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1 Uniban Universidade Bandeirante de São Paulo Fundamentos da Álgebra Prof. Cícero São Paulo – 2009.

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1 1 Uniban Universidade Bandeirante de São Paulo Fundamentos da Álgebra Prof. Cícero São Paulo – 2009

2 2 CAPÍTULO III – Fatoração 1. Introdução Consideremos o número 100. Utilizando a multiplicação, podemos escrever esse número de várias maneiras: 2. 50 4. 25 5. 20 10. 10

3 3 Quando escrevemos o número 100 na forma 2. 50 ou 4. 25 ou 5. 20 ou 10. 10, transformamos esse número numa multiplicação de dois fatores. numa multiplicação em que todos os fatores são números primos. Quando escrevemos o número 100 na forma transformamos esse número Em qualquer um dos casos, fizemos a fatoração do número 100. Como a palavra fatoração está associada a uma multiplicação, podemos dizer que: Fatorar um número significa escrevê-lo como multiplicação de dois ou mais fatores.

4 4 ab x A1A1 A2A2 Seja a figura ao lado: Há duas maneiras de representarmos a área dessa figura. 1ª) Área da figura 1 + área da figura 2, ou seja, ax + bx. 2ª) Fazemos x. (a + b), pois a figura é um retângulo.

5 5 Quando escrevermos o polinômio ax + bx na forma x (a + b), estamos transformando o polinômio inicial numa multiplicação de polinômios, Portanto, fatorar um polinômio, quando for possível, significa escrever esse polinômio com uma multiplicação de dois ou mais polinômios. Daí podemos escrever:

6 6 2. Técnicas de fatoração 2.1. Colocação de um fator comum em evidência A figura abaixo mostra um quadrado ABCD, um retângulo CEFD e um retângulo ABEF. a b A CEB DF a De acordo com a figura, podemos escrever:

7 7 a b A CEB DF a b E F a A C B D a

8 8 2.1. Agrupamento Observe as 3 figuras seguintes: b a x y ab x y ax ay bx by b a x y x.(a + b) y.(a + b) A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio ax + bx + ay + by. A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio x(a + b) + y(a + b). A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio (a + b) (x + y).

9 9 Como as três figuras têm a mesma área, podemos escrever: Vejamos como podemos fazer algebricamente para escrever o polinômio ax + bx + ay + by na forma fatorada: Agrupamos os termos que possuem fator comum x (a + b) + y (a + b) Em cada grupo colocamos os fatores comuns em evidência (a + b) (x + y) Colocamos, novamente, em evidência o fator comum

10 10 2.3. Diferença de dois quadrados Consideremos a figura abaixo: x - y y y x x x 2 – y 2 x – y que expressa uma diferença de dois quadrados. A área da figura pintada acima pode ser indicada pelo polinômio

11 11 y (x – y) x y y x x Figura 1 Figura 2

12 12 Recortando a figura (ver fig. 1) pelo tracejado formamos uma nova figura (ver fig. 2) quando juntamos as duas partes: A área da figura 2 é expressa por (x + y) (x – y). Como as áreas são iguais, logo podemos escrever: A área da figura 1 é expressa por

13 13 Na forma fatorada, podemos observar que: raiz quadrada do 1º termo do polinômio raiz quadrada do 2º termo do polinômio Então:

14 14 2.4. Quadrado da soma de dois termos Vamos considerar a seguinte figura: x2x2 y2y2 xy x x y y A figura representa um quadrado cujo lado mede (x + y) unidades de comprimento. A área da figura pode ser indicada de duas maneiras: ou

15 15 2.4. Quadrado da diferença de dois termos Vamos considerar a seguinte figura: A figura pintada representa um quadrado cujo lado mede (x - y) unidades de comprimento. A área da figura hachurada horizontalmente é xy, e a área da figura verticalmente também é xy. x y (x – y) x y

16 16 e é comum a outras duas áreas hachuradas. A área da figura pintada é: ou x y (x – y) x y A área da figura com hachura quadriculada é

17 17 Então, podemos escrever as seguintes igualdades:

18 18 Trinômios porque possuem três termos, quadrados perfeitos porque o primeiro representa o quadrado de (x + y), enquanto o segundo representa o quadrado de (x – y). Os polinômios e são chamados trinômios quadrados perfeitos.

19 19 Nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É importante reconhecer se um trinômio é ou não quadrado perfeito. IMPORTANTE!!!

20 20 A seguir, determinamos a raiz quadrada de cada termo quadrado: e Finalmente, multiplicamos por 2 o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao termo restante: 2. x. 4y = 8xy Exemplo 1: Fatore + 8xy + Inicialmente, verificamos se dois termos do trinômio são quadrados. Neste caso, e são quadrados.

21 21 Como, neste caso, o termo é justamente 8xy, dizemos que o trinômio é quadrado perfeito. Então sua forma fatorada é: e 2. 4x. 5 = 40x, não corresponde ao termo restante do trinômio. + 8xy + 16 = Exemplo 2: Fatore 16 – 24x + 25. e 25 são termos quadrados. Logo, – 24x + 25 não é um trinômio quadrado perfeito.

22 22 2.5. Trinômio do 2º grau + ax + bx + ab =+ (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

23 23 pode ser decomposto num produto de dois binômios do 1º grau da seguinte maneira: Um trinômio do 2º grau da forma + Sx + P, em que S = a + b e P = p. q, + Sx + P = (x + a)(x + b), sendo S = a + b e P = a. b

24 24 "Sem a Matemática não seria possível existir a Astronomia; Amoroso Costa E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade." sem os recursos prodigiosos da Astronomia, seria impossível a navegação.


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