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Aurora Pozo. É um dos mais conhecidos e poderosos para obtenção de raízes de equações não-lineares. Considere uma função f(x) continua e diferençável.

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1 Aurora Pozo

2 É um dos mais conhecidos e poderosos para obtenção de raízes de equações não-lineares. Considere uma função f(x) continua e diferençável no intervalo [a,b]. A função possui, portanto, tangente única em cada ponto do intervalo.

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5 Teorema: Se f(a) * f(b) 0 é possível gerar, pelo Método de Newton, uma sequência de aproximações xk que converge para a raiz de f(x) = 0.

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7 O Método de Newton-Raphson tem convergência muito boa (quadrática). Entretanto, apresenta as seguintes desvantagens: (i) Exige o cálculo e a análise do sinal de f e f (ii) Se f(xk) for muito elevado a convergência será lenta (iii) Se f(xk) for próximo de zero pode ocorrer overflow Para contornar o item (i), o qual é necessário para a escolha da aproximação inicial, é comum apenas calcular-se o valor da função e o de sua derivada segunda nos extremos a e b, considerando para x0 o extremo que satisfazer a condição f(x0)f(x0) > 0. Para tanto, é importante que o intervalo [a; b] considerado seja sucientemente pequeno, de forma a minimizar a possibilidade de variação de sinal de f e f.

8 Newton-Raphson Método de Newton-Raphson f(x) Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de f(x) e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração Forma de desvio do inconveniente f(x k ) Substituição da derivada f(x k ) pelo quociente das diferenças f(x k ) [f(x k ) - f(x k-1 )]/(x k - x k-1 ) f(x k ) [f(x k ) - f(x k-1 )]/(x k - x k-1 ) x k-1 x k onde x k-1 e x k são duas aproximações para a raiz 8 Secante

9 A função de iteração será g(x) = x k - f(x k )/[(f(x k ) - f(x k-1 ))/(x k - x k-1 )] = (x k - x k-1 ). f(x k )/[f(x k ) - f(x k-1 )] = [x k-1.f(x k ) – x k.f(x k-1 )]/[f(x k ) - f(x k-1 )] 9 Secante

10 10 x k-1 x k A partir de duas aproximações x k-1 e x k x k+1 oxx k- 1, f(x k-1 ) x k, f(x k ) Obtém-se o ponto x k+1 como sendo a abscissa do ponto de intersecção do eixo ox e da reta que passa pelos pontos (x k- 1, f(x k-1 ) ) e (x k, f(x k ) ) (secante à curva da função) Secante

11 11 xcondições de parada Repete-se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada. x 1 a iteração 2 a iteração 3 a iteração 4 a iteração f(x) x1x1 x0x0x0x0 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 Secante

12 Testes de Parada A cada iteração, testa-se se a aproximação encontrada poderá ser considerada como a solução do problema. |f(x k )| |f(x k )| |((x k+1 – x k )/x k+1 )| |((x k+1 – x k )/x k+1 )| 12 Secante

13 Algoritmo k := 0; x 0 := X 0 ; x 1 := X 1 k L while critério de interrupção não satisfeito and k L k := k +1; x k+1 := (x k-1 *f(x k ) - x k *f(x k-1 ))/(f(x k ) - f(x k-1 )) endwhile 13 Secante

14 Vantagens: Rapidez processo de convergência; Cálculos mais convenientes que do método de Newton; Desempenho elevado. 14 Secante

15 Desvantagens: f(x) Se o cálculo f(x) não for difícil, então o método logo será substituído pelo de Newton-Raphson; Secante Se o gráfico da função for paralela a um dos eixos e/ou tangencia o eixo das abscissas em um ou mais pontos, logo não se deve usar o método da Secante ; Difícil implementação. 15 Secante


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