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1 Uniban Universidade Bandeirante de São Paulo Fundamentos da Álgebra Prof. Cícero São Paulo – 2009.

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1 1 Uniban Universidade Bandeirante de São Paulo Fundamentos da Álgebra Prof. Cícero São Paulo – 2009

2 2 CAPÍTULO II – Produtos Notáveis 1. O que são produtos notáveis? Há certos produtos que ocorrem frequentemente no cálculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais frequente.

3 3 2. Casos de produtos notáveis 2.1. Quadrado da soma de dois termos Interpretação Geométrica = + +

4 4 Interpretação Algébrica

5 5 Assim podemos concluir que o quadrado da soma de dois termos é: o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

6 Quadrado da diferença de dois termos Interpretação Geométrica =

7 7 Interpretação Algébrica

8 8 Assim podemos concluir que o quadrado da diferença de dois termos é: o quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

9 9 CUIDADO!!!!!!

10 10 CUIDADO!!!!!!

11 11 OBSERVAÇÃO São válidas as igualdades:

12 12 OBSERVAÇÃO São válidas as igualdades:

13 13 b b (a – b) 2.3. Produto da soma de dois termos pela sua diferença Interpretação Geométrica (a – b) a a b b a a b2b2 b b

14 14 Interpretação Algébrica

15 15 Assim podemos concluir que o produto da soma de dois termos pela sua diferença é: o quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

16 Cubo da soma de dois termos Interpretação Geométrica Considere um cubo de aresta a + b, como o da figura ao lado. a b ba a b O volume de um cubo de arestas m é, então o volume do cubo representado pela figura é.

17 17 Separando as partes em que o cubo está dividido, temos: Um cubo de aresta a. Volume: a 3. a a a3a3 a

18 18 Três paralelepípedos que têm arestas a, a e b. b b a2ba2ba2ba2b a a2ba2ba2ba2b a2ba2ba2ba2ba a a b a a Cada paralelepípedo tem volume a 2 b. O volume dos três paralelepípedos é 3a 2 b.

19 19 Três paralelepípedos que têm arestas a, b e b. ab 2 b b a b a a b b b Cada paralelepípedo tem volume ab 2. O volume dos três paralelepípedos é 3ab 2.

20 20 Um cubo de aresta b. Volume: b 3. b3b3 b b b

21 21 a2ba2ba2ba2b a2ba2ba2ba2b a3a3 Somando todos esses volumes temos: ab 2 Como o volume do todo é igual à soma dos volumes das partes, temos: a2ba2ba2ba2b ab 2 b3b3

22 22 Interpretação Algébrica

23 23 Assim podemos concluir que o cubo da soma de dois termos é: o cubo do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.

24 Cubo da diferença de dois termos Interpretação Geométrica Considere um cubo de aresta a – b, como o da figura abaixo, então o volume do cubo representado pela figura é.

25 25 Interpretação Algébrica

26 26 Assim podemos concluir que o cubo da soma de dois termos é: o cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo.

27 27 CUIDADO!!!!!!

28 28 CUIDADO!!!!!!

29 Quadrado da soma de três termos Interpretação Geométrica

30 30 Vamos separar as partes em que o quadrado de lado a + b + c está dividido: Um quadrado de aresta a. Área: Um quadrado de aresta b. Área: Um quadrado de aresta c. Área:

31 31 Dois retângulos que têm arestas a e b. Cada retângulo tem área ab. A área dos dois retângulos é 2ab. Dois retângulos que têm arestas a e c. Cada retângulo tem área ac. A área dos dois retângulos é 2ac. Dois retângulos que têm arestas b e c. Cada retângulo tem área bc. A área dos dois retângulos é 2bc.

32 32 Somando todas essas áreas temos: ab + 2ac + 2bc. Como a área do todo é igual à soma das áreas das partes, temos:

33 33 Interpretação Algébrica

34 Produto de Stevin Interpretação Geométrica Produto da forma (x + a)(x + b) Vamos separar as partes em que o quadrado de lado x + a está dividido:

35 35 Um retângulo que têm arestas x e b. Área: bx. Um retângulo que têm arestas x e a. Área: ax. Um retângulo que têm arestas a e b. Área: ab. Um quadrado de aresta x. Área:

36 36 Como a área do todo é igual à soma das áreas das partes, temos: Somando todas essas áreas temos: (x + a) (x + b) = + ax + bx + ab.+ ax + bx + ab (x + a) (x + b) = + (a + b)x + ab

37 37 Interpretação Algébrica Observe que: (x + a) (x + b) = + bx + ax + ab x(x + b) + a(x + b) + bx + ax + ab

38 38 "Jamais considere seus estudos como uma obrigação, Albert Einstein para seu próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer." mas como uma oportunidade invejável para aprender a conhecer a influência libertadora da beleza do reino do espírito,

39 39 A maioria dos homens e mulheres, por nascimento ou natureza, não tem os meios para progredir na riqueza e no poder, Pitágoras mas todos têm a capacidade de progredir no conhecimento.


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