O que você deve saber sobre

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1 O que você deve saber sobre
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS As equações das curvas chamadas cônicas recebem esse nome devido à sua origem (a intersecção de um cone por um plano) e podem ser determinadas com base no conceito de lugar geométrico e no cálculo das distâncias entre pontos no plano cartesiano.

2 I. Circunferência Dados um ponto C e uma distância r, é o lugar geométrico plano dos pontos que estão à mesma distância r de C. Equação reduzida da circunferência Considere o ponto C de coordenadas (xC, yC), chamado centro, e a distância r, chamada raio. Os pontos pertencentes à circunferência  devem atender à equação: Tal equação é obtida a partir da aplicação do teorema de Pitágoras a todos os pontos da circunferência. GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

3 I. Circunferência Equação geral Do desenvolvimento da equação reduzida, obtém-se: com a, b e c constantes reais. Posição relativa entre um ponto e uma circunferência A posição relativa entre um ponto P e uma circunferência  é dada pela comparação entre a distância d, de P ao centro da circunferência, e seu raio r. x2 + y2  2xCx  2yCy + xC2 + yC2  r2 =   GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

4 I. Circunferência Posição relativa entre uma reta e uma circunferência A posição relativa entre uma reta s e uma circunferência  é dada pela comparação entre a distância d da reta ao centro da circunferência e seu raio r. Posição relativa entre duas circunferências As posições relativas entre duas circunferências, 1 e 2, são dadas pela comparação entre seus raios r1 e r2, respectivamente, e a distância d entre seus centros. GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

5 I. Circunferência Posição relativa entre duas circunferências
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

6 II. Elipse Dados dois pontos F1 e F2 (focos), é o lugar geométrico plano no qual a soma das distâncias de qualquer ponto sobre a curva aos focos é constante e maior que a distância entre os focos. Elementos • Focos: os pontos F1 e F2 • Eixo maior: o segmento A1A2, que passa pelos focos (A1A2 = 2a) • Centro: o ponto O, médio de A1A2 • Eixo menor: o segmento B1B2, perpendicular a A1A2, que passa por O (B1B2 = 2b). • Distância focal: a distância 2c = F1F2 entre os focos GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

7 II. Elipse Equação • Elipse com eixo maior na horizontal (a > b): • Elipse com eixo maior na vertical (a < b): Excentricidade A razão e = (com c  a). Conforme essa razão se aproxima de 0, o formato da elipse se assemelha a uma circunferência; à medida que e se aproxima de 1, ela se torna mais achatada. c a GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

8 III. Parábola Dados uma reta r e um ponto F fora dela, é o lugar geométrico plano dos pontos que equidistam de r e F. Elementos • Foco: o ponto F • Diretriz: a reta r • Eixo de simetria: a reta s, perpendicular a r, que passa pelo foco • Vértice: o ponto V, intersecção da parábola com o eixo de simetria • Parâmetro da parábola: a distância p entre o foco e a diretriz, i.e, p = FD GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

9 III. Parábola Equação • Forma geral: • Pelas coordenadas do vértice:
• Equação reduzida concavidade para cima: concavidade para baixo: • Parábola com diretriz na vertical: Todas as relações acima são válidas para uma parábola que tenha diretriz vertical, desde que troquemos as posições das variáveis x e y, xV e yV. GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

10 IV. Hipérbole Dados dois pontos F1 e F2 (chamados focos), é o lugar geométrico plano cuja diferença, em módulo, entre as distâncias de qualquer ponto aos focos é constante e menor que F1F2. Elementos • Focos: os pontos F1 e F2 • Distância focal: a distância 2c = F1F2 entre os focos • Vértices: os pontos A1 e A2, intersecções de F1F2 com a hipérbole • Centro: o ponto médio O de A1A2 • Eixo real ou transverso: o segmento A1A2 (A1A2 = 2a) • Eixo imaginário ou conjugado: o eixo B1B2 (B1B2 = 2b) GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

11 IV. Hipérbole Equação reduzida Assíntotas: duas retas secantes que passam pelo seu centro e não a interceptam. Suas equações são dadas por: r1: bx - ay = 0 r2: bx + ay = 0 • Eixo geral horizontal: • Eixo real na vertical: GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

12 IV. Hipérbole Excentricidade É a razão e = (com c > a). À medida que essa razão se aproxima de 1, os ramos da hipérbole se tornam mais fechados; no ponto em que e tende a infinito, seus ramos se tornam mais abertos. Observe: c a GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

13 1 (UEG-GO) Calcule a área no interior de um círculo cujo centro está na origem do sistema de coordenadas e que é tangente à reta de equação 4x + 3y = 12. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS  NO VESTIBULAR

14 a) esboce os seus gráficos;
3 (UFG-GO) Dadas as circunferências de equações x2 + y2 - 4y = 0 e x2 + y2 - 4x - 2y + 4 = 0 em um sistema de coordenadas cartesianas: a) esboce os seus gráficos; b) determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas tangentes comuns às circunferências. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: b) O ponto de intersecção das retas tangentes comuns às circunferências também é o ponto comum entre uma dessas tangentes e a reta que passa pelos centros das circunferências. GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS  NO VESTIBULAR

15 Nesse contexto, a equação da elipse é:
8 (UFPB) Nos focos da elipse que contorna uma praça, estão dois quiosques, representados pelos pontos A(2, 80) e B(2, -80). Um terceiro quiosque, sobre a elipse, está representado pelo ponto C(2, -100). Nesse contexto, a equação da elipse é: EXERCÍCIOS ESSENCIAIS a) b) c) d) e) RESPOSTA: B GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS  NO VESTIBULAR

16 Nesse contexto, identifique as proposições verdadeiras.
9 (UFPB) Uma quadra de futsal está representada na figura pelo retângulo ABCD, onde A = (-20, -10) e C = (20, 10). Cada uma das áreas dos goleiros (regiões hachuradas) é delimitada por uma das linhas de fundo, AD ou BC, e por um dos dois ramos de uma hipérbole de focos F1 = (6 , 0) e F2 = (-6 , 0). O círculo central e a hipérbole são concêntricos, o raio do círculo mede 3 m e uma das assíntotas da hipérbole passa pelos pontos A e C. Nesse contexto, identifique as proposições verdadeiras. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: SOMA: = 19 01. A distância entre o centro do círculo e um vértice da hipérbole é de 12 m. 02. A quadra tem 800 m2 de área. 04. A equação da hipérbole é 08. A excentricidade da hipérbole é igual a 16. O eixo imaginário da hipérbole tem comprimento igual a 4 vezes o raio do círculo. x2 y2 . GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS  NO VESTIBULAR

17 11 1 (ITA-SP) Sabendo que 9y2 - 16x y + 224x = 0 é a equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS  NO VESTIBULAR

18 Sabendo que o Sol está em um dos focos da elipse, calcule o valor
14 1 (UnB-DF) O cometa Halley tem uma órbita elíptica com eixo maior e eixo menor iguais a km e km, respectivamente. Sabendo que o Sol está em um dos focos da elipse, calcule o valor em que d é a menor distância entre o Sol e o cometa, medida em quilômetros. Desconsidere a parte fracionária de seu resultado, caso exista. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS  NO VESTIBULAR