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Prof. Jorge Função quadrática: a função geral de 2º grau.

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1 Prof. Jorge Função quadrática: a função geral de 2º grau

2 Prof. Jorge Uma quadra esportiva tem a forma retangular, com 40 m de comprimento e 20 m de largura. O clube pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em volta dela uma faixa de largura constante.

3 Prof. Jorge Obter a expressão que permite calcular a Área da quadra esportiva? A = (40 + 2x).(20+2x) 40 m 20 m x x x x A = x + 40x + 4x 2 A = f(x) = 4x x + 800

4 Prof. Jorge Função quadrática ou função de 2º grau é toda função do tipo y = f(x) = ax 2 + bx + c Sendo a, b e c são constantes reais, com a 0. O Domínio de toda função quadrática é IR.

5 Prof. Jorge Exemplos y = f(x) = x 2 + 3x – 1 é uma função quadrática com a = 1 e b = 3 e c = –1. y = f(x) = –x é uma função quadrática com a = –1 e b = 0 e c = 5. y = f(x) = –2x 2 + 4x é uma função quadrática com a = –2 e b = 4 e c = 0. y = f(x) = x 2 é uma função quadrática com a = 1 e b = 0 e c = 0.

6 Prof. Jorge Funções quadráticas elementares. y = x 2 y = –x 2 e Nas duas funções, b = c = 0. Na primeira a = 1; na segunda a = –1. Domínio é o conjuntos dos números reais (R).

7 Prof. Jorge Veja seus gráficos y = x 2. x y –3–2 – –2 –1 4 5 –4 – –1 4–2 y = x 2 x Im = [0, +[ Mínimo = 0

8 Prof. Jorge Veja seus gráficos y = – x 2. x y –3–2 –1 –2 –1 4 5 –4 –5 – 42 – – 4–2 y = – x 2 x –3 –4 Im = ]–, 0] Máximo = 0

9 Prof. Jorge A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral em relação a todas as funções quadráticas do tipo y = f(x) = ax 2 + bx + c. Os gráficos de funções quadráticas são curvas chamadas parábolas. O ponto mais alto ou mais baixo da parábola é chamado de vértice. A reta vertical que passa pelo vértice é chamada de eixo da parábola. Se a > 0 a concavidade da parábola é voltada para cima. Se a < 0 a concavidade da parábola é voltada para baixo.

10 Prof. Jorge Veja um resumo. V V eixo da parábola a > 0a < 0

11 Prof. Jorge Eixo de simetria. V eixo de simetria da parábola A A1A1 B B1B1 C1C1 D1D1 C D r1r1 r2r2 r3r3 r4r4

12 Prof. Jorge Funções quadráticas em que b = c = 0. (y = ax 2 )

13 Prof. Jorge 1º. Caso: a > 0 x y y = 2x 2 y = x 2 Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. O vértice das três parábolas é a origem do plano. 0 Im = [0, +[ Mínimo = 0 y = x 2 1 2

14 Prof. Jorge 2º. Caso: a < 0 x y Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. O vértice das três parábolas é a origem do plano. 0 y = –2x 2 y = –x 2 Im = ]–, 0] Máximo = 0 y = x 2 –1 2

15 Prof. Jorge Funções quadráticas em que b = 0 c 0 (y = ax 2 + c)

16 Prof. Jorge Os gráficos das funções do tipo y = ax 2 + c, com a 0 e c 0, são obtidos a partir do gráfico de y = ax 2. Desloca-se esse último para cima ou para baixo, conforme o coeficiente c seja positivo ou negativo, respectivamente.

17 Prof. Jorge 1º. Caso: a > 0 x y y = x y = x 2 0 Im = [0, +[ y = x 2 – 1 Im = [2, +[ Im = [–1, +[ Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. O vértice das três parábolas são os pontos V (0, 0), V(0, 2) e V(0, –1). 2 –1

18 Prof. Jorge 2º. Caso: a < 0 x y 0 y = –x y = –x 2 Im = ] –, 0] y = – x 2 – 2 Im = ] –, 1] Im = ]–, –2] 1 –2 Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. O vértice das três parábolas são os pontos V (0, 0), V(0, 1) e V(0, –2).

19 Prof. Jorge Funções quadráticas em que b 0 (caso geral)

20 Prof. Jorge Vamos analisar, agora, o caso mais geral da função quadrática y = f(x) = ax 2 + bx + c. É o caso em que o coeficiente b é diferente de 0. Para b 0, o vértice não fica mais sobre o eixo y das ordenadas.

21 Prof. Jorge Caso geral: b 0 x y 0 (0, c)P xvxv Q(k, c) k V Vamos obter o valor de k, abscissa de Q. f(x) = c f (x) = a.x 2 + b.x + c = c a.x 2 + b.x = 0 x(a.x + b) = 0 x = 0 ou a.x + b = 0 x = 0 ou x = – b/a x = 0 é a abscissa de P, logo k = –b/a. Devido à simetria da parábola,x V = k/2 x V = –b 2a yvyv

22 Prof. Jorge Ordenada do vértice A ordenada do vértice pode ser obtida calculando-se f(x V ), ou seja, a imagem da abscissa do vértice da função. Veja f(x) = ax 2 +bx +c f(x V ) = a(x V ) 2 +bx V +c= a(–b/2a) 2 +b(–b/2a) +c f(x V ) = a(b 2 /4a 2 ) – b 2 /2a +c = b 2 /4a – b 2 /2a +c f(x V ) = (b 2 – 2b 2 +4ac)/4a= (– b 2 +4ac)/4a f(x V ) = –(b 2 – 4ac)/4a y V = – 4a f(x V ) = y V = – /4a

23 Prof. Jorge x y x y No caso, essa ordenada é V V O mínimo da função (a > 0) O máximo da função (a < 0) yVyV yVyV Im = [y V, +[ Im = ]–, y V ]

24 Prof. Jorge Exemplos Para a função quadrática y = f(x) = 2x 2 – 8x + 5 de R em R, obter o vértice, o máximo ou mínimo e o conjunto imagem. Os coeficientes são: a = 2; b = – 8 e c = 5 Como a > 0, a parábola tem concavidade para cima e a função admite um valor mínimo. A abscissa do vértice é: x V = –b 2a = –(–8) 2.2 = 2 O mínimo da função ocorre para x = 2. y = f(2) = – = –3 Im = [–3, +[V (2, –3)

25 Prof. Jorge Veja o gráfico da função y = 2x 2 – 8x + 5 x y –1 5 –3 4 Im = [–3, [ V Eixo

26 Prof. Jorge Exemplos Para a função quadrática y = f(x) = –x 2 + 3x + 1 de R em R, obter o vértice, o máximo ou mínimo e o conjunto imagem. Os coeficientes são: a = – 1; b = 3 e c = 1 Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um valor máximo. A abscissa do vértice é: x V = –b 2a = –(3) 2.(–1) = 3/2 O mínimo da função ocorre para x = 3/2. y = f(3/2) = –1. (3/2) /2 + 1 = 13/4 V (3/2, 13/4)Im = ]–, 13/4]

27 Prof. Jorge Veja o gráfico da função y = –x 2 + 3x + 1 x y /2 13/4 3 Im = ]–, 13/4] V Eixo 1 3

28 Prof. Jorge Exemplo Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = t – 5t 2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. A função h(t) = –5t t + 80 é quadrática, com a = –5, b = 30 e c = 80. Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um valor máximo.

29 Prof. Jorge Exemplo Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = t – 5t 2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. A) O instante em que o objeto atinge a altura máxima é a abscissa do vértice: = 2.(–5) = 3 s t = –b 2a –(30)

30 Prof. Jorge Exemplo Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = t – 5t 2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. B) A altura máxima é o valor da função em t = 3 s. h(3) = – = 125 m

31 Prof. Jorge Exemplo Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = t – 5t 2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. C) No instante em que o objeto atinge o solo, deve ser h(t) = 0. h(t) = 0 – 5t t + 80 = 0 t 2 + 6t – 16 = 0 t = –2 ou t = 8 t = 8 s

32 Prof. Jorge Veja o gráfico da função h(t) = –5t 2 – 30t + 80 t (s) h (m)

33 Prof. Jorge Raízes da função quadrática

34 Prof. Jorge Já sabemos que as raízes de uma função real y = f(x) são os valores de x tais que y = 0. São as abscissas dos pontos em que o gráfico de f corta o eixo das abscissas. Na função quadrática y = ax 2 + bx + c (a 0), achar as raízes significa resolver a equação de 2º grau f(x) = 0.

35 Prof. Jorge Número de raízes da equação de 2º grau Para resolver uma equação de 2º grau usamos a fórmula de Bhaskara O número real é o discriminante da equação. O valor dele indica se a função tem ou não raízes reais. > 0 tem duas raízes reais distintas. = 0 tem duas raízes reais iguais (ou 1 raiz real dupla). < 0 não tem raízes reais. sendo = b 2 – 4ac

36 Prof. Jorge Exemplos Obter as raízes, esboçar o gráfico e estudar os sinais da função y = 3x 2 – x – 2. O discriminante da função é = b 2 – 4ac = (–1) 2 – 4.3.(–2) = 25 Raízes: x = 1 ou x = –2/3 A parábola corta o eixo x em (1, 0) e (–2/3, 0) Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. O coeficiente c =–2, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, –2)

37 Prof. Jorge Veja o gráfico da função y = 3x 2 – x – 2 x y 0 1/6 1 –2/3 –2 –25/12 y > 0 para x < –2/3 ou x > 1. y < 0 para –2/3 < x < 1. Raiz = 2.(3) = 1/6 x V = –b 2a –(–1) xy –2/ –2 1/6–25/12 y > 0 y > 0 y < 0

38 Prof. Jorge Exemplos Na função quadrática y = x 2 + 2x + 3, mostrar que y > o para todo x real. O discriminante da função é = b 2 – 4ac = (2) 2 – 4.1.(3) = –8 Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. O coeficiente c = 3, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, 3) < 0, a função não tem raízes reais, logo a parábola não corta o eixo x.

39 Prof. Jorge Veja o gráfico da função y = x 2 + 2x + 3 x y –1 y > 0 para todo x real. –2 3 2–1 30 yx = 2.(1) = –1 x V = –b 2a –

40 Prof. Jorge Exemplos A função y = –x 2 + 4x + k, tem duas raízes reais iguais. Calcular a constante k, obter a raiz dupla e esboçar o gráfico da função. Se a função tem uma raiz dupla = 0. b 2 – 4ac = 0 ( 4) 2 – 4.(–1).k = k = 0 A função é y = –x 2 + 4x – 4, tem concavidade para baixo. A raiz dupla é –b/2a = 2. k = –4 A parábola intercepta o eixo x em (2, 0). c = –4, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, –4)

41 Prof. Jorge Veja o gráfico da função y = –x 2 + 4x – 4 x y 0 4 –4 xy Raiz


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