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1 Uniban Universidade Bandeirante de São Paulo Fundamentos da Álgebra Prof. Cícero São Paulo – 2009.

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1 1 Uniban Universidade Bandeirante de São Paulo Fundamentos da Álgebra Prof. Cícero São Paulo – 2009

2 2 CAPÍTULO III – Fatoração 1. Introdução Consideremos o número 100. Utilizando a multiplicação, podemos escrever esse número de várias maneiras:

3 3 Quando escrevemos o número 100 na forma ou ou ou , transformamos esse número numa multiplicação de dois fatores. numa multiplicação em que todos os fatores são números primos. Quando escrevemos o número 100 na forma transformamos esse número Em qualquer um dos casos, fizemos a fatoração do número 100. Como a palavra fatoração está associada a uma multiplicação, podemos dizer que: Fatorar um número significa escrevê-lo como multiplicação de dois ou mais fatores.

4 4 ab x A1A1 A2A2 Seja a figura ao lado: Há duas maneiras de representarmos a área dessa figura. 1ª) Área da figura 1 + área da figura 2, ou seja, ax + bx. 2ª) Fazemos x. (a + b), pois a figura é um retângulo.

5 5 Quando escrevermos o polinômio ax + bx na forma x (a + b), estamos transformando o polinômio inicial numa multiplicação de polinômios, Portanto, fatorar um polinômio, quando for possível, significa escrever esse polinômio com uma multiplicação de dois ou mais polinômios. Daí podemos escrever:

6 6 2. Técnicas de fatoração 2.1. Colocação de um fator comum em evidência A figura abaixo mostra um quadrado ABCD, um retângulo CEFD e um retângulo ABEF. a b A CEB DF a De acordo com a figura, podemos escrever:

7 7 a b A CEB DF a b E F a A C B D a

8 Agrupamento Observe as 3 figuras seguintes: b a x y ab x y ax ay bx by b a x y x.(a + b) y.(a + b) A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio ax + bx + ay + by. A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio x(a + b) + y(a + b). A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio (a + b) (x + y).

9 9 Como as três figuras têm a mesma área, podemos escrever: Vejamos como podemos fazer algebricamente para escrever o polinômio ax + bx + ay + by na forma fatorada: Agrupamos os termos que possuem fator comum x (a + b) + y (a + b) Em cada grupo colocamos os fatores comuns em evidência (a + b) (x + y) Colocamos, novamente, em evidência o fator comum

10 Diferença de dois quadrados Consideremos a figura abaixo: x - y y y x x x 2 – y 2 x – y que expressa uma diferença de dois quadrados. A área da figura pintada acima pode ser indicada pelo polinômio

11 11 y (x – y) x y y x x Figura 1 Figura 2

12 12 Recortando a figura (ver fig. 1) pelo tracejado formamos uma nova figura (ver fig. 2) quando juntamos as duas partes: A área da figura 2 é expressa por (x + y) (x – y). Como as áreas são iguais, logo podemos escrever: A área da figura 1 é expressa por

13 13 Na forma fatorada, podemos observar que: raiz quadrada do 1º termo do polinômio raiz quadrada do 2º termo do polinômio Então:

14 Quadrado da soma de dois termos Vamos considerar a seguinte figura: x2x2 y2y2 xy x x y y A figura representa um quadrado cujo lado mede (x + y) unidades de comprimento. A área da figura pode ser indicada de duas maneiras: ou

15 Quadrado da diferença de dois termos Vamos considerar a seguinte figura: A figura pintada representa um quadrado cujo lado mede (x - y) unidades de comprimento. A área da figura hachurada horizontalmente é xy, e a área da figura verticalmente também é xy. x y (x – y) x y

16 16 e é comum a outras duas áreas hachuradas. A área da figura pintada é: ou x y (x – y) x y A área da figura com hachura quadriculada é

17 17 Então, podemos escrever as seguintes igualdades:

18 18 Trinômios porque possuem três termos, quadrados perfeitos porque o primeiro representa o quadrado de (x + y), enquanto o segundo representa o quadrado de (x – y). Os polinômios e são chamados trinômios quadrados perfeitos.

19 19 Nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É importante reconhecer se um trinômio é ou não quadrado perfeito. IMPORTANTE!!!

20 20 A seguir, determinamos a raiz quadrada de cada termo quadrado: e Finalmente, multiplicamos por 2 o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao termo restante: 2. x. 4y = 8xy Exemplo 1: Fatore + 8xy + Inicialmente, verificamos se dois termos do trinômio são quadrados. Neste caso, e são quadrados.

21 21 Como, neste caso, o termo é justamente 8xy, dizemos que o trinômio é quadrado perfeito. Então sua forma fatorada é: e 2. 4x. 5 = 40x, não corresponde ao termo restante do trinômio. + 8xy + 16 = Exemplo 2: Fatore 16 – 24x e 25 são termos quadrados. Logo, – 24x + 25 não é um trinômio quadrado perfeito.

22 Trinômio do 2º grau + ax + bx + ab =+ (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

23 23 pode ser decomposto num produto de dois binômios do 1º grau da seguinte maneira: Um trinômio do 2º grau da forma + Sx + P, em que S = a + b e P = p. q, + Sx + P = (x + a)(x + b), sendo S = a + b e P = a. b

24 24 "Sem a Matemática não seria possível existir a Astronomia; Amoroso Costa E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade." sem os recursos prodigiosos da Astronomia, seria impossível a navegação.


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