Universidade Bandeirante de São Paulo Fundamentos da Álgebra

Apresentação em tema: "Universidade Bandeirante de São Paulo Fundamentos da Álgebra"— Transcrição da apresentação:

1 Universidade Bandeirante de São Paulo Fundamentos da Álgebra
Uniban Universidade Bandeirante de São Paulo Fundamentos da Álgebra Prof. Cícero São Paulo – 2009

2 CAPÍTULO III – Fatoração
1. Introdução Consideremos o número 100. Utilizando a multiplicação, podemos escrever esse número de várias maneiras: 2 . 50 4 . 25 5 . 20

3 transformamos esse número numa multiplicação de dois fatores.
Quando escrevemos o número 100 na forma ou ou ou , transformamos esse número numa multiplicação de dois fatores. Quando escrevemos o número 100 na forma transformamos esse número numa multiplicação em que todos os fatores são números primos. Em qualquer um dos casos, fizemos a fatoração do número 100. Como a palavra fatoração está associada a uma multiplicação, podemos dizer que: Fatorar um número significa escrevê-lo como multiplicação de dois ou mais fatores.

4 Há duas maneiras de representarmos a área dessa figura.
Seja a figura ao lado: a b x A1 A2 Há duas maneiras de representarmos a área dessa figura. 1ª) Área da figura 1 + área da figura 2, ou seja, ax + bx. 2ª) Fazemos x . (a + b), pois a figura é um retângulo.

5 Daí podemos escrever: Quando escrevermos o polinômio ax + bx na forma x (a + b), estamos transformando o polinômio inicial numa multiplicação de polinômios, Portanto, fatorar um polinômio, quando for possível, significa escrever esse polinômio com uma multiplicação de dois ou mais polinômios.

6 2.1. Colocação de um fator comum em evidência
2. Técnicas de fatoração 2.1. Colocação de um fator comum em evidência A figura abaixo mostra um quadrado ABCD, um retângulo CEFD e um retângulo ABEF. a b A C E B D F De acordo com a figura, podemos escrever:

7 a b A C E B D F a A C B D b E F

8 2.1. Agrupamento A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio
Observe as 3 figuras seguintes: a b x y ax ay bx by b a x y x.(a + b) y.(a + b) b a x y A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio ax + bx + ay + by. A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio x(a + b) + y(a + b). A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio (a + b) (x + y).

9 Como as três figuras têm a mesma área, podemos escrever:
Vejamos como podemos fazer algebricamente para escrever o polinômio ax + bx + ay + by na forma fatorada: Agrupamos os termos que possuem fator comum Em cada grupo colocamos os fatores comuns em evidência x (a + b) + y (a + b) (a + b) (x + y) Colocamos, novamente, em evidência o fator comum

10 2.3. Diferença de dois quadrados
Consideremos a figura abaixo: x - y y x x2 – y2 x – y A área da figura pintada acima pode ser indicada pelo polinômio que expressa uma diferença de dois quadrados.

11 (x – y) x y (x – y) x y (x – y) Figura 1 Figura 2

12 quando juntamos as duas partes:
Recortando a figura (ver fig. 1) pelo tracejado formamos uma nova figura (ver fig. 2) quando juntamos as duas partes: A área da figura 1 é expressa por A área da figura 2 é expressa por (x + y) (x – y). Como as áreas são iguais, logo podemos escrever:

13 Na forma fatorada, podemos observar que:
raiz quadrada do 1º termo do polinômio raiz quadrada do 2º termo do polinômio Então:

14 2.4. Quadrado da soma de dois termos
Vamos considerar a seguinte figura: x2 y2 xy x y A figura representa um quadrado cujo lado mede (x + y) unidades de comprimento. A área da figura pode ser indicada de duas maneiras: ou

15 2.4. Quadrado da diferença de dois termos
Vamos considerar a seguinte figura: x y (x – y) A figura pintada representa um quadrado cujo lado mede (x - y) unidades de comprimento. A área da figura hachurada horizontalmente é xy, e a área da figura verticalmente também é xy.

16 A área da figura com hachura quadriculada é
x y (x – y) A área da figura com hachura quadriculada é e é comum a outras duas áreas hachuradas. A área da figura pintada é: ou

17 Então, podemos escrever as seguintes igualdades:

18 Os polinômios e são chamados trinômios
quadrados perfeitos. Trinômios porque possuem três termos, quadrados perfeitos porque o primeiro representa o quadrado de (x + y), enquanto o segundo representa o quadrado de (x – y).

19 É importante reconhecer se um trinômio é ou não quadrado perfeito.
Nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É importante reconhecer se um trinômio é ou não quadrado perfeito.

20 Exemplo 1: Fatore xy + Inicialmente, verificamos se dois termos do trinômio são quadrados. Neste caso, e são quadrados. A seguir, determinamos a raiz quadrada de cada termo quadrado: e Finalmente, multiplicamos por 2 o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao termo restante: 2 . x . 4y = 8xy

21 Como, neste caso, o termo é justamente 8xy, dizemos que o trinômio é quadrado perfeito.
Então sua forma fatorada é: Exemplo 2: Fatore – 24x + 25. e 25 são termos quadrados. e 2 . 4x . 5 = 40x , não corresponde ao termo restante do trinômio. Logo, – 24x + 25 não é um trinômio quadrado perfeito.

22 2.5. Trinômio do 2º grau + ax + bx + ab = + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

23 Um trinômio do 2º grau da forma + Sx + P, em que S = a + b e P = p . q,
pode ser decomposto num produto de dois binômios do 1º grau da seguinte maneira: + Sx + P = (x + a)(x + b), sendo S = a + b e P = a . b

24 "Sem a Matemática não seria possível existir a Astronomia;
sem os recursos prodigiosos da Astronomia, seria impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade." Amoroso Costa