A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

1 FUNÇÃO MODULAR. 1. MÓDULO – Definição eixo real Considerando a reta orientada que representa todos os números reais, conhecida como eixo real, com origem.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "1 FUNÇÃO MODULAR. 1. MÓDULO – Definição eixo real Considerando a reta orientada que representa todos os números reais, conhecida como eixo real, com origem."— Transcrição da apresentação:

1 1 FUNÇÃO MODULAR

2 1. MÓDULO – Definição eixo real Considerando a reta orientada que representa todos os números reais, conhecida como eixo real, com origem no ponto O, que é onde representamos o número real 0 (zero). 2 móduloa distância do ponto à origem Dizemos que módulo de um número real x é a distância do ponto que representa x no eixo (afixo) à origem do eixo real (Comprimento do segmento de reta entre 0 e 3) (Comprimento do segmento de reta entre 0 e -4) (Comprimento do segmento de reta entre 0 e 0)

3 1. MÓDULO – Definição 3 Deste modo, podemos dizer que: número é positivo o módulo é ele mesmo se é negativo, o módulo é o oposto do número Perceba que se o número é positivo o módulo é ele mesmo, se é zero, o módulo é zero, se é negativo, o módulo é o oposto do número. Sendo x R, temos:

4 1. MÓDULO – Definição 4 Exemplo 1) defina os módulos a seguir. a) b) c) d) e) Exemplo 2) Dê o valor da expressão: Cuidado! é negativo!

5 1. MÓDULO – Definição 5 Exemplo 3) defina o módulo a seguir:

6 1. MÓDULO – Definição Sendo x R, temos: – – – – – – Exemplo 4) Aplique a definição de módulo para a sentença:

7 1. MÓDULO – Definição Agora que sabemos a parte positiva e a parte negativa da sentença estudada, temos: De modo resumido podemos dizer: 7

8 2. FUNÇÃO MODULAR Chamamos de função modular toda função definida pela forma: O que aplicando a definição de módulo se reduz a: Observe a função: 8

9 3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico EX.1) Construa o gráfico da função: 9

10 3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico 10

11 3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico Ex.2) Construa o gráfico da função: 11

12 12

13 13

14 EX.3) Esboce, num mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções definidas por e e apresente os valores reais de x para os quais: 14

15 15

16 16

17 17

18 18

19 19

20 Esboce o gráfico e determine o domínio e o conjunto imagem da função:. 20

21 21

22 P4. 4. PROPRIEDADES DOS MÓDULOS P1. P2. P3. P5. P6. P7. P8. 22

23 Quais são os números que têm módulo menor que 2? (neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é menor que 2) 5. EQUAÇÃO MODULAR Para entender o que é uma equação modular vamos observar a situação abaixo: Quais são os números que têm módulo igual a 2? (neste caso queremos saber quais os números cuja distância até o zero é 2)

24 Quais são os números que têm módulo maior que 2? (neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é maior que 2) 5. EQUAÇÃO MODULAR Para entender o que é uma equação modular vamos observar a situação abaixo:

25 5. EQUAÇÃO MODULAR Chamamos de equação modular toda equação definida pela forma: O que aplicando a definição de módulo se reduz a: Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações: 25 ou

26 5. EQUAÇÃO MODULAR 26 Exemplo 1) Resolva a equação Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações: ou

27 5. EQUAÇÃO MODULAR Perceba o seguinte, a equação: Acabou se reduzindo a outras duas equações: 27 ou se estão dentro do intervalo no qual elas estão definidas Assim podemos simplificar o processo, mas neste caso, não podemos deixar de observar se as respostas encontradas em cada equação verificam a condição de existência de cada uma delas (ou seja, se estão dentro do intervalo no qual elas estão definidas).

28 5. EQUAÇÃO MODULAR 28 Exemplo 2) Resolva a equação Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações: ou

29 5. EQUAÇÃO MODULAR 29 Exemplo 3) Resolva a equação Para resolver este tipo de equação modular vamos primeiro lembrar de uma das propriedades estudadas anteriormente: ou Aplicando este conceito na nossa equação teremos:

30 5. EQUAÇÃO MODULAR 30 Exemplo 4) Resolva a equação Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro efetuar a seguinte substituição: Deste modo a equação se reduzirá a: Agora basta fazer: ou

31 5. EQUAÇÃO MODULAR 31 Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro aplicar a definição de módulo para cada uma das sentenças modulares que aparecem na expressão: QUADRO SOMA Vamos agora, definir que sentença utilizar para cada intervalo de variação dos valores de x. Para isso construímos o quadro a seguir, chamado de QUADRO SOMA:

32 5. EQUAÇÃO MODULAR 32 Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação

33 5. EQUAÇÃO MODULAR 33 Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação se transformou em outras três condição Perceba que a equação dada se transformou em outras três, e cada uma delas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de x). Vamos rever os resultados encontrados e estas condições: NÃO CONCLUSÃO: a resposta NÃO atende a condição. Resp.: Cond.: ATENDE CONCLUSÃO: a resposta ATENDE a condição. Resp.: Cond.: NÃO CONCLUSÃO: a resposta NÃO atende a condição Resp.: Cond.:

34 5. EQUAÇÃO MODULAR 34 Exemplo 6) Resolva a equação Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro aplicar a definição de módulo para cada uma das sentenças modulares que aparecem na expressão: QUADRO SOMA Vamos agora, definir que sentença utilizar para cada intervalo de variação dos valores de x. Para isso construímos o quadro a seguir, chamado de QUADRO SOMA:

35 5. EQUAÇÃO MODULAR 35 Exemplo 6) Resolva a equação

36 5. EQUAÇÃO MODULAR 36 se transformou em outras três condição Perceba que a equação dada se transformou em outras três, e cada uma delas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de x). Vamos rever os resultados encontrados e estas condições: ATENDE CONCLUSÃO: a resposta ATENDE atende a condição. Resp.: Cond.: CONCLUSÃO: não existe valor de x. Resp.: Cond.: ATENDE CONCLUSÃO: a resposta ATENDE atende a condição Resp.: Cond.: Exemplo 6) Resolva a equação

37 Quais são os números que têm módulo menor que 2? (neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é menor que 2) 6. INEQUAÇÃO MODULAR Para entender o que é uma inequação modular vamos observar as situações abaixo: Quais são os números que têm módulo maior que 2? (neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é maior que 2)

38 6. INEQUAÇÃO MODULAR Podemos enunciar o que vimos através de duas propriedades que já estudamos: 38 P7. P8.

39 6. INEQUAÇÃO MODULAR 39 Exemplo 1) Resolva a inequação Neste caso, estamos nos perguntando quem tem módulo menor que 7, o que aplicando a propriedades estudada, resulta:

40 6. INEQUAÇÃO MODULAR 40 Exemplo 2) Resolva a inequação Neste caso, estamos nos perguntando quem tem módulo maior ou igual a 3, o que aplicando a propriedades estudada, resulta:

41 6. INEQUAÇÃO MODULAR 41 Exemplo 3) Resolva a inequação Neste caso, nos interessa que o módulo seja menor que 5, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: Esta sentença é uma inequação simultânea (sistema de inequações) do 1º grau, que pode se resolvida de modo direto: Soma-se 3 a todos os membros. divide-se todos os membros por 2

42 6. INEQUAÇÃO MODULAR 42 Exemplo 4) Resolva a inequação Neste caso, nos interessa que o módulo seja maior ou igual a 1, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 1º grau:

43 6. INEQUAÇÃO MODULAR 43 Exemplo 5) Resolva a inequação Neste caso, nos interessa que o módulo seja maior ou igual a 2, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 2º grau: Raízes: Est. do sinal: Raízes: Est. do sinal: – – – + + +

44 6. INEQUAÇÃO MODULAR 44 Exemplo 5) Resolva a inequação UNIÃO Pronto, agora basta fazer a UNIÃO das duas respostas encontradas (união por causa do ou):

45 6. INEQUAÇÃO MODULAR 45 Exemplo 6) Resolva a inequação Neste caso, nos interessa que o módulo seja menor que 3, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 2º grau: Raízes: Est. do sinal: Raízes: Est. do sinal: – – – + + +

46 6. INEQUAÇÃO MODULAR 46 INTERSECÇÃO Pronto, agora basta fazer a INTERSECÇÃO das duas respostas encontradas (intersecção por causa do e): Exemplo 6) Resolva a inequação

47 6. INEQUAÇÃO MODULAR 47 Exemplo 7) Resolva a inequação Neste caso, primeiro devemos definir cada um dos módulos: QUADRO SOMA Agora, vamos construir um QUADRO SOMA para que possamos obter a sentença resultante da soma dos módulos.

48 6. INEQUAÇÃO MODULAR 48 Exemplo 7) Resolva a inequação

49 6. INEQUAÇÃO MODULAR 49 se transformou em outras três condição Perceba que a inequação dada se transformou em outras três, e cada uma delas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de x). Vamos rever os resultados encontrados e estas condições: VAZIO (conjunto vazio) CONCLUSÃO: faça a interseção dos dois intervalos, e perceba que a resposta é VAZIO (conjunto vazio). Resp.: Cond.: CONCLUSÃO: faça a interseção dos dois intervalos, e perceba que resposta é: Resp.: Cond.: CONCLUSÃO: faça a interseção dos dois intervalos, e perceba que resposta é: Resp.: Cond.: Exemplo 7) Resolva a inequação

50 6. EQUAÇÃO MODULAR 50 UNIÃO Agora basta fazer a UNIÃO dos intervalos encontrados. Exemplo 7) Resolva a inequação

51 6. INEQUAÇÃO MODULAR 51 Exemplo 8) Resolva a inequação Neste caso, primeiro devemos definir o módulo: condição Agora, substitua na expressão original o módulo por cada uma das sentenças obtidas, gerando assim duas inequações, cada uma delas com seu respectivo intervalo de variação (condição).

52 6. INEQUAÇÃO MODULAR 52 Exemplo 8) Resolva a inequação se transformou em duas E AGORA? condição Perceba que a inequação dada se transformou em duas, e que você já resolveu cada uma delas. E AGORA? Agora você precisa perceber que cada uma dessas respostas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de x) e que você precisa cruzar os dois: Cond.: CONCLUSÃO: fazendo a interseção dos dois intervalos: Cond.: CONCLUSÃO: fazendo a interseção dos dois intervalos:

53 6. EQUAÇÃO MODULAR 53 UNIÃO Agora basta fazer a UNIÃO dos intervalos encontrados. Exemplo 8) Resolva a inequação


Carregar ppt "1 FUNÇÃO MODULAR. 1. MÓDULO – Definição eixo real Considerando a reta orientada que representa todos os números reais, conhecida como eixo real, com origem."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google