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Amintas engenharia.

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1 Amintas engenharia

2 Prof. Amintas Paiva Afonso
Noções sobre Vetores Prof. Amintas Paiva Afonso

3 Noções sobre Vetores . :  x E Espaço Vetorial
# Um conjunto E ( ) onde são definidas as seguintes operações: + : E x E E (x,y) composição interna + (x,y) := x + y . :  x E E (,y) composição externa  (,x) :=  . x

4 Noções sobre Vetores Espaço Vetorial
Para x, y, z  E e ,   , temos as seguintes propriedades: i)     x + y = y + x; ii)    x + ( y + z ) = ( x + y ) + z; iii)    0  E tal que: x + 0 = x x  E; iv)   Dado x  E, existe (-x)  E tal que: x + (-x) = 0; v)    (x) = ()x; vi)   (x + y) = x + y; vii)  (+)x = x + x; viii) 1.x = x x  E;

5 Noções sobre Vetores Espaço Vetorial
Um conjunto que satisfaz essas propriedades é chamado de espaço vetorial real. (E, +, , ) é um quatérnio e E pode ser o próprio .

6 Noções sobre Vetores Espaço Vetorial
Qualquer elemento de um espaço vetorial chama-se VETOR. Exemplos de espaços vetoriais: o conjunto os números reais; o conjunto dos números complexos; o conjunto dos vetores da geometria definidos por meio de segmentos orientados; o conjunto das matrizes Mmxn (), o espaço n; o espaço Cn, o conjunto dos polinômios reais de grau  n Pn(); o conjunto dos polinômios complexos Pn(C), etc.

7 Noções sobre Vetores Espaço Vetorial
Para verificar que um determinado conjunto constitui um espaço vetorial devemos verificar se ele satisfaz cada uma das oito propriedades apresentadas.

8 Noções sobre Vetores Vetores Que coisas são essas?
Um vetor é uma ficção, uma entidade criada para descrever “coisas” no mundo que têm direção e sentido. Que coisas são essas? o vento; o fluxo de H2O de um rio; a emissão puntiforme de luz; um campo elétrico; a velocidade de um trem bala; o movimento dos planetas (aliás, a teoria de Newton não explica por que os planetas se movem todos num mesmo sentido), etc.

9 Noções sobre Vetores Sistema de Coordenadas Para bem determinar a posição de um vetor é necessário a escolha de um sistema de coordenadas. Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas Define-se um sistema de coordenadas cartesianas quando é dada uma unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos perpendiculares ordenados numa ordem qualquer. x y x’ y’ P(x,y) . O ponto P(x,y) significa que o ponto P tem por abscissa o nº x e por ordenada o n.º y.

10 Noções sobre Vetores Sistema de coordenadas polares
Um sistema de coordenadas polares é definido quando se dá um ponto O, chamado pólo, uma semi-reta OA que parte desse ponto O, chamado eixo polar, e um segmento arbitrário com unidade de comprimento. Convém, nesse sistema, definir o sentido positivo de rotação em redor do ponto O. (Geralmente, é o sentido anti-horário). P O A Chama-se coordenadas polares de um ponto P qualquer aos números =OP e =ang AOP. O símbolo P(, ) significa que o ponto P tem coordenadas polares  e .

11 Noções sobre Vetores Passagem das coordenas polares para as coordenadas cartesianas Sejam (x,y) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas e (, ) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas polares: x = . cos  y = . sen 

12 Noções sobre Vetores Representação gráfica Propriedades
A representação gráfica de um vetor é a de uma flecha apontando para algum lugar. Propriedades -  direção; -  sentido; -  magnitude. Grandezas vetoriais: a aceleração, a velocidade e o deslocamento, força, etc. Grandezas escalares: a massa, o tempo e a temperatura, densidade, etc.

13 Noções sobre Vetores Representação simbólica
Por convenção, para saber que estamos falando de vetores e não de variáveis ou outro ente matemático qualquer, designamos o vetor por uma letra e utilizamos uma flecha sobre a letra. Mas há outras maneiras de representar um vetor. Imagine, por exemplo, um vetor no plano:

14 Noções sobre Vetores Representação simbólica
A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano xy. y2 y1 x2 x1 A X Y B Assim, o vetor acima pode ser representado como o segmento orientado e seu comprimento é dado por B – A. As coordenadas de A são (x1, y1) e as coordenadas de B são (x2, y2). Logo, o comprimento do vetor AB é dado por B – A = (x2 - x1 , y2 - y1)

15 Noções sobre Vetores Exemplo Seja = [2,2].
y2 y1 x2 x1 A X Y B (3,4) (1,2) Podemos associar a o segmento de reta orientado com ponto inicial A(1,2) e ponto final B(3,4). = B – A = (3-1, 4-2)=(2,2)

16 Noções sobre Vetores Operações com vetores
Considere 2 vetores: e . A resultante é obtida pela chamada “lei do paralelogramo”. Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois vetores e traçando retas paralelas a e a partir de suas extremidades.

17 Noções sobre Vetores Lei do paralelogramo
A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este estudava a composição de forças no caso particular do retângulo.

18 Noções sobre Vetores Variações
Mas, além da lei do paralelogramo, a soma de vetores pode ser obtida unindo-se a extremidade do primeiro vetor à origem do segundo.

19 Noções sobre Vetores Somando mais que dois vetores

20 Noções sobre Vetores Exemplo: 1.ª coordenada 2.ª coordenada
Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente: Definição:Sejam e dois vetores no plano. A soma dos vetores e é o vetor Exemplo: Sejam e então, 1.ª coordenada 2.ª coordenada

21 Noções sobre Vetores Exemplo: Interpretação geométrica

22 Noções sobre Vetores Diferença de vetores
Representamos o vetor (-1) por Esse vetor é a diferença de e .

23 Noções sobre Vetores Produto de um vetor por um escalar
Considere que o vetor tem a magnitude de uma unidade. Se multiplicarmos esse vetor por um número real qualquer, por exemplo, 3, o vetor tem sua magnitude aumentada para 3 unidades. A direção é conservada se o escalar for 0, caso contrário, o vetor assume a direção oposta.

24 Noções sobre Vetores Exemplo Se a = 2, b = -3 e = (1,-2), então: e

25 Noções sobre Vetores Exemplo Produto escalar
O produto escalar dos vetores de dimensão n: a = (a1,a2,...an) e b = (b1,b2,...,bn), é definido por: a.b = a1b1 + a2b anbn = Exemplo Calcule o produto escalar de = (1,-2,3,4) e = (2,3,-2,1). . = (-2) (-2)+ 4.1 = -6

26 Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores
O produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por: onde  é o ângulo formado por e

27 Noções sobre Vetores Exemplo
Encontre o ângulo entre os vetores = (2,4) e = (-1,2). = 2.(-1) = 6 Portanto, Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º.

28 Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores Se e então, cosseno
Neste caso, os vetores são perpendiculares entre si.

29 Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores Exemplo
O produto escalar entre dois vetores não nulos é zero se, e só se, o cosseno do ângulo entre eles é zero e, isto só acontece quando os vetores são perpendiculares . Exemplo Os vetores = (2,-4) e = (4,2) são ortogonais, já que:

30 Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores . => Mas, , logo
Temos então que:

31 Noções sobre Vetores Comprimento ou norma de um vetor
O comprimento, tamanho ou norma de um vetor = (x1,y1) é: x y x1 y1 Além disso, dado um escalar , pertencente a :

32 Noções sobre Vetores Desigualdade triangular
A norma da soma de dois vetores é sempre menor ou igual à soma das normas de cada um dos vetores: Desigualdade de Cauchy-Schwarz-Bunyakowski Essa desigualdade é conhecida por Desigualdade de Cauchy-Schwarz em homenagem a Augustin Cauchy e Hermann Amandus Schwarz. Na realidade é a desigualdade de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, mas o pobre Bunyakovski foi sendo esquecido com o tempo.

33 Noções sobre Vetores Eis o Bunyakowski, porque aqui todos merecem ser lembrados.

34 Noções sobre Vetores Distância entre dois pontos
Além disso, pelo teorema de Pitágoras, podemos obter comprimento do segmento orientado com ponto inicial P(x1,y1) e ponto final P(x2,y2): y x P1 P2 x2 y1 y2 x1

35 Noções sobre Vetores Exemplo-1 Exemplo-2
Se = (2,-5), então o comprimento de é dado por: Exemplo-2 A distância entre P(3,2) e Q(-1,5), ou o comprimento do segmento orientado é dado por:

36 Noções sobre Vetores Versor ou Vetor unitário
Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um vetor não-nulo, então o vetor: é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que .

37 Noções sobre Vetores Exemplo Seja x = (-3,4). Então: Logo, o vetor
É um vetor unitário, pois:

38 Noções sobre Vetores Ponto médio de um segmento
O ponto médio do segmento de reta P1(x1,y1) a P2(x2,y2) é dado por: P2(x2,y2) M (x,y) P1(x1,y1)

39 Noções sobre Vetores Exemplo
Determine o ponto médio M do segmento P1(-2,3) a P2(4,-2).

40 Noções sobre Vetores Produto vetorial
Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor. Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois vetores em 3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por:

41 Noções sobre Vetores Produto vetorial Exemplo:
A igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma: Exemplo: Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então:

42 Noções sobre Vetores Produto vetorial
O produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma ângulo. Eles são coincidentes. Logo, î x î = j x j = k x k = 0  Por outro lado, î x j = k; j x k = î; k x î = j.

43 Noções sobre Vetores Norma do produto vetorial
Vimos que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor ortogonal ao plano que contém os vetores originais. O comprimento desse terceiro vetor, ou seja, sua norma, é numericamente igual à área do paralelogramo formado por esses vetores. u v |u x v| = área do paralelogramo u x v

44 Noções sobre Vetores Norma do produto vetorial
Quando dois vetores forem paralelos no plano, então não há ângulo entre eles. Neste caso, em que = λ. , o produto vetorial x = 0. Já que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor perpendicular aos vetores originais, como saber a orientação desse vetor? Em outras palavras: para onde ele aponta?! Uma regra prática conhecida como “regra da mão direita” estabelece que se posicionarmos o indicador da mão direita na direção e sentido do vetor u e o dedo médio na direção e sentido de v , o polegar apontará o sentido do terceiro vetor.

45 Noções sobre Vetores Exemplo-1
Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo AB=(1,1,-1) e AD=(2,1,4). Área = || AB x AD || AB x AD = B C A D

46 Noções sobre Vetores Exemplo-1) continuação || AB x AD || = Exemplo-2
A medida em radianos do ângulo entre e é Sendo || ||=1 e || ||=7, calcule || x ||. || x || = || ||.|| ||. sen = sen = ,5 = 3,5

47 Noções sobre Vetores Produto misto
Considere os vetores , e . O produto misto é o número real obtido como resultado da seguinte operação: O volume do paralelepípedo é dado por :

48 Noções sobre Vetores Exemplo
Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos seguintes vetores: = (2,2,0); = (0,1,0) e = (-2,-1,-1) mas, h=||proj || 

49 Noções sobre Vetores Título: The Cauchy-Schwarz Master Class : An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities Autor: J. Michael Steele Editora: Cambridge University Press

50 Métodos de Cálculo II Bibliografia utilizada:
Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990.

51 engenharia


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