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Números Complexos 1- Definição: 1- Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y) (1)

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2 Números Complexos 1- Definição: 1- Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y) (1) (1) sujeito às regras e leis de operações dadas a seguir: itens (2) a (5). (2)(x, 0)número real x(x, 0) = x(0, 1) = i unidade imaginária R(z) = x e Im(z) = y (2) O par (x, 0) é identificado como o número real x, ou seja, (x, 0) = x; (0, 1) = i é chamado de unidade imaginária; (x, y), juntos e nessa ordem, representam a parte real e a parte imaginária, isto é, R(z) = x e Im(z) = y.

3 (3) x 1 = x 2 y 1 = y 2 (3) (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ) x 1 = x 2 e y 1 = y 2 Se z 1 = (x 1, y 1 ) e z 2 = (x 2, y 2 ), então: (4) (4) z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) (5) (5) z 1 z 2 = (x 1 y 1 ). (x 2 y 2 ) = (x 1 x 2 - y 1 y 2, x 1 y 2 +x 2 y 1 ) (6) z = (x, y) = x + yi (6) Cada número complexo (não real) pode ser escrito como a soma de um número real e um número complexo puro z = (x, y) = x + yi Como consequência da equação (6), pode se escrever a fórmula (5) como: (x 1 + y 1 i). (x 2 + y 2 i) = x 1 x 2 + (y 1 y 2 )i 2 + (x 1 y 2 )i + (x 2 y 1 )i = x 1 x 2 - y 1 y 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i

4 Exemplo: Exemplo: Dados os números z 1 = (2,1) e z 2 = (3, 0), Calcular z 1 + z 2, z 1. z 2 e z 1 2Solução: (5, 1) z 1 + z 2 = (2, 1) + (3, 0) = (2 + 3, 1 + 0) = (5, 1) (6, 3) z 1 z 2 = (2, 1). (3, 0) = ( , ) = (6, 3) (3, 4) z 1 2 = (2, 1). (2, 1) = (2.2 – 1.1, ) = (3, 4)

5 2 - Propriedades P1) P1) Subtração (inverso da adição) z 1 - z 2 = z 3 z 1 = z 2 + z 3 ou (x 2, y 2 ) + (x 3, y 3 ) = (x 1, y 1 ) Assim, z 1 - z 2 = (x 1 - x 2, y 1 - y 2 ) = (x 1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 )i P3) P3) Divisão (inversa da multiplicação) (z 1 / z 2 ) = z 3 se z 1 = z 2 z 3, (z 2 0) ou (x 2 x 3 - y 2 y 3, x 2 y 3 + x 3 y 2 ) = (x 1, y 1 )

6 Logo, igualando os pontos correspondentes e resolvendo em relação a x 3, y 3, temos: z 1 /z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + (x 2 y 1 - x 1 y 2 )i z 1 /z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + (x 2 y 1 - x 1 y 2 )i, com: z 2 0. x y 2 2 x 2 2 +y 2 2 Assim: z 1 : z 2 = z 1. 1 z 1 : z 2 = z 1. 1, _ 1 _ = 1. 1, com: z 2 0 e z 3 0. z 2 z 2 z 2.z 3 z 2 z 3 Ex2): Determine o valor da expressão: [(-1 + 3i).(1 + 2i)] / (2 - i) + 2i = [( i) / (2 - i)]+ 2i = [(-7 + i) / (2 - i)] + 2i -3 + i = [( ) / (4 +1)] + [(2 -7)i /5] + 2i = -3 + i

7 Leis para adição e subtração: a) z 1 + z 2 = z 2 + z 1 (comutativa) b) z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 (associativa) c) z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3 (associativa) d) z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 (distributiva)


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