipo a n x n +a n-1 x n a 1 x 1 +a 0 é algébrica e polinomial n é um número natural denominado grau da equação Os coeficientes a i, i=0...n são números reais

5 Toda equação polinomial de grau n tem exatamente n raízes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com seu grau de multiplicidade Equações algébricas polinomiais

6 Multiplicidade de raizes Uma raiz tem grau de multiplicidade m se: anula a função que origina a equação Anula as derivadas até a ordem m-1 Não anula a derivada de ordem m

7 Exemplo A equação f(x)=x 3 -5x 2 +8x-4 tem raízes x 1 =1 x 2 =2 e x 3 =2 f(2)=0 f(2) = 3x 2 -10x+8 -> f(2)=0 f(2)=6x-10 ->f(2)=2

8 As raízes complexas aparecem sempre em pares conjugados (a+bi e a-bi) Toda equação polinomial de grau impar tem pelo menos uma raiz real Equações algébricas polinomiais

9 Delimitação de raízes reais Limite superior positivo-teorema de Lagrange Seja f(x)=0 uma equação polinomial de grau n, na qual a n >0 e a 0 0 Para limite superior de suas raízes positivas, caso existam pode ser tomado o número K= grau do 1º termo negativo M= módulo do menor coeficiente negativo

10 Exemplo Calcule o limite superior para as raízes positivas da equação f(x) = x 5 +x 4 -8x 3 -16x 2 +7x+14 =0

11 Exemplo Calcule o limite superior para as raízes positivas da equação f(x) = x 5 +x 4 -8x 3 -16x 2 +7x+14 =0 n=5,k=3,a 5 =1 e M=16

12 Delimitação das raízes reais Limite inferior negativo Obter a equação auxiliar f 1 (x)=f(-x)=0 usar o teorema de Lagrange em f 1 (x), obtendo o limite superior de suas raízes positivas L 1 O limite inferior das raízes negativas é dado por –L 1

13 Exemplo Calcule o limite inferior para as raízes negativas da equação f(x) = x 5 +x 4 -8x 3 -16x 2 +7x+14 =0

14 Exemplo f(x) = x 5 +x 4 -8x 3 -16x 2 +7x+14 =0 f 1 (x) = -x 5 +x 4 +8x 3 -16x 2 -7x+14 =0 a n <0 logo devemos multiplicar f 1 por -1 f 1 (x) = x 5 -x 4 -8x 3 +16x 2 +7x-14 =0 n=5,k=4,a 5 =1 e M=14 Logo –L 1 =-15

15 Enumeração das raízes Regra dos sinais de Descartes – O número de raízes positivas de equações polinomiais é igual ao número de variação de sinais apresentado pelo conjunto de coeficientes ou menor em um número par

16 Exemplo x 5 +x 4 -8x 3 -16x 2 +7x+14=0

17 Exemplo x 5 +x 4 -8x 3 -16x 2 +7x+14=0

18 Exemplo x 5 +x 4 -8x 3 -16x 2 +7x+14=0 2 variações -> 2 raízes ou nenhuma raiz

19 Exemplo x 5 -x 4 +8x 3 -16x 2 +7x-14=0 Quantas raízes?

20 Exemplo x 5 -x 4 +8x 3 -16x 2 +7x-14=0 Quantas raízes? 5 variações -> 5 raízes ou 3 ou 1 raiz

21 Exemplo 5x 5 -16x 2 +7x-14=0 Quantas raízes?

22 Exemplo 5x 5 -16x 2 +7x-14=0 Quantas raízes? 3 variações -> 3 raízes ou 1 raiz positiva

23 Enumeração de raízes Para determinar o número de raizes negativas basta trocar x por (-x) na equação e aplicar a regra dos sinais

24 Exemplo x 5 +x 4 -8x 3 -16x 2 +7x+14=0 f(-x)=-x 5 +x 4 +8x 3 -16x 2 -7x+14=0 3 raízes ou 1 raiz negativa

25 Exemplo x 5 -x 4 +8x 3 -16x 2 +7x-14=0 f(-x)=-x 5 -x 4 -8x 3 -16x 2 -7x-14=0 Sem variação -> nenhuma raiz negativa

26 Sucessão de Sturm Dada a equação polinomial f(x)=0 a sucessão de Sturm a ela associada é o seguinte conjunto de polinômios: f(x)f 1 (x)f 2 (x)... fm(x) f(x) é o polinômio que origina a equação f 1 (x) é a primeira derivada de f(x)

27 Sucessão de Sturm A partir de f 2 (x) cada termo é o resto, com o sinal trocado, da divisão dos 2 termos anteriores f(x)/f 1 (x) = Q 1 x+R 1 x -> f 2 (x)=-R 1 x f 1 (x)/f 2 (x) = Q 2 x+R 2 x -> f 3 (x)=-R 2 x A sucessão procede até que seja obtido um resto constante

28 Propriedades Se a equação tiver raízes múltiplas então o último termo da sucessão é nulo Para nenhum valor de x, 2 termos consecutivos da sucessão não se anulam Se, para algum x, um termo médio da sucessão se anula, então os termos vizinhos terão valores numéricos de sinais opostos

29 Teorema de Sturm Seja N(alpha) o número de variações de sinal apresentado pela sucessão de sturm. Para x = alpha O número de raízes reais de uma equação polinomial, sem raízes múltiplas, situadas em um intervalo [a,b] é igual a N(a)-N(b)

30 Exemplo Determine o número de raízes reais da equação no intervalo (-15,5) f(x)=x 5 +x 4 -8x 3 -16x 2 +7x+14 f 1 (x)=5x 4 +4x 3 -24x 2 -32x+7 f 2 (x)=3,36x 3 +8,64x 2 -6,88x-13,72 f 3 (x)=-9,06x 2 +29,72x+29,22 f 4 (x)=-68,42x-49,69 f 5 (x)=-2,88

31 -1505 f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72--+ f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22-+- f4(x)=-68,42x-49,69+-- f5(x)=-2,88--- N(x)431 Raízes negativas N(15)-N(0) = 4-3 =1 Raízes negativas N(0)-N(5) = 3-1 =2 As outras duas raízes são complexas

32 Separação de Raízes reais Teorema de Bolzano: seja f(x) uma função continua em um intervalo [a,b] Se f(a).f(b)<0 então a equação f(x)=0 tem um número impar de raízes no intervalo [a,b]

33 Exemplo

34

35 Separação de Raízes reais Se f(a).f(b) >0 então f(x)=0 tem um número par de raízes ou nenhuma raiz no intervalo [a,b]

36 Exemplo

37

38

39

40 Separe as raízes positivas da equação f(x)= x 5 +x 4 -8x 3 -16x 2 +7x+14=0 Sabendo-se que estão situadas no intervalo (0,5) e que o número de raízes positivas é 2

41 f(0)=14, f(5)=2399, f(2,5)= -56,78 Uma raiz entre 0 e 2,5 e outra entre 2,5 e 5

42 Equações não polinomiais Duas possibilidades 1) Construir um esboço do gráfico da função com o objetivo de detectar os pontos 2) Transformar a equação f(x)=0 em uma equação equivalente da forma g(x)-h(x)=0 g(x)=h(x)

43 Esboçar os gráficos de g(x) e h(x) em um mesmo sistema de eixos cartesianos As abscissas de cada ponto onde g(x) e h(x) se interceptam é uma raiz de f(x) Equações não polinomiais

44 Exemplo Seja a equação f(x)=x+ -5=0 Pode ser escrita = 5-x (g(x)=h(x))

45 Metodo da Bisseção Seja f(x) uma função continua em um intervalo [a,b] O intervalo contém uma única raiz da equação f(x)=0 sendo assim, f(a).f(b)<0 Este método consiste em dividir de forma sucessiva o intervalo [a,b] ao meio, até que seja obtido (b-a) <= precisão estabelecida

46 Graficamente ab -+

47 ab -+ +

48 ab -+ b +

49 ab -+ b +-

50 ab -+ b + a -

51 Critério de parada O processo para quando o intervalo [a,b] é suficientemente pequeno Assim qualquer ponto no intervalo é tomado como raiz Número máximo de passos – pré- estabelecido

52 Convergência Sendo f(x) contínua em [a,b] f(a).f(b)<0 O método da bisseção converge se as condições anteriores forem respeitadas

53 Exemplo Utilizando o método da bisseção calcule a maior raiz positiva da equação f(x)= x 5 +x 4 -8x 3 -16x 2 +7x+14=0 Precisão 0,025, máximo de 10 iterações, intervalo = [2,5;5] f(2,5)=-56,781 e f(5)=2399

54 kxkxk f(x k )b-a 2,5-56, ,5 13,75332,7061,25 23,12528,8750,625 32,813-32,2390,312 42,969-7,2240,156 53,0479,3070,078 63,0080,6790,039 72,989-3,260,019

55 Qualquer número no intervalo [2,989;3,008] pode ser tomado como raiz

56 Método da Falsa Posição Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b] que contém um e só uma raiz da equação f(x)=0 Este método consiste em dividir o intervalo [a,b] no ponto onde a reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) intercepta o eixo das abscissas

57 Graficamente

58

59 Critério de parada O processo iterativo é interrompido quando for obtido |f(x k )|, k=1,2,... Menor ou igual à precisão estabelecida e então x k é tomado como raiz

60 Critério de convergência Se f(x) é contínua em [a,b] e f(a).f(b)<0, então o método da falsa posição converge

61 Calculando x k No método da bisseção x é dado pela média aritmética do intervalo x= (a+b)/2 No método da FP o x é dado pela média aritmética ponderada x=(a|f(b)|+b|f(a)|)/(|f(b)|+|f(a)|) x=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

62 O cálculo de x k Seja a matriz bf(a) +x 1 f(b)-af(b)-x 1 f(a) x 1 =(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

63 Generalizando x k =(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a)) Desde que a cada passo seja atualizado a ou b O critério utilizado por este método para a divisão do intervalo [a,b] é o da média ponderada

64 Exemplo Utilizando o método da falsa posição com precisão e um máximo de 5 iterações encontrar a maior raiz positiva f(x)=x 4 -14x 2 +24x-10=0 A) delimitação das raízes reais LSP = = 4,7 = 5

65 LIN – equação auxiliar f(x) = x 4 -14x 2 -24x-10 L1=6 Logo –L1=-6

66 Enumeração das raízes reais Raízes positivas: variações -> 3 ou 1 raiz positiva Raízes negativas: variação -> 1 raiz negativa

67 Número de raízes positivas Teorema de Sturm Sucessão de Sturm05 f(x)=x 4 -14x 2 +24x-10-+ f1(x)=4x 3 -28x+24++ f2(x)=7x 2 -18x+10++ f3(x)=7,24x-9,3-+ f4(x)=1,5++ N(x)30

68 Número de raízes positivas O número de raízes é dado por: N(0)-N(5)=3-0=3

69 Separação das raízes positivas Teorema de Bolzano e o método da bisseção 05 -+

70 Separação das raízes positivas Teorema de Bolzano e o método da bisseção ,5 +

71 Separação das raízes positivas Teorema de Bolzano e o método da bisseção ,5 + 1,25 + 3,75 +

72 Separação das raízes positivas Teorema de Bolzano e o método da bisseção ,5 + 1,25 + 3,75 + 0, ,875 -

73 Calculando a maior raiz positiva Reduzindo um pouco mais o intervalo f(1,875) 0, f(2,188)<0 Aplicando o método da falsa posição x k =(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

74 kabf(a)f(b)xkxk f(x k ) 12,1882,5-1,5921,5632,345-0,467 22,3452,5-0,4671,5632,381-0,085 32,3812,5-0,0851,5632,387-0,016 42,3872,5-0,0161,5632,388-0,005 Para a precisão estabelecida, 2,388 é a maior raiz positiva da equação

75 Método de Newton-Raphson Também conhecido como método das tangentes Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b] que contém uma e só uma raiz da equação f(x)=0

76 Dada uma estimativa x k-1, k=1,2,..., para uma raiz de f(x)=0 a estimativa x k é a abscissa do ponto onde a reta tangente f(x) em [x k-1,f(x k-1 )] intercepta o eixo das abscissas Método de Newton-Raphson

77 Critério de parada: O processo é interrompido quando for obtido um |x k -x k-1 | ou |f(x k )| menor ou igual a uma precisão pré-estabelecida Método de Newton-Raphson

78 Graficamente x0x0 x1x1 x0x0

79 x0x0 x1x1

80 x0x0 x1x1

81 Convergência: se f(a)f(b) 0 é possível construir, pelo método de Newton-Raphson uma sequência {x k }, k=1,2,..., que converge para a raiz de f(x)=0 Método de Newton-Raphson

82 Seja o cálculo de x 1 Para x 2 Método de Newton-Raphson

83 Generalizando Método de Newton-Raphson

84 Exemplo Calcule a raiz negativa de f(x)=x x 2 +24x-10=0 utilizando o método de newton-Raphson com precisão 0,001 e um máximo de 5 iterações. Sabe-se que esta raiz está situada no intervalo (-6,0)

85 Exemplo Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo f(-6)=638 f(0)=-10

86 Exemplo Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo f(-6)=638 f(0)=-10 f(-3)=-127

87 Exemplo Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo ,5 + f(-6)=638f(-3)=-127 f(-4,5)=8,562

88 Exemplo Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo ,5 + -3, 75 - f(-3)=-127 f(-4,5)=8,562 f(-3,75)=

89 Exemplo Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo ,5 + -3, 75 -

90 Exemplo f(x)=4x 3 -28x+24 <0 no intervalo [-4,5;-3,75] f(x)=12x >0 no intervalo [-4,5;-3,75] Como f(-4,5)f(-4,5)>0 então x 0 =-4,5

91 Exemplo kxkxk f(x k )f'(x k )|x k -x k-1 | 0-4,58, ,5- 1-4,4600, ,9860, ,459 0,018 0,001

92 Notas Com relação à convergência o que se faz na prática é: 1) toma-se uma estimativa inicial próxima da raiz; para isto basta diminuir suficientemente o intervalo que a contém 2) toma-se x 0 є [a,b] de forma que seja obtido x 1 є [a,b]

93 Comparação - Bisseção Apesar de sempre convergir, tem baixa velocidade de convergência Utilizado de forma isolada quando se deseja um intervalo, tal que qualquer dos pontos pode ser tomado como raiz Normalmente é utilizado para reduzir o tamanho do intervalo que contém a raiz

94 Quando se deseja é um intervalo que contém a raiz o método da Falsa Posição não é adequado porquê não converge Quando não houver problemas para trabalhar com a primeira derivada de f(x) deve-se usar o método de Newton- Raphson; caso contrário deve-se usar o método da Falsa Posição Comparação – F.P. e N.R.

95 Exercício Determine os limites das raízes reais da equação f(x)=x 3 +4x 2 -10=0


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