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Ensino Superior 2.1- Integral Definida Amintas Paiva Afonso Cálculo 2.

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Apresentação em tema: "Ensino Superior 2.1- Integral Definida Amintas Paiva Afonso Cálculo 2."— Transcrição da apresentação:

1 Ensino Superior 2.1- Integral Definida Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

2 Determinar uma área sob a curva de uma função (que se traduz na operação conhecida como integral definida), é um procedimento que guarda estreitas relações com a operação de desvendar a primitiva de uma função (integral indefinida). Vamos procurar entender o procedimento que possibilita este cálculo. Na antiguidade o cálculo da área de certas figuras era obtido por aproximação. A área de uma figura mais complexa era determinada a partir do cálculo de áreas de figuras mais simples. Integral Definida

3 Método de Exaustão de Arquimedes Por volta de 400 a.C. Eudoxo geometrizou a técnica que Arquimedes chamou de método de exaustão. O método consiste em exaurir (preencher) a figura que se quer calcular a área com polígonos regulares. Quanto maior for número de lados do polígono, maior será a convergência entre a área do polígono e a da figura. Vamos aplicar esse método para calcular a área do círculo. Integral Definida

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5 Método de Exaustão de Arquimedes Para um polígono de n=4 ladosPara um polígono de n=6 ladosPara um polígono de n=8 lados... Integral Definida

6 Método de Exaustão de Arquimedes Seja A n a área do polígono P n. Então, A n = n.A t ; Integral Definida

7 Método de Exaustão de Arquimedes O perímetro do polígono é p n =n.b n ; A área total é dada por: Integral Definida

8 Método de Exaustão de Arquimedes No caso acima n=8, mas se n cresce cada vez mais, isto é, n, o polígono P n vai se aproximando cada vez mais do círculo; Enquanto o perímetro P n se aproxima do comprimento do círculo (que é 2 r), a altura h n vai se aproximando do raio r. Logo, em termos matemáticos, isto é traduzido da seguinte maneira: Integral Definida

9 S Área sob uma curva Para determinar a área de uma figura plana qualquer, procedemos de modo análogo. Considere então o problema de definir a área de uma região plana S, delimitada pelo gráfico de uma função contínua, conforme o gráfico abaixo: Integral Definida

10 Área sob uma curva Especificado o intervalo [a,b], procedemos a divisão em n subintervalos onde os pontos a = x 0 e b = x n. Integral Definida

11 Área sob uma curva x i = x i - x i-1 é o comprimento de cada intervalinho [x i-1, x i ]. Esse intervalo pode ser tão pequeno quanto se queira e o ponto médio desse intervalo é definido por c i. Integral Definida

12 Área sob uma curva A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por S n, é dada por: Também neste caso, podemos observar que a medida que n cresce muito e cada x i torna-se muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se da área sob a curva da função y=f(x). Em termos matemáticos, traduzimos isto, assim: Integral Definida

13 Área sob uma curva Seja y = f(x) uma função contínua no intervalo [a,b]. A área sob a curva de f(x) é definida por: A integral definida está associada ao limite da definição acima. Definição Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e P uma partição qualquer de [a,b]. A integral definida de a até b denota-se por: Integral Definida

14 Área sob uma curva Se existe, dizemos que f é integrável em [a,b]. Quando a função f é contínua e não-negativa em [a,b], a definição da integral definida coincide com a definição da área. Portanto, neste caso, a integral definida é a área da região sob o gráfico de f de a até b. Observação: sempre que utilizamos [a,b] supomos a < b. Se a>b, então se a integral à direita existir; Se a=b e f(a) existir, então, Integral Definida

15 Propriedades 1) k.f(x) é integrável em [a,b] e 2) 3) 4) f(x) + g(x) é integrável e 5) 6) Se f(x) g(x) e a b, então Integral Definida

16 Teorema Fundamental do Cálculo Se F(x) é uma primitiva de f no intervalo [a,b], então: Integral Definida

17 Exemplo Calcule a área da região sob o gráfico da função f(x) = x - x 2. Integral Definida

18 Uma vez que f(x) 0 no intervalo [0,1], a área A da região sob seu gráfico é dada por: Além disso a função é contínua nos reais e, portanto, possui primitiva, que neste caso é: Pelo TFC, temos então que: Integral Definida

19 Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer- Verlag. New York, Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, Integral Definida

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