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Zeros de Funções.

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Apresentação em tema: "Zeros de Funções."— Transcrição da apresentação:

1 Zeros de Funções

2 Métodos Iterativos - Zeros
Método da Bissecção OK Método da Posição Falsa OK Método do Ponto Fixo Método de Newton-Raphson Método da Secante

3 Método do Ponto Fixo (MPF)
Seja contínua em , intervalo este contendo uma raiz da equação O MPF consiste em transformar esta equação em uma equação equivalente e a partir de um gerar uma seqüência de aproximações para através da relação =>Processo Recursivo

4 Método do ponto fixo (MPF)
Exemplo1. Considere a equação Possíveis funções de iterações

5 Método do ponto fixo (MPF)
Forma geral das funções de iteração: com a condição Exemplo:

6 Método do ponto fixo (MPF)
As raízes da equação são e Consideremos e a função de iteração Tomando , temos não está convergindo para

7 Método do ponto fixo (MPF)
y=6-x2

8 Método do ponto fixo (MPF)
Consideremos agora a função de iteração com está convergindo para

9 Método do ponto fixo (MPF)

10 Método do ponto fixo (MPF)
Teorema: Seja uma raiz da equação , isolada num intervalo I centrado em E seja uma função de iteração de Se (i) e são contínuas em I, (ii) e (iii) , então converge para .

11 Método do ponto fixo (MPF)
Demonstração do teorema MPF: 1ª parte: se , então Se , então: Do Teorema do Valor Médio, se é contínua e diferenciável, então: Obs: O intervalo seguinte é menor e centrado em

12 Método do ponto fixo (MPF)
Demonstração do teorema MPF: 2ª parte:Provar que Obs: Como , então

13 Estudo da Convergência do MPF
Estudo da raiz da equação quando consideramos a função de iteração A e contínuas. B Não existe intervalo em torno de que satisfaça a condição do teorema MPF.

14 Estudo da Convergência do MPF
Estudo da raiz da equação quando consideramos a função de iteração A e contínuas se Em torno de condição satisfeita. B- No intervalo em torno de a condição do teorema MPF é satisfeita.

15 Método do ponto fixo (MPF)
Critérios de Parada do MPF Critério 1: Critério2:

16 Método do ponto fixo (MPF)
Exemplo do critério de parada do MPF Seja a função com equação equivalente , e Iteração x f(x) 1 0.3472 X10-1 2 0.3380 X10-2 3 0.3376 X10-3

17 Método do ponto fixo (MPF)
Ordem de convergência Seja uma seqüência que converge para e seja o erro na iteração . Se existir um número e uma constante , tais que Então é chamada de ordem da convergência e é a constante assintótica.

18 Método do ponto fixo (MPF)
Ordem de convergência do MPF Vimos que no MPF para que haja convergência. Obs1: O MPF converge linearmente. Obs2: A convergência é mais rápida quanto menos for o valor de

19 Método Newton-Raphson (MNR)
Vimos que no MPF, para que haja convergência, 1: e 2: a convergência é mais rápida quanto menos for o valor de O MNR é MPF com convergência acelerada. Consiste em escolher tal que

20 Método Newton-Raphson (MNR)
Temos para o Método de Newton-Raphson

21 Método Newton-Raphson (MNR)
Exemplo do Método de Newton-Raphson. Seja a função com Seja Do MNR devemos escolher a função equivalente Obtemos A convergência do MNR é mais rápida que aquela do MPF

22 Método Newton-Raphson (MNR)
Teorema: Sejam contínuas num intervalo que contem a raiz de Suponha que , então existe um intervalo contendo a raiz , tal que se , a seqüência gerada pela fórmula recursiva , convergirá para a raiz.

23 Método Newton-Raphson (MNR)
Ordem de convergência do MNR Suponha que o MNR gere uma seqüência que converge para A ordem de convergência do MNR é quadrática. Comentário: A ordem de convergência do MPF é linear, mas o fato da exigência de , faz a convergência do MNR ser quadrática.

24 Método da Secante No método de Newton há a necessidade de calcular e o seu valor numérico a cada Iteração. Esta é uma desvantagem do MNR. O Método da Secante substitui a derivada pela secante. Assim Note que são necessárias duas aproximações para iniciar o Método da Secante.

25 Método da Secante Exemplo do Método da Secante Seja a função com .
Seja e Do Método da Secante obtemos a seqüência

26 Método da Secante Ordem de Convergência do Método da Secante
Mostra-se que a ordem de convergência do Método da Secante é maior que aquela do MPF (p=1) e menor que aquela do MNR (p=2). Verifica-se que a ordem de convergência do Método da Secante é p=

27 Comparação dos Métodos
O MPF, MNR e MS têm convergência mais rápida que os Métodos da Bissecção e da Posição Falsa, considerando apenas o número de iterações. Por outro lado, o MNR é aquele que efetua o maior de operações, pois calcula o valor da derivada de f(x) a cada iteração. O esforço computacional depende do número de operações efetuadas a cada iteração, a complexidade destas operações, de número de decisões lógicas, do número de avaliações de funções a cada iteração e do número de iterações.

28 Comparação dos Métodos
No caso geral, não há método melhor!!!!! Obs: Se o cálculo da derivada de f(x) não for muito elaborado, o MNR é indicado, caso contrário o MS é aconselhável.

29 Exercícios Resolver os seguintes exercícios do capítulo 2
2, 5, 10, 16, 19


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