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Geometria e Álgebra. MGattass Motivação: Geometria de objetos gráficos.

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Apresentação em tema: "Geometria e Álgebra. MGattass Motivação: Geometria de objetos gráficos."— Transcrição da apresentação:

1 Geometria e Álgebra

2 MGattass Motivação: Geometria de objetos gráficos

3 MGattass Motivação: algoritmo de Traçado de Raios xoxo yoyo zozo Luz Objetos Câmara Pixel (RGB) Iluminação xexe yeye zeze

4 MGattass x y Coordenadas Cartesianas Plano ou R 2 y x 0

5 MGattass Coordenadas Cartesianas Espaço ou R 3 y x z 0

6 MGattass Soma de vetores y x x2x2 y2y2 0 x1+x2x1+x2 x1x1 y1y1 y1+y2y1+y2 p 1 +p 2

7 MGattass Produto de vetor por escalar y x 0 x y a < 0 0 < a < 1 a > 1 ax ay

8 MGattass Distância entre vetores y x x1x1 y1y1 0 x2x2 y2y2 p2p2 p2-p1p2-p1 -p1-p1 (x2-x1)(x2-x1) (y2-y1)(y2-y1) p1p1

9 MGattass Aplicação: Esfera

10 MGattass Propriedades Gerais de Espaços Vetoriais 1.Comutatividade: p + q = q + p 2.Associatividade: (p + q)+r = p + ( q + r) 3.Vetor nulo: p + 0 = 0+ p = p 4.Inverso aditivo: p + (- p) = 0 5.Distributividade: (a+b)p = a p + b p e a(p + q) =a p +a q 6.Multiplicação por 1: 1. p = p

11 MGattass Espaço Vetorial Funções de [a,b] R Comutatividade: p + q= q + p Associatividade: (p + q)+r= p + (q + r) Vetor nulo: p + 0 = 0+ p = p Inverso aditivo: p + (- p) = 0 Distributividade: (a+b)p = a p + b p e a(p + q) =a p +a q Multiplicação por 1: 1. p = p F(x) G(x) (F+G)(x)=F(x)+G(x) (aF)(x)=aF(x) ab x F, G

12 MGattass Espaço Vetorial Matrizes R n m Soma: Produto por escalar:

13 MGattass Matrizes especiais

14 MGattass Matrizes especiais (cont)

15 MGattass Combinação Linear Independência linear:

16 MGattass Base Canônica ijk x y z i j k xixi yjyj zkzk

17 MGattass Aplicações: retas e planos

18 MGattass Aplicação: Série de Fourier x f(x)f(x) -

19 MGattass Combinação Convexa p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 p1p1 p2p2 p(a)p(a) p1p1 p2p2 p3p3 p(a,b)

20 MGattass Generalização de Norma para todo se e somente se para todo

21 MGattass Outras normas no R n

22 MGattass Norma: aplicações Unitário: Distância:

23 MGattass Normas de função F(x) ab x F

24 MGattass Distância e erro F(x) ab x F, G G(x) G(x) - F(x) 2

25 MGattass Distância entre superfícies distância de Hausdorff

26 MGattass Produto interno: definição geomética desigualdade de Schwarz

27 MGattass Produto interno: expressão algébrica i j k no R 2

28 MGattass Produto interno: definição algébrica x x x i

29 MGattass Aplicações do produto interno: cálculo de ângulos

30 MGattass Aplicações do produto interno: projeção na direção... Projeção na direção de : Projeção na direção perpendicular a :

31 MGattass Aplicação do produto interno reflexão de um vetor p r hh pnpn n ^

32 MGattass 0 Aplicações do produto interno: equação de um plano normal a que dista d da origem x y z d

33 MGattass Aplicações do produto interno: posição de um ponto em relação a um plano 0 x y z d lado positivo lado negativo

34 MGattass Aplicações do produto interno: posição de um ponto em relação a uma reta no R 2 x y d

35 MGattass Produto interno: generalização qpqpqpp,',,' qpqp,,aa ',,',qpqpqqp qpqp,,aa Comutatividade(simetria): pqqp,, Positividade:,0, ppsóé igual a zero sep=0 Bilinearidade:

36 MGattass Produto interno e norma de funções

37 MGattass Ortogonaliadade das funções da base de Fourier

38 MGattass Bases ortonormais {p 1, p 2,...,p n } Seja tal que então:

39 MGattass Produto Vetorial p1p1 p2p2

40 MGattass Produto Vetorial ij k i k i j k × p1p1 p2p2

41 MGattass Produto Vetorial forma de lembrar

42 MGattass Matriz do produto vetorial

43 MGattass Produto vetorial aplicados 2 vezes

44 MGattass Aplicações do produto vetorial: movimento de um corpo rígido A B B B B

45 MGattass Aplicações do produto vetorial: áreas e normais p1p1 h Cálculo de ângulos Cálculo de áreas e normais p2p2 p3p3 v 13 v 12

46 MGattass Aplicações do produto vetorial: interior e exterior p1p1 p2p2 p3p3 v 31 v 12 v 23 pepe pipi

47 MGattass Aplicações do produto vetorial: orientação e consistência de malha p1p1 p2p2 p3p3 v 31 v 12 v 23 p4p4 p7p7 p 5 = p 6 p 1 p 2 p 3 p 1 p 3 p 7 p 1 p 2 p 4 p 4 p 5 p 6 p 4 p 5 p 2

48 MGattass Produto misto h

49 MGattass Produto Misto e Determinante Mostre que: c.q.d.

50 MGattass Produto Misto propriedade Mostre que:

51 MGattass FIM

52 MGattass Revisão do 2 o grau que não entrou no capítulo

53 MGattass Produto de Matrizes neutro:

54 MGattass +++ Determinante ---

55 MGattass Determinante O(n!) caso geral:

56 MGattass Inversa O(n!) inversa: solução de sistemas de equações lineares:

57 MGattass Exercício: inversa

58 MGattass Decomposição de matrizes Decomposição LDU: O(n 3 ) Ou seja para n pequenos (4) podemos utilizar as fórmulas diretas, mas para n maiores devemos primeiro fazer uma decomposição tipo LDU. Determinante:


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