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Amintas engenharia. Noções sobre Vetores Prof. Amintas Paiva Afonso.

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Apresentação em tema: "Amintas engenharia. Noções sobre Vetores Prof. Amintas Paiva Afonso."— Transcrição da apresentação:

1 Amintas engenharia

2 Noções sobre Vetores Prof. Amintas Paiva Afonso

3 Noções sobre Vetores Espaço Vetorial # Um conjunto E ( ) onde são definidas as seguintes operações: + (x,y) := x + y + : E x E E (x,y) composição interna. : x E E (,y) (,x) :=. x composição externa

4 Espaço Vetorial Para x, y, z E e,, temos as seguintes propriedades: i) x + y = y + x; ii) x + ( y + z ) = ( x + y ) + z; iii) 0 E tal que: x + 0 = x x E; iv) Dado x E, existe (-x) E tal que: x + (-x) = 0; v) ( x) = ( )x; vi) (x + y) = x + y; vii) ( + )x = x + x; viii) 1.x = x x E; Noções sobre Vetores

5 Espaço Vetorial Um conjunto que satisfaz essas propriedades é chamado de espaço vetorial real. (E, +,, ) é um quatérnio e E pode ser o próprio. Noções sobre Vetores

6 Espaço Vetorial Qualquer elemento de um espaço vetorial chama-se VETOR. Exemplos de espaços vetoriais: o conjunto os números reais; o conjunto dos números complexos; o conjunto dos vetores da geometria definidos por meio de segmentos orientados; o conjunto das matrizes M mxn ( ), o espaço n ; o espaço C n, o conjunto dos polinômios reais de grau n P n ( ); o conjunto dos polinômios complexos P n (C), etc. Noções sobre Vetores

7 Espaço Vetorial Para verificar que um determinado conjunto constitui um espaço vetorial devemos verificar se ele satisfaz cada uma das oito propriedades apresentadas. Noções sobre Vetores

8 Vetores Um vetor é uma ficção, uma entidade criada para descrever coisas no mundo que têm direção e sentido. Que coisas são essas? o vento; o fluxo de H 2 O de um rio; a emissão puntiforme de luz; um campo elétrico; a velocidade de um trem bala; o movimento dos planetas (aliás, a teoria de Newton não explica por que os planetas se movem todos num mesmo sentido), etc. Noções sobre Vetores

9 Sistema de Coordenadas Para bem determinar a posição de um vetor é necessário a escolha de um sistema de coordenadas. Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas Define-se um sistema de coordenadas cartesianas quando é dada uma unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos perpendiculares ordenados numa ordem qualquer.. P(x,y) x y 0 x y O ponto P(x,y) significa que o ponto P tem por abscissa o nº x e por ordenada o n.º y. Noções sobre Vetores

10 Sistema de coordenadas polares Um sistema de coordenadas polares é definido quando se dá um ponto O, chamado pólo, uma semi-reta OA que parte desse ponto O, chamado eixo polar, e um segmento arbitrário com unidade de comprimento. Convém, nesse sistema, definir o sentido positivo de rotação em redor do ponto O. (Geralmente, é o sentido anti-horário). P OA Chama-se coordenadas polares de um ponto P qualquer aos números =OP e =ang AOP. O símbolo P(, ) significa que o ponto P tem coordenadas polares e. Noções sobre Vetores

11 Passagem das coordenas polares para as coordenadas cartesianas Sejam (x,y) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas e (, ) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas polares: x =. cos y =. sen Noções sobre Vetores

12 Representação gráfica A representação gráfica de um vetor é a de uma flecha apontando para algum lugar. Propriedades - direção; - sentido; - magnitude. Grandezas vetoriais: a aceleração, a velocidade e o deslocamento, força, etc. Grandezas escalares: a massa, o tempo e a temperatura, densidade, etc. Noções sobre Vetores

13 Representação simbólica Por convenção, para saber que estamos falando de vetores e não de variáveis ou outro ente matemático qualquer, designamos o vetor por uma letra e utilizamos uma flecha sobre a letra. Mas há outras maneiras de representar um vetor. Imagine, por exemplo, um vetor no plano: Noções sobre Vetores

14 Representação simbólica A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano xy. y2y2 y1y1 x2x2 x1x1 A X Y B Assim, o vetor acima pode ser representado como o segmento orientado e seu comprimento é dado por B – A. As coordenadas de A são (x 1, y 1 ) e as coordenadas de B são (x 2, y 2 ). Logo, o comprimento do vetor AB é dado por B – A = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 ) Noções sobre Vetores

15 Exemplo Seja = [2,2]. y2y2 y1y1 x2x2 x1x1 A X Y B Podemos associar a o segmento de reta orientado com ponto inicial A(1,2) e ponto final B(3,4). = B – A = (3-1, 4-2)=(2,2) (3,4) (1,2) Noções sobre Vetores

16 Operações com vetores Considere 2 vetores: e. A resultante + é obtida pela chamada lei do paralelogramo. Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois vetores e traçando retas paralelas a e a partir de suas extremidades. Noções sobre Vetores

17 Lei do paralelogramo A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este estudava a composição de forças no caso particular do retângulo. Noções sobre Vetores

18 Variações Mas, além da lei do paralelogramo, a soma de vetores pode ser obtida unindo-se a extremidade do primeiro vetor à origem do segundo. Noções sobre Vetores

19 Somando mais que dois vetores Noções sobre Vetores

20 Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente: Definição:Sejam e dois vetores no plano. A soma dos vetores e é o vetor. Exemplo: Sejam e então, 1.ª coordenada 2.ª coordenada Noções sobre Vetores

21 Exemplo: Interpretação geométrica Noções sobre Vetores

22 Diferença de vetores Representamos o vetor + (-1) por. Esse vetor é a diferença de e. Noções sobre Vetores

23 Produto de um vetor por um escalar Considere que o vetor tem a magnitude de uma unidade. Se multiplicarmos esse vetor por um número real qualquer, por exemplo, 3, o vetor tem sua magnitude aumentada para 3 unidades. A direção é conservada se o escalar for 0, caso contrário, o vetor assume a direção oposta. Noções sobre Vetores

24 Exemplo Se a = 2, b = -3 e = (1,-2), então: e Noções sobre Vetores

25 Produto escalar O produto escalar dos vetores de dimensão n: a = (a 1,a 2,...a n ) e b = (b 1,b 2,...,b n ), é definido por: a.b = a 1 b 1 + a 2 b a n b n = Exemplo Calcule o produto escalar de = (1,-2,3,4) e = (2,3,-2,1).. = (-2) (-2)+ 4.1 = -6 Noções sobre Vetores

26 Ângulo entre dois vetores O produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por: onde é o ângulo formado por e. Noções sobre Vetores

27 Exemplo Encontre o ângulo entre os vetores = (2,4) e = (-1,2).. = 2.(-1) = 6 Portanto, Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º. Noções sobre Vetores

28 Ângulo entre dois vetores Se e então, cosseno Neste caso, os vetores são perpendiculares entre si. Noções sobre Vetores

29 Ângulo entre dois vetores O produto escalar entre dois vetores não nulos é zero se, e só se, o cosseno do ângulo entre eles é zero e, isto só acontece quando os vetores são perpendiculares. Exemplo Os vetores = (2,-4) e = (4,2) são ortogonais, já que: Noções sobre Vetores

30 Ângulo entre dois vetores Mas,, logo =>. Temos então que: Noções sobre Vetores

31 Comprimento ou norma de um vetor O comprimento, tamanho ou norma de um vetor = (x 1,y 1 ) é: y1y1 x y x1x1 0 Além disso, dado um escalar, pertencente a : Noções sobre Vetores

32 Desigualdade triangular A norma da soma de dois vetores é sempre menor ou igual à soma das normas de cada um dos vetores: Desigualdade de Cauchy-Schwarz-Bunyakowski Essa desigualdade é conhecida por Desigualdade de Cauchy-Schwarz em homenagem a Augustin Cauchy e Hermann Amandus Schwarz. Na realidade é a desigualdade de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, mas o pobre Bunyakovski foi sendo esquecido com o tempo. Noções sobre Vetores

33 Eis o Bunyakowski, porque aqui todos merecem ser lembrados.

34 Distância entre dois pontos Além disso, pelo teorema de Pitágoras, podemos obter comprimento do segmento orientado com ponto inicial P(x 1,y 1 ) e ponto final P(x 2,y 2 ): x1x1 0 y x P1P1 P2P2 x2x2 y1y1 y2y2 Noções sobre Vetores

35 Exemplo-1 Se = (2,-5), então o comprimento de é dado por: Exemplo-2 A distância entre P(3,2) e Q(-1,5), ou o comprimento do segmento orientado é dado por: Noções sobre Vetores

36 Versor ou Vetor unitário Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um vetor não- nulo, então o vetor: é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que. Noções sobre Vetores

37 Exemplo Seja x = (-3,4). Então: Logo, o vetor É um vetor unitário, pois: Noções sobre Vetores

38 Ponto médio de um segmento O ponto médio do segmento de reta P 1 (x 1,y 1 ) a P 2 (x 2,y 2 ) é dado por: P 1 (x 1,y 1 ) P 2 (x 2,y 2 ) M (x,y) Noções sobre Vetores

39 Exemplo Determine o ponto médio M do segmento P 1 (-2,3) a P 2 (4,-2). Noções sobre Vetores

40 Produto vetorial Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor. Definição: Sejam = a 1 î + b 1 ĵ + c 1 k e = a 2 î + b 2 ĵ + c 2 k dois vetores em 3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por: Noções sobre Vetores

41 Produto vetorial A igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma: Exemplo: Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então: Noções sobre Vetores

42 Produto vetorial O produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma ângulo. Eles são coincidentes. Logo, î x î = j x j = k x k = 0 Por outro lado, î x j = k; j x k = î; k x î = j. Noções sobre Vetores

43 Norma do produto vetorial Vimos que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor ortogonal ao plano que contém os vetores originais. O comprimento desse terceiro vetor, ou seja, sua norma, é numericamente igual à área do paralelogramo formado por esses vetores. u v |u x v| = área do paralelogramo u x v Noções sobre Vetores

44 Norma do produto vetorial Quando dois vetores forem paralelos no plano, então não há ângulo entre eles. Neste caso, em que = λ., o produto vetorial x = 0. Já que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor perpendicular aos vetores originais, como saber a orientação desse vetor? Em outras palavras: para onde ele aponta?! Uma regra prática conhecida como regra da mão direita estabelece que se posicionarmos o indicador da mão direita na direção e sentido do vetor u e o dedo médio na direção e sentido de v, o polegar apontará o sentido do terceiro vetor. Noções sobre Vetores

45 Exemplo-1 Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo AB=(1,1,-1) e AD=(2,1,4). Área = || AB x AD || AB x AD = BC D A Noções sobre Vetores

46 Exemplo-1) continuação || AB x AD || = Exemplo-2 A medida em radianos do ângulo entre e é. Sendo || ||=1 e || ||=7, calcule || x ||. || x || = || ||.|| ||. sen = sen = ,5 = 3,5 Noções sobre Vetores

47 Produto misto Considere os vetores, e. O produto misto é o número real obtido como resultado da seguinte operação: O volume do paralelepípedo é dado por : Noções sobre Vetores

48 Exemplo Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos seguintes vetores: = (2,2,0); = (0,1,0) e = (-2,-1,-1) mas, h=||proj || Noções sobre Vetores

49 Título: The Cauchy-Schwarz Master Class : An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities Autor: J. Michael Steele Editora: Cambridge University Press Noções sobre Vetores

50 Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer- Verlag. New York, Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, Métodos de Cálculo II

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