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Representação e características Operações I –Adição (subtração) –Multiplicação por um escalar Decomposição Operações II –Produto de Vetores Produto Escalar.

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1 Representação e características Operações I –Adição (subtração) –Multiplicação por um escalar Decomposição Operações II –Produto de Vetores Produto Escalar Produto Vetorial 1 Vetores

2 2 Mapa 1: a partir do centro do terreno ande um metro; Mapa 2: a partir do centro do terreno ande um metro na direção perpendicular ao portão; Mapa 3: a partir do centro do terreno ande um metro se aproximando do portão e na direção perpendicular a ele.

3 3 Procura em todos os pontos do círculo com raio de 1m e centro na pedra. Procura nos pontos A e B. Vai direto ao local.

4 4 Informações completas: tamanho (1m) direção (perpendicular ao muro que contém o portão) sentido (se aproximando do portão) grandezas VETORIAIS representação simbólica: geométrica: segmento de reta orientado

5 5 São iguais: mesmo módulo mesma direção mesmo sentido Independentemente de serem aplicados em pontos diferentes.

6 6 No plano o menor caminho entre 2 pontos é uma reta. Numa superfície esférica, é um arco de círculo. Na vida prática...

7 Operações: Adição Multiplicação por um escalar 7

8 8 Procedimento geométrico: ADIÇÃO 1) 2) Representação Simbólica: Representação Geométrica

9 9 A ordem não importa! A figura é um paralelogramo: Vetores se somam pela regra do paralelogramo: Consiste na obtenção do vetor resultante graficamente. Procedimento geométrico: ADIÇÃO

10 10 Procedimento geométrico: ADIÇÃO Mais de 2 vetores

11 11 Procedimento geométrico: MULTIPLICAÇÃO Se a mesma direção de o mesmo sentido o módulo igual a mesma direção de sentido oposto ao de módulo igual a Se

12 12 Procedimento geométrico: ADIÇÃO Módulo: Direção: ângulo que o vetor faz com um eixo de referência.

13 13 1) A comutatividade da soma de vetores já foi demonstrada. Ela permite trocar a ordem dos vetores em uma soma. 2) O vetor é o elemento neutro da soma de vetores. Ele é um vetor com módulo zero. Existe tal que 3) tal que Existe O vetor é o vetor simétrico da soma de vetores. Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real

14 14 A soma de 4) É a propriedade de Associatividade da soma de vetores já mencionada. Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real de um vetorcom um vetor simétrico define a subtração de vetores. Para realizá-la é suficiente aplicar a regra do paralelogramo a esses vetores

15 15 Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real As propriedades 1 (comutativa) e 4 (associativa) permitem escrever a soma de vetores sem os parênteses, uma vez que a ordem em que os vetores são somados não altera o resultado, isto é, 5) A comparação entre os módulos, as direções e os sentidos dos vetores e mostram que eles são iguais. onde e são dois números reais.

16 16 Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real 6) onde é um número real. É a propriedade de distributiva. Vamos supor inicialmente que Semelhança de triângulos (123 e 146) permite escrever: o segmento de reta orientado é o vetor o segmento de reta orientado é o vetor o segmento de reta orientado é o vetor o triângulo 146 define a somae tem como resultado o vetor isto é:

17 17 Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real 7) É uma consequência da regra que define a soma de vetores e das propriedades geométricas de um triângulo. Triângulo construído com os vetores, e Os lados de um triângulo satisfazem a desigualdade triangular, isto é sendo Ela mostra claramente que, em geral, o módulo da soma de vetores é menor do que a soma dos módulos dos vetores. A igualdade só se verifica se os vetores forem colineares (com a mesma direção e o mesmo sentido).

18 18 Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real As propriedades demonstradas anteriormente permitem simplificação de expressões vetoriais e a decomposição dos vetores em bases ortogonais. Exemplo 1: Simplifique as seguintes expressões vetoriais: a) b)

19 19 Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real Exemplo 1: Simplifique a seguinte expressão vetorial:

20 20 Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real Exemplo 1: Simplifique a seguinte expressão vetorial:

21 21 Exemplo 2: Na figura a seguir estão representados os alguns vetores. a) Realize geometricamente as operações descritas nos itens de a até e. b) Qual é em cada um dos casos o módulo e a direção do vetor ?. a) b) c) d) e)

22 22

23 23 Projeção de vetores (Decomposição) As regras para a somar de vetores e multiplicar vetores por números reais apresentadas têm o inconveniente de dependerem da qualidade dos desenhos elaborados. Representar os vetores em bases apropriadas: x y Por uma questão de simplicidade, escolhe-se representar todos os vetores de um plano em termos de dois vetores unitários perpendiculares. Vetores unitários são aqueles que tem módulo um

24 24 negativa

25 25 Exercício

26 26 Exercício

27 Produto Escalar 27

28 Produto Escalar 28

29 Produto Vetorial 29 Regra da mão direita

30 Produto Vetorial 30


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