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FUNÇÃO MODULAR
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1. MÓDULO – Definição Considerando a reta orientada que representa todos os números reais, conhecida como eixo real, com origem no ponto O, que é onde representamos o número real 0 (zero). Dizemos que módulo de um número real x é a “distância” do ponto que representa x no eixo (afixo) à origem do eixo real. (Comprimento do segmento de reta entre 0 e 3) (Comprimento do segmento de reta entre 0 e -4) (Comprimento do segmento de reta entre 0 e 0)
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1. MÓDULO – Definição Deste modo, podemos dizer que:
Perceba que se o número é positivo o módulo é ele mesmo, se é zero, o módulo é zero, se é negativo, o módulo é o oposto do número. Deste modo, podemos dizer que: Sendo x ϵ R, temos:
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1. MÓDULO – Definição Exemplo 1) defina os módulos a seguir. a) b) c)
Exemplo 2) Dê o valor da expressão: Cuidado! é negativo!
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1. MÓDULO – Definição Exemplo 3) defina o módulo a seguir:
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1. MÓDULO – Definição Sendo x ϵ R, temos:
Exemplo 4) Aplique a definição de módulo para a sentença: – – – – – –
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1. MÓDULO – Definição Agora que sabemos a parte positiva e a parte negativa da sentença estudada, temos: De modo resumido podemos dizer:
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Chamamos de função modular toda função definida pela forma:
O que aplicando a definição de módulo se reduz a: Observe a função:
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3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico
EX.1) Construa o gráfico da função: I. Vamos, primeiro, definir o módulo: II. Agora, na função dada, substitua o módulo por essas duas sentenças, lembrando que cada uma delas tem uma condição, e ainda, que esta condição deverá ser submetida à condição inicial dada:
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3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico
III. Agora, para construir o gráfico da função, basta atribuir valores à variável x e calcular o y correspondente:
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3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico
Ex.2) Construa o gráfico da função: I. Vamos primeiro lembrar que: II. Então, temos:
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III. Vamos agora aplicar a definição de módulo:
Então, temos:
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IV. Finalmente, vamos construir o gráfico:
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e apresente os valores reais de x para os quais:
EX.3) Esboce, num mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções definidas por e e apresente os valores reais de x para os quais: I. Vamos aplicar a definição de módulo para os dois casos:
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II. Vamos agora, definir que sentença utilizar para cada intervalo de variação dos valores de x. Para isso construímos um QUADRO:
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III. Agora, basta encontrar o valor de x em cada uma das três sentenças obtidas:
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IV. E por fim, vamos construir os gráficos das funções f(x) e g(x):
Então, ficará:
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Então, ficará:
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Esboce o gráfico e determine o domínio e o conjunto imagem da função: .
I. Vamos aplicar a definição de módulo para os dois casos: Então, ficará:
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Retomando:
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4. PROPRIEDADES DOS MÓDULOS
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5. EQUAÇÃO MODULAR Para entender o que é uma equação modular vamos observar a situação abaixo: Quais são os números que têm módulo igual a 2? (neste caso queremos saber quais os números cuja distância até o zero é 2) Quais são os números que têm módulo menor que 2? (neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é menor que 2)
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5. EQUAÇÃO MODULAR Para entender o que é uma equação modular vamos observar a situação abaixo: Quais são os números que têm módulo maior que 2? (neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é maior que 2)
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Chamamos de equação modular toda equação definida pela forma:
O que aplicando a definição de módulo se reduz a: Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações: ou
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5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 1) Resolva a equação
Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações: ou
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Perceba o seguinte, a equação:
5. EQUAÇÃO MODULAR Perceba o seguinte, a equação: Acabou se reduzindo a outras duas equações: ou Assim podemos simplificar o processo, mas neste caso, não podemos deixar de observar se as respostas encontradas em cada equação verificam a condição de existência de cada uma delas (ou seja, se estão dentro do intervalo no qual elas estão definidas).
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5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 2) Resolva a equação
Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações: ou
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5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 3) Resolva a equação
Para resolver este tipo de equação modular vamos primeiro lembrar de uma das propriedades estudadas anteriormente: Aplicando este conceito na nossa equação teremos: ou
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5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 4) Resolva a equação
Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro efetuar a seguinte substituição: Deste modo a equação se reduzirá a: Agora basta fazer: ou
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5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação
Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro aplicar a definição de módulo para cada uma das sentenças modulares que aparecem na expressão: Vamos agora, definir que sentença utilizar para cada intervalo de variação dos valores de x. Para isso construímos o quadro a seguir, chamado de QUADRO SOMA:
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5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação
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5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação
Perceba que a equação dada se transformou em outras três, e cada uma delas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de x). Vamos rever os resultados encontrados e estas condições: Resp.: Resp.: Resp.: Cond.: Cond.: Cond.: CONCLUSÃO: a resposta NÃO atende a condição. CONCLUSÃO: a resposta ATENDE a condição. CONCLUSÃO: a resposta NÃO atende a condição
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5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 6) Resolva a equação
Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro aplicar a definição de módulo para cada uma das sentenças modulares que aparecem na expressão: Vamos agora, definir que sentença utilizar para cada intervalo de variação dos valores de x. Para isso construímos o quadro a seguir, chamado de QUADRO SOMA:
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5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 6) Resolva a equação
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5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 6) Resolva a equação
Perceba que a equação dada se transformou em outras três, e cada uma delas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de x). Vamos rever os resultados encontrados e estas condições: Resp.: Resp.: Resp.: Cond.: Cond.: Cond.: CONCLUSÃO: não existe valor de x. CONCLUSÃO: a resposta ATENDE atende a condição CONCLUSÃO: a resposta ATENDE atende a condição.
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6. INEQUAÇÃO MODULAR Para entender o que é uma inequação modular vamos observar as situações abaixo: Quais são os números que têm módulo menor que 2? (neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é menor que 2) Quais são os números que têm módulo maior que 2? (neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é maior que 2)
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6. INEQUAÇÃO MODULAR Podemos enunciar o que vimos através de duas propriedades que já estudamos: P7. P8.
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6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 1) Resolva a inequação
Neste caso, estamos nos perguntando quem tem módulo menor que 7, o que aplicando a propriedades estudada, resulta:
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6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 2) Resolva a inequação
Neste caso, estamos nos perguntando quem tem módulo maior ou igual a 3, o que aplicando a propriedades estudada, resulta:
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6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 3) Resolva a inequação
Neste caso, nos interessa que o módulo seja menor que 5, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: Esta sentença é uma inequação simultânea (sistema de inequações) do 1º grau, que pode se resolvida de modo direto: Soma-se 3 a todos os membros. divide-se todos os membros por 2
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6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 4) Resolva a inequação
Neste caso, nos interessa que o módulo seja maior ou igual a 1, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 1º grau:
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6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 5) Resolva a inequação
Neste caso, nos interessa que o módulo seja maior ou igual a 2, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 2º grau: Raízes: Raízes: – – – Est. do sinal: Est. do sinal:
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6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 5) Resolva a inequação
Pronto, agora basta fazer a UNIÃO das duas respostas encontradas (união por causa do “ou”):
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6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 6) Resolva a inequação
Neste caso, nos interessa que o módulo seja menor que 3, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 2º grau: Raízes: Raízes: – – – Est. do sinal: Est. do sinal:
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6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 6) Resolva a inequação
Pronto, agora basta fazer a INTERSECÇÃO das duas respostas encontradas (intersecção por causa do “e”):
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6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 7) Resolva a inequação
Neste caso, primeiro devemos definir cada um dos módulos: Agora, vamos construir um QUADRO SOMA para que possamos obter a sentença resultante da soma dos módulos.
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6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 7) Resolva a inequação
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6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 7) Resolva a inequação
Perceba que a inequação dada se transformou em outras três, e cada uma delas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de x). Vamos rever os resultados encontrados e estas condições: Resp.: Resp.: Resp.: Cond.: Cond.: Cond.: CONCLUSÃO: faça a interseção dos dois intervalos, e perceba que resposta é: CONCLUSÃO: faça a interseção dos dois intervalos, e perceba que resposta é: CONCLUSÃO: faça a interseção dos dois intervalos, e perceba que a resposta é VAZIO (conjunto vazio).
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6. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 7) Resolva a inequação
Agora basta fazer a UNIÃO dos intervalos encontrados.
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6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 8) Resolva a inequação
Neste caso, primeiro devemos definir o módulo: Agora, substitua na expressão original o módulo por cada uma das sentenças obtidas, gerando assim duas inequações, cada uma delas com seu respectivo intervalo de variação (condição).
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6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 8) Resolva a inequação
Perceba que a inequação dada se transformou em duas, e que você já resolveu cada uma delas. E AGORA? Agora você precisa perceber que cada uma dessas respostas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de x) e que você precisa “cruzar” os dois: Cond.: Cond.: CONCLUSÃO: fazendo a interseção dos dois intervalos: CONCLUSÃO: fazendo a interseção dos dois intervalos:
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6. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 8) Resolva a inequação
Agora basta fazer a UNIÃO dos intervalos encontrados.
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