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Ensino Superior 3. Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis Amintas Paiva Afonso Cálculo 3.

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1 Ensino Superior 3. Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis Amintas Paiva Afonso Cálculo 3

2 Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x 0,y 0 ), é o número L (se existir) e é representado por Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x 0, y 0 ), dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.

3 Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas restrições.

4 Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

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8 Limite O conceito de limite de funções ordinárias pode ser estendido para funções de várias variáveis. Assim, diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L (ou que lim f(x,y) = L), quando o par (x,y) se aproxima de (x o,y o ), se quanto mais perto (x,y) estiver de (x o,y o ), mais perto f(x,y) estará de L.

9 Limite de f(x,y)

10 Propriedades dos Limites Considerando f(x,y) e g(x,y) funções de duas variáveis, com lim (x,y) (xo,yo) f(x,y) = L e lim (x,y) (xo,yo) g(x,y) = M 0. 1º) lim (x,y) (xo,yo) L = L 2º) lim (x,y) (xo,yo) K.f(x,y) = k.lim (x,y) (xo,yo) f(x,y) = k.L 3º) lim (f + g) = lim f + lim g = L + M 4º) lim (f / g) = lim f / lim g = L / M 5º) 6º) De maneira geral, Lim {[OP[f(x,y)]} = OP[lim f(x,y)] = OP(L)

11 Calculando Limites

12 Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:

13 Calculando Limites Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:

14 Calculando Limites Para o cálculo de limites de funções polinomiais e funções lineares é só substituir os valores para os quais de x e y estão tendendo. Para funções racionais, quando ocorre indeterminação, ao fazer este procedimento, deve-se então usar a regra dos dois caminhos.

15 Exemplo da Regra dos Dois Caminhos Mostrar que não existe. Como f(x o,y o ) = 0/0 = indeterminação

16 Regra dos Dois Caminhos Então, façamos, (x,y) tender para (0,0), pelo eixo x e pela reta y = x (dois caminhos). (1º caminho) (2º caminho) Os limites são diferentes, logo não há o limite. y x z 2°caminho 1°caminho

17 Continuidade de Funções de Várias Variáveis O conceito de continuidade de uma função f(x,y) é o mesmo já descrito para funções ordinárias. Assim, diz-se que uma função f(x,y) é contínua em (x o,y o ), se lim (x,y) (xo,yo) f(x,y) existe e é igual à f(x o,y o ). EXEMPLO: Mostrar que não é contínua em (x,y) = (0,0)

18 Propriedades da Continuidade f(x,y) + g(x,y) também é contínua. f(x,y). g(x,y) também é contínua. f(x,y) / g(x,y) também é contínua. u(x,y) = w[g(x,y)] também é contínua. Se f(x,y) e g(x,y) são contínuas em (x o,y o ), então:

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