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Zeros de Funções. Métodos Iterativos - Zeros I. Método da Bissecção OK II. Método da Posição Falsa OK III. Método do Ponto Fixo IV. Método de Newton-Raphson.

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1 Zeros de Funções

2 Métodos Iterativos - Zeros I. Método da Bissecção OK II. Método da Posição Falsa OK III. Método do Ponto Fixo IV. Método de Newton-Raphson V. Método da Secante

3 Método do Ponto Fixo (MPF) Seja contínua em, intervalo este contendo uma raiz da equação. O MPF consiste em transformar esta equação em uma equação equivalente e a partir de um gerar uma seqüência de aproximações para através da relação =>Processo Recursivo

4 Método do ponto fixo (MPF) Exemplo1. Considere a equação Possíveis funções de iterações

5 Método do ponto fixo (MPF) Forma geral das funções de iteração: com a condição. Exemplo:

6 Método do ponto fixo (MPF) As raízes da equação são e. Consideremos e a função de iteração. Tomando, temos não está convergindo para

7 Método do ponto fixo (MPF) x0x0 x1x1 x2x2 y=6-x 2

8 Método do ponto fixo (MPF) Consideremos agora a função de iteração com está convergindo para

9 Método do ponto fixo (MPF) x0x0 x1x1 x2x2 x1x1 x0x0

10 Teorema: Seja uma raiz da equação, isolada num intervalo I centrado em. E seja uma função de iteração de. Se (i) e são contínuas em I, (ii) e (iii), então converge para.

11 Método do ponto fixo (MPF) Demonstração do teorema MPF: 1ª parte: se, então. Se, então:. Do Teorema do Valor Médio, se é contínua e diferenciável, então: Obs: O intervalo seguinte é menor e centrado em.

12 Método do ponto fixo (MPF) Demonstração do teorema MPF: 2ª parte:Provar que. Obs: Como, então.

13 Estudo da Convergência do MPF Estudo da raiz da equação quando consideramos a função de iteração A- e contínuas. B-. Não existe intervalo em torno de que satisfaça a condição do teorema MPF.

14 Estudo da Convergência do MPF Estudo da raiz da equação quando consideramos a função de iteração A- e contínuas se. Em torno de condição satisfeita. B- No intervalo em torno de a condição do teorema MPF é satisfeita.

15 Método do ponto fixo (MPF) Critérios de Parada do MPF Critério 1: Critério2:

16 Método do ponto fixo (MPF) Exemplo do critério de parada do MPF Seja a função com equação equivalente, e. Iteraçãoxf(x) X X X10-3

17 Método do ponto fixo (MPF) Ordem de convergência Seja uma seqüência que converge para e seja o erro na iteração. Se existir um número e uma constante, tais que Então é chamada de ordem da convergência e é a constante assintótica.

18 Método do ponto fixo (MPF) Ordem de convergência do MPF Vimos que no MPF para que haja convergência. Obs1: O MPF converge linearmente. Obs2: A convergência é mais rápida quanto menos for o valor de.

19 Método Newton-Raphson (MNR) Vimos que no MPF, para que haja convergência, 1: e 2: a convergência é mais rápida quanto menos for o valor de. O MNR é MPF com convergência acelerada. Consiste em escolher tal que.

20 Método Newton-Raphson (MNR) Temos para o Método de Newton-Raphson

21 Método Newton-Raphson (MNR) Exemplo do Método de Newton-Raphson. Seja a função com. Seja. Do MNR devemos escolher a função equivalente Obtemos A convergência do MNR é mais rápida que aquela do MPF

22 Método Newton-Raphson (MNR) Teorema: Sejam contínuas num intervalo que contem a raiz de. Suponha que, então existe um intervalo contendo a raiz, tal que se, a seqüência gerada pela fórmula recursiva, convergirá para a raiz.

23 Método Newton-Raphson (MNR) Ordem de convergência do MNR Suponha que o MNR gere uma seqüência que converge para. A ordem de convergência do MNR é quadrática. Comentário: A ordem de convergência do MPF é linear, mas o fato da exigência de, faz a convergência do MNR ser quadrática.

24 Método da Secante No método de Newton há a necessidade de calcular e o seu valor numérico a cada Iteração. Esta é uma desvantagem do MNR. O Método da Secante substitui a derivada pela secante. Assim Note que são necessárias duas aproximações para iniciar o Método da Secante.

25 Método da Secante Exemplo do Método da Secante Seja a função com. Seja e. Do Método da Secante obtemos a seqüência

26 Método da Secante Ordem de Convergência do Método da Secante Mostra-se que a ordem de convergência do Método da Secante é maior que aquela do MPF (p=1) e menor que aquela do MNR (p=2). Verifica-se que a ordem de convergência do Método da Secante é p=

27 Comparação dos Métodos O MPF, MNR e MS têm convergência mais rápida que os Métodos da Bissecção e da Posição Falsa, considerando apenas o número de iterações. Por outro lado, o MNR é aquele que efetua o maior de operações, pois calcula o valor da derivada de f(x) a cada iteração. O esforço computacional depende do número de operações efetuadas a cada iteração, a complexidade destas operações, de número de decisões lógicas, do número de avaliações de funções a cada iteração e do número de iterações.

28 Comparação dos Métodos No caso geral, não há método melhor!!!!! Obs: Se o cálculo da derivada de f(x) não for muito elaborado, o MNR é indicado, caso contrário o MS é aconselhável.

29 Exercícios Resolver os seguintes exercícios do capítulo 2 2, 5, 10, 16, 19


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