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Δ (b 2 - 4ac) (Δ < 0) Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Δ (b 2 - 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Δ

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2 Δ (b 2 - 4ac) (Δ < 0) Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Δ (b 2 - 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Δ < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C. Números Complexos Esquematicamente, temos: R C

3 Números Complexos Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja: z = (x, y), onde x pertence a R e y pertence a R. z = (x, y), onde x pertence a R e y pertence a R. z= x + y.i (forma algébrica), em que i = -1 z= x + y.i (forma algébrica), em que i = -1 z = (x, y) Afixo z = (x, y) Afixo

4 Exemplos: A (5, 3) = 5 + 3i B(2, 1) = 2 + i C(-1, 3) = i... Dessa forma, todo número complexo z = (x,y) pode ser escrito na forma z = x + y.i, conhecido como forma algébrica, onde temos: x = Re(z), parte real de z (termo independente) x = Re(z), parte real de z (termo independente) y = Im(z), parte imaginária de z (coeficiente do i) y = Im(z), parte imaginária de z (coeficiente do i) x y5 3 A

5 Igualdade entre números complexos Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z 1 = a + bi e z 2 = c + di, temos que: z 1 = z 2 a = c e b = d z 1 = z 2 a = c e b = d

6 Adição de números complexos Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z 1 = a + bi e z 2 = c + di, temos que: z 1 + z 2 = (a + c) + (b + d)i z 1 + z 2 = (a + c) + (b + d)i Subtração de números complexos Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z 1 = a + bi e z 2 = c + di, temos que: z 1 – z 2 = (a - c) + (b - d)i z 1 – z 2 = (a - c) + (b - d)i

7 Multiplicação de números complexos Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a distributiva dos dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z 1 = a + bi e z 2 = c + di, temos que: z 1.z 2 = (a + bi).(c + di ) z 1.z 2 = (a + bi).(c + di ) z 1.z 2 = a.c + adi + bci + bdi 2 z 1.z 2 = a.c + adi + bci + bdi 2 z 1.z 2 = a.c + bdi 2 = adi + bci z 1.z 2 = a.c + bdi 2 = adi + bci z 1.z 2 = (ac - bd) + (ad + bc)i z 1.z 2 = (ac - bd) + (ad + bc)i Observar que : i 2 = -1

8 w 1 = i.z 1 A) z 1 = 2 w 1 = i.z 1 = 2i w 2 = i.z 2 B) z 2 = 5 w 2 = i.z 2 = 5i w 3 = 2i.z 3 C) z 3 = 6 + 2i w 3 = 2i.z 3 = 12i + 4i 2 = i 3 4 Exemplo: Qual a área do triângulo cuja representação sobre o plano cartesiano são os afixos do números complexos w 1, w 2 e w 3 abaixo?

9 Conjugado de um número complexo Dado z = a + bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z ) z = a - bi Exemplo: z= 3 - 5i z = 3 + 5i z = 7i z = - 7i z = 3 z = 3

10 Divisão de números complexos Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z 1 = a + bi e z 2 = c + di, temos que: z 1 / z 2 = [z 1. z 2 ] / [z 2. z 2 ] = z 1 / z 2 = [z 1. z 2 ] / [z 2. z 2 ] = [(a + bi).(c - di)] / [(c + di).(c - di)] [(a + bi).(c - di)] / [(c + di).(c - di)]

11 Exemplo: Calcule: (7+4i)/(1+2i).

12 = 4 Se a parte imaginária é zero, então: - 4 = 0 = 4 Exemplo: (FUVEST) Determine o valor de, para que a parte imaginária de (2 + i)/( + 2i) seja nula.

13 Potências de i Se, por definição, temos que i = -1, então: i 0 = 1 i 1 = i i 2 = -1 i 3 = i 2.i = (-1).i = -i i 4 = i 2.i 2 = (-1).(-1)=1 i 5 = i 4.1= 1.i = i i 6 = i 5.i = i.i = i 2 = -1 i 7 = i 6.i = (-1).i = -i Soma = 0

14 Potências de i Observamos que no desenvolvimento de i n n pertencente a N, os valores se repetem de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos i n basta calcularmos i r onde r é o resto da divisão de n por 4. Exemplo: Calcule i : 4 dá resto 3, Logo: i 63 = i 3 = -i

15 Exemplo: Obtenha o valor de: a) i i i i 1008 = i 3 + i 1 + i 2 + i 0 = i 3 + i 1 + i 2 + i 0 = - i + i – = 0 - i + i – = b) i n n=5 n=5 12 parcelas têm soma zero

16 Módulo de um número complexo Dado z = a + bi, chama-se módulo de z a sentença: |z| = a 2 + b 2, conhecido como ρ |z| = a 2 + b 2, conhecido como ρ Interpretação (forma) geométrica Como dissemos anteriormente, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a + bi da seguinte maneira:

17 Forma Geométrica x (Real) y (Im.) a b |z| Representação do número complexo z = a + bi z = a + bi no plano cartesiano (plano de Argand/Gauss) P(a,b) Perceba que: |z| = a 2 + b 2

18 Forma Geométrica a b |z| Agora observe apenas o triângulo da figura anterior, nele temos que: é chamado argumento de z. é chamado argumento de z.

19 Da interpretação geométrica, temos que: que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo. Logo:

20 Exemplo: Exemplo: Dados os complexos z 1 = 3 + 4i e z 2 = i. Calcule |z 1 |, |z 2 |, z 1.z 2, |z 1. z 2 |, z 1 /z 2 e |z 1 /z 2 |. Obs.: como se pode perceber o módulo do produto é igual ao produto dos módulos, o mesmo vale para o quociente

21 Exemplo: Considere o número complexo z = i e calcule: a)Módulo de z: b) O argumento principal de z:

22 c) A forma trigonométrica: z = ρ.(cos + i. sen ) z = 6.(cos150º + i.sen 150º) ou z = 6.(cos5 /6 + i.sen5 /6)

23 Exemplo: Escreva na forma trigonométrica Exemplo: Obtenha a forma algébrica de

24 Possibilidades de se trabalhar com números complexos: Forma algébrica Afixo Forma geométrica Forma trigonométrica

25 MULTIPLICAÇÃO na forma trigonométrica Sejam dados dois números z e w tais que: Vejamos o que acontece quando fazemos z. w:

26 Conclusão: Conclusão: na multiplicação de dois números z e w na forma trigonométrica: O módulo do produto é O PRODUTO DOS MÓDULOS; O argumento do produto é A SOMA DOS ARGUMENTOS. MULTIPLICAÇÃO na forma trigonométrica

27 Exemplo: Dados os números: Observação: O produto de n números complexos z 1 z 2...z n,pode ser generalizado por: Calcule z 1. z 2 :

28 DIVISÃO na forma trigonométrica Sendo dados dois números z e w tais que: Na divisão de z por w, dizemos que: O módulo da quociente é O QUOCIENTE DOS MÓDULOS; O módulo da quociente é O QUOCIENTE DOS MÓDULOS; O argumento do quociente é A DIFERENÇA DOS ARGUMENTOS. O argumento do quociente é A DIFERENÇA DOS ARGUMENTOS.

29 Exemplo: Sejam os números complexos: Resolução: Calcule: z 1 /z 2 e z 1.z 2.z 3 :

30 POTENCIAÇÃO na forma trigonométrica Primeira fórmula de De Moivre POTENCIAÇÃO É UMA MULTIPLICAÇÃO DE FATORES IGUAIS. Deste modo, sendo dado um número z: Vamos primeiro lembrar que: POTENCIAÇÃO É UMA MULTIPLICAÇÃO DE FATORES IGUAIS. Deste modo, sendo dado um número z: Para calcularmos z n fazemos:

31 Conclusão: Conclusão: na potenciação de dois números z e w na forma trigonométrica: O módulo da potência é A POTÊNCIA DO MÓDULO; O argumento da potência é O PRODUTO DO EXPOENTE PELO ARGUMENTO. POTENCIAÇÃO na forma trigonométrica Primeira fórmula de De Moivre

32 Exemplo: Dado z = 2(cos30º + isen30º), obtenha a forma trigonométrica de z 3 : Exemplo: Calcule z 5 onde z = 2 + 2i 3. Resolução:

33 RADICIAÇÃO na forma trigonométrica Segunda fórmula de Moivre RADICIAÇÃO É A OPERAÇÃO INVERSA DA POTENCIAÇÃO. Deste modo, sendo dado um número z: Vamos primeiro lembrar que: RADICIAÇÃO É A OPERAÇÃO INVERSA DA POTENCIAÇÃO. Deste modo, sendo dado um número z: No cálculo das raízes n-ésimas de z, dizemos que: O módulo de cada uma das raízes é A RAIZ DO MÓDULO; O módulo de cada uma das raízes é A RAIZ DO MÓDULO; O argumento de cada uma das raizes é O QUOCIENTE DO ARGUMENTO, ESCRITO NA SUA FORMA GERAL, PELO ÍNDICE DA RAIZ. Neste caso, devemos atribuir valores para k a fim de obtermos valores particulares para as raízes. O argumento de cada uma das raizes é O QUOCIENTE DO ARGUMENTO, ESCRITO NA SUA FORMA GERAL, PELO ÍNDICE DA RAIZ. Neste caso, devemos atribuir valores para k a fim de obtermos valores particulares para as raízes.

34 RADICIAÇÃO na forma trigonométrica Segunda fórmula de Moivre

35 Extrair as raizes n-ésimas z 1/n de um complexo z é resolver a equação z o n = z. w k = |w k |(cos 0 + isen 0 ) Se considerarmos: w k = |w k |(cos 0 + isen 0 ) w k n = z Então de: w k n = z Teremos: |w k | n [cos(n o ) + isen (n 0 )] = |z|(cos + i sen ) |w k | n [cos(n o ) + isen (n 0 )] = |z|(cos + i sen ) Se os ângulos são dados em radianos, RADICIAÇÃO – explicando melhor

36 Onde k = 0, 1,...(n - 1) Z. Portanto, existem exatamente n raízes distintas quando z 0, a saber, encontradas por meio expressão: w k = |w k |(cos 0 + isen 0 ) w k = |w k |(cos 0 + isen 0 ) Exemplo: Exemplo: Calcular as raízes cúbicas de 8. Primeiro vamos escrever z = 8 na forma trigonométrica:

37 Agora é só atribuir valores para k, com k = 0, 1 e 2 Agora, vamos extrair as raízes cúbicas de z = 8, sabendo que: |z| = 8, n=3, = 0.

38 Vamos representar as raízes cúbicas de z = 8 no plano de Argand-Gauss

39 Observações: 1. Perceba que quando representamos no plano de Argand-Gauss as raízes n- ésimas de z, os afixos destas raízes representarão pontos da circunferência trigonométrica; 2. Perceba ainda que basta achar o argumento da 1ª raiz (para k = 0), as demais posicionam-se a 360/n graus uma da outra. 3. No exemplo que resolvemos o argumento da 1ª raiz é 0 ( = 0) e o argumento das demais é 120º e 240º, pois 360º/3 = 120º; 4. As raízes n-ésimas de z formarão no plano de Argand-Gauss um polígono regular de n lados.

40 Exercícios Resolvidos 01. Sejam os complexos z 1 = (2x + 1) + yi e z 2 = -y + 2i Determine x e y de modo que z 1 + z 2 = 0 Temos que: z 1 + z 2 = (2x y) + (y +2)i = 0 logo, é preciso que: 2x y = 0 e y + 2 = 0 Resolvendo, temos que: y = -2 e x = -3/2

41 02. Determine x, de modo que z = (x + 2i).(1 + i) seja imaginário puro. Efetuando a multiplicação, temos que: z = x + xi + 2i + 2i 2 z = x + (x + 2)i – 2 z = (x - 2) + (x + 2)i Para z ser imaginário puro é necessário que: (x - 2) = 0 x = 2 Logo: x = 2

42 03. Qual é o conjugado de z = (2 + i)/(7 - 3i)? Efetuando a divisão, temos que: O conjugado de Z seria, então:

43 04. Os módulos de z 1 = x + 20 i e z 2 = (x - 2) + 6i são iguais, qual o valor de x? Então, |z 1 | = x e |z 2 |= (x - 2) Em decorrência, x = x 2 - 4x = - 4x x = 20 x = 5 Logo: x = 5

44 05. Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1 + i)/i. Efetuando-se a divisão, temos: Para a forma trigonométrica, temos que: = 315º Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que: = 315º Logo que a forma trigonométrica é dada por:


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