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MÉTODO DA SECANTE Este processo é semelhante ao método de Newton-Raphson. Usa-se, no lugar equação da tangente, a equação da secante que corta a curva.

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2 MÉTODO DA SECANTE Este processo é semelhante ao método de Newton-Raphson. Usa-se, no lugar equação da tangente, a equação da secante que corta a curva da função em dois pontos cujas abscissas definem um intervalo onde está contida a raiz.

3 r No gráfico, r é a raiz de f(x). Tomemos os pontos de abscissas x = x 0 e x = x 1 e tracemos a secante S 1. S1S1 x0x0 x1x1 f(x 0 ) f(x 1 ) A equação da secante que passa pelos pontos (x 0, f(x 0 )) e (x 1, f(x 1 )) é Y – f(x 0 ) = (x – x 0 ) f(x 1 ) – f(x 0 ) x 1 – x 0 As ordenadas desses pontos são f(x 0 ) e f(x 1 ). A secante intercepta o eixo dos y no ponto de abscissa x = x 2. x 2 pode ser considerada a primeira aproximação da raiz. x2x2 Calculando x 2 : 0 – f(x 0 ) = (x 2 – x 0 ) f(x 1 ) – f(x 0 ) x 1 – x 0 x 2 = x 1 – f(x 1 ). x 1 – x 0 f(x 1 ) – f(x 0 ) Tomando os pontos de abscissas x 1 e x 2, traça-se a secante S 2. S2S2 Obtém-se então a abscissa x 3, que é a segunda aproximação da raiz. x 3 = x 2 – f(x 2 ). x 2 – x 1 f(x 2 ) – f(x 1 ) Continua o processo até obter a aproximação Desejada. Em cada aproximação calcula-se f(x i ) para conhecer o erro.

4 EXEMPLO Resolver a equação 1,6x 2 = 9,43x -10,362, com erro inferior a 0,001, usando o processo de truncamento. 1º passo: Escrever a equação na forma f(x) = 0. f(x) = 1,6x 2 – 9,43x + 10,362. 2º passo: Isto é importante pois, se a equação apresentar mais de uma raiz, não pode existir mais de uma raiz entre os pontos a serem escolhidos para a secante. 3º passo: Para a menor raiz (r 1 ), usaremos os pontos de abscissas x 0 = 0 e x 1 = 1. x 1 pode ser escolhido após r 1. Não pode ser escolhido após r 2 (outra raiz). Construir o gráfico escolher dois pontos para a secante.

5 4º passo: Determinar as ordenadas f(x 0 ) e f(x 1 ) relativas aos pontos escolhidos. x 0 = 0 f(x 0 ) = f(0) = 1,6.0 2 – 9, ,362 = 10,362. x 1 = 1 f(x 1 ) = f(1) = 1,6.1 2 – 9, ,362 = 2,532. 5º passo: Calcular x 2 (interseção da secante com o eixo dos x). x 2 = x 1 – f(x 1 ). x 1 – x 0 f(x 1 ) – f(x 0 ) x 2 = 1 – (2,532).(1 – 0)/(2,532 – 10,362)= 1, º passo: Calcular f(x 2 ) para avaliar o erro. f(x 2 ) = f(1,323372) = 1, – 9,43. 1, ,362 = 0, Como x 2 é uma suposta raiz, f(x 2 ) deveria se igual a 0 (zero). Portanto, o erro é maior que 0,001. Devemos continuar o processo, calculando, x i, i = 3, 4, 5 e f(x i ). Vejamos então os cálculos.

6 x 3 = x 2 – f(x 2 ). x 2 – x 1 f(x 2 ) – f(x 1 ) x 3 = 1, – 0,684705(1, – 1)/(0, – 2,532) = 1,44323 f(x 3 ) = 1,6.1, – 9,43.1, ,362 = 0,085. O erro ainda é maior que 0,001. Calculando x 4. x 4 = x 3 – f(x 3 ). x 3 – x 2 f(x 3 ) – f(x 2 ) x 4 = 1,44323 – 0,085.(1,44323 – 1,323372)/(0,085 – 0,68475) = 1, f(x 4 ) = 1,6.1, – 9,43. 1, ,362 = 0,037. Erro ainda maior que 0,001. Calculando x 5 x 5 = x 4 – f(x 4 ). x 4 – x 3 f(x 4 ) – f(x 3 ) x 5 = 1, – 0,037.(1, – 1,44323)/(0,037 – 0,085) = 1, f(x 5 ) = 1,6.1, – 9,43.1, ,362 = 0, Como o erro é menor que 0,001 x 5 = 1, é a aproximação aceitável. Resposta: 1,460. Como o erro deve ser menor que 0,001, a resposta deve ser dada com três casas decimais. Foi usado o processo de truncamento conforme enunciado.

7 USANDO O APLICATIVO CORRESPONDENTE Intervalo estabelecido no gráfico Função digitada: = 1,6.C8^2 – 9,43*C8 + 10,362 ERRO DIGITADO Célula F8 copiada para G8 e H8. Células F8, G8 e H8 copiadas para as células abaixo delas.


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