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Denomina-se equação polinomial ou equação algébrica de grau n, na variável x e C, toda equação que pode ser reduzida à forma: 1. Conceitos Iniciais Nessa.

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2 Denomina-se equação polinomial ou equação algébrica de grau n, na variável x e C, toda equação que pode ser reduzida à forma: 1. Conceitos Iniciais Nessa igualdade a n, a n 1,..., a 2, a 1 e a 0 são números complexos chamados coeficientes; n IN*; a n 0 e a 0 é o termo independente. Exemplos: 3x - 4 = 0 é uma equação algébrica do 1º grau. 2x 2 5x + 8 = 0 é uma equação algébrica do 2º grau. 4x 3 + 5x 2 3x + 4 = 0 é uma equação algébrica de grau 3. x 5 2/3x 4 + 3x 6 = 0 é uma equação algébrica de grau 5 a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n a 1 x 1 + a 0 = 0 a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n a 1 x 1 + a 0 = 0.

3 Denomina-se raiz ou zero de uma equação polinomial P(x) = 0 todo número complexo para o qual P( ) = 0 é uma sentença verdadeira. é raiz de P(x) P( ) = 0 é raiz de P(x) P( ) = 0 Na equação algébrica x 3 + 2x 2 13x + 10 = 0, por exemplo, temos: 2 é raiz da equação, pois: (2) (2) 2 13 (2) +10 = 0 3 não é raiz da equação, pois: (3) (3) 2 13 (3) + 10 = Raiz ou Zero de Uma Equação

4 Chamamos de conjunto solução ou conjunto verdade, num certo conjunto universo U, o conjunto das raízes da equação algébrica que pertencem a U. Quando não citarmos o conjunto universo de uma equação algébrica estaremos considerando-o como sendo o conjunto dos números complexos. Resolver uma equação algébrica é encontrar o seu conjunto solução ou conjunto verdade. 3. Conjunto Solução

5 Nas equações do 1º e do 2º grau, os zeros ou raízes da equação são obtidos por fórmulas que envolvem os coeficientes das equações, as operações fundamentais e a extração de raízes. ax + b = 0 com a 0 é uma equação do 1a grau cuja raíz é: ax 2 + bx + c = 0 com a 0 é uma equação do 2º grau cujas raízes são:, com = b 2 4ac. 4. Teorema Fundamental da Álgebra

6 Para a resolução de equações de grau igual ou maior que 3, utilizamos métodos baseados no teorema fundamental da Álgebra, enunciado abaixo: Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n (n 1), tem pelo menos uma raiz real ou complexa. 4. Teorema Fundamental da Álgebra

7 Observe os polinômios a seguir e as suas raízes: P 1 (x) = 4x 12 de raiz 3 P 1 (x) = 4x 12 de raiz 3 P 2 (x) = x 2 5x + 6 de raízes 2 e 3 P 2 (x) = x 2 5x + 6 de raízes 2 e 3 P 3 (x) = x 3 + x 2 4x - 4 de raízes 2, 1 e 2 P 3 (x) = x 3 + x 2 4x - 4 de raízes 2, 1 e 2 P 4 (x) = x 4 5x 2 36 de raízes 3, 3, 2i e 2i P 4 (x) = x 4 5x 2 36 de raízes 3, 3, 2i e 2i Cada um dos polinômios acima pode ser escrito nas seguintes formas fatoradas: P 1 (x) = 4(x 3) P 1 (x) = 4x 12 P 1 (x) = 4(x 3) P 2 (x) = (x 2)(x 3) P 2 (x) = x 2 5x + 6 P 2 (x) = (x 2)(x 3) P 3 (x) = (x + 1)(x 2)(x + 2) P 3 (x) = x 3 + x 2 4x 4 P 3 (x) = (x + 1)(x 2)(x + 2) P 4 (x) = (x 3)(x + 3)(x 2i)(x + 2i) P 4 (x) = x 4 5x 36 P 4 (x) = (x 3)(x + 3)(x 2i)(x + 2i) 5. Teorema da Decomposição

8 De maneira geral, todo polinômio P(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 pode ser escrito na forma fatorada: P(x) = a n (x 1 ) (x 2 )... (x n ) em que 1, 2..., n são as raízes de P(x). Daí, podemos enunciar o seguinte teorema: Toda equação polinomial P(x) = 0, de grau n, n 1, tem exatamente n raízes reais ou complexas. A forma fatorada de P(x) = an(x 1 )(x 2 )... (x n ) mostra que o conjunto solução da equação P(x) = 0 tem no máximo n elementos, pois não sabemos se os números 1, 2, 3,..., n são todos distintos dois a dois. Considerando que a ordem dos fatores não altera o produto, essa decomposição é única. 5. Teorema da Decomposição

9 As raízes de uma equação algébrica podem ser todas distintas ou não. Se um número for uma só vez raiz de uma equação algébrica, ele será chamado raiz simples. duas raízes iguais raiz de multiplicidade 2 raiz duplatrês raízes iguais raiz de multiplicidade 3raiz tripla Se uma equação algébrica tiver duas raízes iguais a um certo número, esse número será uma raiz de multiplicidade 2, isto é, será uma raiz dupla; se tiver três raízes iguais, o número será uma raiz de multiplicidade 3, isto é, será uma raiz tripla, e assim sucessivamente. Seja a equação algébrica: (x 2) 2.(x + 1) 3.(x 3) = 0, que pode ser colocada na forma: (x 2)(x 2)(x + 1)(x + 1)(x + 1)(x 3) = Multiplicidade de uma raiz

10 Podemos observar que a equação tem 6 raízes: uma raiz dupla igual a 2; uma raiz tripla igual a 1; e uma raiz simples igual a 3. De uma maneira geral, se um polinômio P(x) é tal que: P(x) = (x ) m Q(x) com Q( ) 0, dizemos que é raiz de multiplicidade m da equação P(x) = 0. Toda equação algébrica, cujo termo independente é zero, admite o número zero como raiz de multiplicidade igual ao menor expoente da incógnita. OBSERVAÇÃO: Toda equação algébrica, cujo termo independente é zero, admite o número zero como raiz de multiplicidade igual ao menor expoente da incógnita. Exemplo: x 3 – 4x 2 + 5x = 0 x(x 2 – 4x + 5) = 0 uma raiz nula. 6. Multiplicidade de uma raiz

11 Todo polinômio, com coeficientes reais, que admite uma raiz complexa não real (a + bi, com b 0) admite também o seu conjugado (a – bi, com b 0). 7. Teorema das Raízes Complexas Observe que se 1 + i é raiz de P(x), então seu conjugado 1 – i, também será. Exercício Resolvido 1: Dado P(x) = x 4 + x 2 - 2x + 6, verificar se 1 + i é raiz de P(x). Resolução: P(1 + i) = (1 + i) 4 + (1 + i) 2 – 2(1 + i) + 6 P(1 + i) = – 4 + 2i – 2 – 2i + 6 P(1 + i) = 0

12 Observações Importantes: 1) Se um número complexo é raiz de multiplicidade m de um polinômio, então seu conjugado também será; 2) Numa equação de terceiro grau, pelo menos uma das raízes será real. Aliás, numa equação de grau ímpar pelo menos uma das raízes será real. 3) O número de raízes complexas, não reais, de um polinômio será sempre par (de duas em duas – a raiz e seu conjugado) Exercício Resolvido 2: Qual o menor grau possível para uma equação polinomial de coeficientes reais que admita as raízes -2, 3i e 1 – i? Resolução: Incluindo os conjugados podemos perceber que a equação possui pelo menos 5 raízes... portanto, no mínimo, GRAU 5.

13 Exercício Resolvido 3: Resolver, em C, a equação polinomial x 4 – 2x 3 + x 2 – 8x – 12 = 0 sabendo que 2i é uma de suas raízes. Resolução: é divisível por (x – 2i)Se 2i é raiz, então P(x) = x 4 – 2x 3 + x 2 – 8x – 12 = 0 é divisível por (x – 2i); é divisível por (x + 2i)- 2i, conjugado de 2i, também é raiz, então P(x) = x 4 – 2x 3 + x 2 – 8x – 12 = 0 é divisível por (x + 2i); será divisível pelo produto (x – 2i). (x + 2i) = x 2 + 4Se P(x) é divisível por (x - 2i) e também é divisível por (x + 2i), então ele será divisível pelo produto (x – 2i). (x + 2i) = x 2 + 4; Usando a regra da chave efetue a divisão de P(x) por x 2 + 4;

14 A partir desta divisão percebemos que a forma fatorada de P(x) pode ser escrita como (x 2 + 4). (x 2 – 2x - 3) = 0; Portanto, para achar as demais raízes de P(x) basta igualar o quociente Q(x) encontrado a zero: S = {2i, -2i, 3, -1}

15 demais raízes Também poderíamos chegar aos mesmos resultados através do dispositivo de Briot-Ruffini:

16 Exercício Resolvido 4: Os números complexos 1 + i e 1 – 2i são raízes de um polinômio com coeficientes reais de grau 8. O número de raízes reais deste polinômio, no máximo, é: Resolução: Se 1 + i é raiz, então 1 – i também é raiz; Se 1 – 2i é raiz, então 1 + 2i também é raiz Deste modo P(x) terá, no mínimo, 4 raízes complexas, e portanto, no máximo, 4 raízes reais

17 Exercício Resolvido 5: O polinômio x 4 + x 2 – 2x + 6 = 0 admite 1 + i como raiz, no qual i 2 = -1. O número de raízes reais deste polinômio é: Resolução: Pelo enunciado sabemos que 1 + i é raiz, e também o seu conjugado 1 - i; é divisível por [x - (1 + i)] e também é por [(x – (1 - i)]P(x) é divisível por [x - (1 + i)] e também é por [(x – (1 - i)], então ele será divisível pelo produto: [(x – 1) - i]. [(x – 1) + i] = (x – 1) 2 – i 2 = x 2 – 2x + 2 Usando a regra da chave efetue a divisão: P(x) por x 2 – 2x + 2;

18 Portanto, para achar as demais raízes de P(x) basta igualar o quociente Q(x) encontrado a zero: Nenhuma raiz real

19 Exercício Resolvido 6: Resolva a equação 3x 4 – 8x 3 - 5x x – 20 = 0, sabendo que 2 + i é uma de suas raízes. Resolução: Se 2 + i é raiz, então 2 – i também é; Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para baixar o grau da equação temos: demais raízes

20 Se uma equação polinomial, a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n a 1 x 1 + a 0 = 0, coeficientes inteiros, admitir uma raiz racional e possuir raiz(es) racional(is), elas estarão no conjunto p/q de coeficientes inteiros, admitir uma raiz racional e possuir raiz(es) racional(is), elas estarão no conjunto p/q, tal que p seja divisor inteiro de a 0 e q seja divisor de a n, em que p, q são inteiros, q 0, p e q primos entre si. 8. Teorema das Raízes Racionais Divisores inteiros de a 0 : (p) = ± 3, ± 1. Exercício Resolvido 7: Encontrar as raízes racionais da equação: 2x 4 - 3x 3 - 6x 2 – 8x – 3 = 0. Resolução: Então, temos a n = 2, a 0 = -3. Divisores inteiros de a n : (q) = ± 2, ± 1.

21 Agora, basta testar todas elas na equação, ou por substituição ou pelo dispositivo de Briot-Ruffini. Portanto, de acordo com o teorema das raízes racionais, as possíveis raízes da equação são da forma: P(-3) = não é raiz. P(3) = 0 3 é raiz /2 é raiz. Por verificação conclui-se que apenas 3 e -1/2 são raízes racionais.

22 OBSERVAÇÕES: não garante a existência de raízes racionais, mas, no caso de elas existirem, mostra como obtê-las Este teorema não garante a existência de raízes racionais, mas, no caso de elas existirem, mostra como obtê-las. Se a n = ±1 e os demais coeficientes são inteiros, a equação não admite raízes fracionárias O teorema possibilita a formação de um conjunto de possíveis raízes racionais obtidas dos divisores de a n e a 0. Se nenhum elemento desse conjunto for raiz da equação, esta não admitirá raízes racionais. Se a n = ±1 e os demais coeficientes são inteiros, a equação não admite raízes fracionárias, podendo, entretanto, admitir raízes inteiras que são divisores de a n. Em toda equação algébrica cuja soma dos coeficientes for igual a zero, o número 1 será raiz da equação Em toda equação algébrica cuja soma dos coeficientes for igual a zero, o número 1 será raiz da equação. 8. Teorema das Raízes Racionais

23 Exercício Resolvido 8: Resolva a equação x 3 - 5x 2 + 9x – 5 = 0. Resolução: Divisores inteiros de a 0 : (p) = ± 5, ± 1. Temos a n = 1, a 0 = -5. Divisores inteiros de a n : (q) = ± 1. Portanto, de acordo com o teorema das raízes racionais, as possíveis raízes da equação são da forma: P(1) = 0 1 é raiz.

24 Exercício Resolvido 9: Resolva a equação x = 0, em C. Resolução: 1 é raiz de x 3 – 1. Temos: x 6 – 1 = (x 3 - 1).(x 3 + 1) -1 é raiz de x

25 Exercício Resolvido 10: Resolva, em C, a equação x 4 – ax 3 – bx 2 - ax + 2 = 0, com a e b números inteiros, sabendo que duas de suas raízes são números inteiros positivos e consecutivos. Resolução: Divisores inteiros de a 0 : (p) = ± 2, ± 1. Divisores inteiros de a n : (q) = ± 1. Portanto, de acordo com o teorema das raízes racionais, as possíveis raízes da equação são da forma: Com base no enunciado, 1 e 2 são raízes.

26 Agora que sabemos os valores de a e b, temos que a equação ficou assim: E sabemos ainda que 1 e 2 são raízes. demais raízes

27 Exercício Resolvido 11: Resolver a equação 2x 4 – 5x 3 – 2x 2 - 4x + 3 = 0. Resolução: p {± 3, ± 1} e q {± 2, ± 1}. Portanto: P(3/2) 0 P(-3/2) 0 P(3) = 0 P(-3) 0 P(-1/2) 0 P(1/2) = 0 P(1) 0 P(-1) 0

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29 É comum possuirmos alguma informação sobre as raízes de uma equação antes de resolvê-la. Por exemplo: uma raiz é o dobro da outra; uma raiz é dupla; o produto das raízes é 6; etc. Relações de Girard Quando já são conhecidas certas condições sobre as raízes de uma equação, podemos utilizar as Relações de Girard, que são expressões envolvendo somas e produtos das raízes da equação e seus coeficientes. 9. Relações de Girard Relações de Girard para equações do 2º grau Forma Geral: ax 2 + bx + c = 0 Raízes: x 1 e x 2 Forma fatorada: a.(x – x 1 ).(x – x 2 ) = 0 Desenvolvimento: ax 2 – a(x 1 + x 2 )x + ax 1 x 2 = 0 Comparação com a forma Geral: - a(x 1 + x 2 ) = b e ax 1 x 2 = c b c

30 Desta forma temos: x 1 + x 2 = -b/a e x 1 x 2 = c/a As relações de Girard para equações do 2º grau são: Soma das raízes: Produto das raízes: Relações de Girard para equações do 3º grau Forma Geral: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 Raízes: x 1, x 2 e x 3 Forma fatorada: a.(x – x 1 ).(x – x 2 ).(x – x 3 ) = 0 Desenvolvimento: ax 3 – a(x 1 + x 2 + x 3 )x 2 + a(x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 )x – ax 1 x 2 x 3 = 0 b c d

31 Comparação com a forma Geral: - a(x 1 + x 2 + x 3 ) = b e a(x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = c e - ax 1 x 2 x 3 = d Desta forma temos: x 1 + x 2 + x 3 = -b/a, (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = c/a e x 1 x 2 x 3 = c/a As relações de Girard para equações do 3º grau são: Soma das raízes: Soma dos produto das raízes, duas a duas: Produto das raízes:

32 Relações de Girard para equações do 3º grau Forma Geral: ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 Raízes: x 1, x 2, x 3 e x 4 Repetindo o raciocínio dos casos anteriores temos que as relações de Girard para equações do 4º grau são: : Soma das raízes: Soma dos produto das raízes, duas a duas: Produto das raízes: Soma dos produto das raízes, três a três:

33 Relações de Girard para equações de grau n Generalizando: Equação: a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n a 1 x + a 0 = 0 Soma das raízes: Soma dos produto das raízes, duas a duas: Produto das raízes: Soma dos produto das raízes, três a três:

34 Exercício Resolvido 12: Sejam r, s e t as raízes da equação x 3 – 4x 2 + 6x – 5 = 0. Calcular o valor de: a) r + s + t b) rs + rt + st c) rst d) 1/r + 1/s + 1/t

35 Exercício Resolvido 13: Resolva, a equação x 3 – 8x x – 12 = 0, sabendo que uma das raízes é igual a soma das outra duas. Resolução: vamos chamar as raízes de x 1, x 2 e x 3 Das relações de Girard, temos:

36 demais raízes Agora que temos uma das raízes, aplicamos o dispositivo de Briot-Ruffini, baixamos o grau da equação e encontramos as demais raízes.

37 Exercício Resolvido 14: Sabendo que 2 – 3i é raiz da equação x 3 – 6x x – 26 = 0, determinar as demais raízes. Resolução: Se 2 – 3i é raiz, então 2 + 3i também é. Das relações de Girard, temos:

38 Exercício Resolvido 15: Determinar o conjunto solução da equação 4x 3 – 20x x – 4 = 0, sabendo que ela admite uma raiz dupla. Resolução: Chamaremos as raízes de: r, r e s Das relações de Girard, temos: Mas, qual destes valores?

39 Se r = 1/2 então: Se r = 17/6 então: Se substituirmos os valores encontrados na 3ª relação (a do produto das raízes), vamos observar que quando r = 17/6 e s = - 2/3 a sentença obtida é falsa (não dá certo) Já quando substituímos r = 1/2 e s = 4, o resultado encontrado é verdadeiro. Deste modo, o conjunto solução da equação é:

40 Exercício Resolvido 16: Determine o valor de k, para que as raízes da equação x 3 – 3x 2 – 6x + k = 0 formem uma progressão aritmética. Resolução: m – r, m, m + rChamaremos as raízes de: m – r, m, m + r Das relações de Girard, temos: Agora que sabemos que 1 é uma das raízes, vamos substituir x por 1 e calcular o valor de k


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