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GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS O que você deve saber sobre As equações das curvas chamadas cônicas recebem esse nome devido à sua origem.

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1 GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS O que você deve saber sobre As equações das curvas chamadas cônicas recebem esse nome devido à sua origem (a intersecção de um cone por um plano) e podem ser determinadas com base no conceito de lugar geométrico e no cálculo das distâncias entre pontos no plano cartesiano.

2 GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS Dados um ponto C e uma distância r, é o lugar geométrico plano dos pontos que estão à mesma distância r de C. Equação reduzida da circunferência Considere o ponto C de coordenadas (x C, y C ), chamado centro, e a distância r, chamada raio. Os pontos pertencentes à circunferência devem atender à equação: Tal equação é obtida a partir da aplicação do teorema de Pitágoras a todos os pontos da circunferência. I. Circunferência

3 Equação geral Do desenvolvimento da equação reduzida, obtém-se: com a, b e c constantes reais. Posição relativa entre um ponto e uma circunferência A posição relativa entre um ponto P e uma circunferência é dada pela comparação entre a distância d, de P ao centro da circunferência, e seu raio r. I. Circunferência GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS x 2 + y 2 2 x C x 2 y C y + x C 2 + y C 2 r 2 =

4 Posição relativa entre uma reta e uma circunferência A posição relativa entre uma reta s e uma circunferência é dada pela comparação entre a distância d da reta ao centro da circunferência e seu raio r. Posição relativa entre duas circunferências As posições relativas entre duas circunferências, 1 e 2, são dadas pela comparação entre seus raios r 1 e r 2, respectivamente, e a distância d entre seus centros. I. Circunferência GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

5 I. Circunferência Posição relativa entre duas circunferências GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

6 Dados dois pontos F 1 e F 2 (focos), é o lugar geométrico plano no qual a soma das distâncias de qualquer ponto sobre a curva aos focos é constante e maior que a distância entre os focos. Elementos Focos: os pontos F 1 e F 2 Eixo maior: o segmento A 1 A 2, que passa pelos focos (A 1 A 2 = 2a) Centro: o ponto O, médio de A 1 A 2 Eixo menor: o segmento B 1 B 2, perpendicular a A 1 A 2, que passa por O (B 1 B 2 = 2b). Distância focal: a distância 2c = F 1 F 2 entre os focos II. Elipse GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

7 Equação Elipse com eixo maior na horizontal (a > b): Elipse com eixo maior na vertical (a < b): Excentricidade A razão e = (com c a). Conforme essa razão se aproxima de 0, o formato da elipse se assemelha a uma circunferência; à medida que e se aproxima de 1, ela se torna mais achatada. II. Elipse GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS a c

8 Dados uma reta r e um ponto F fora dela, é o lugar geométrico plano dos pontos que equidistam de r e F. Elementos Foco: o ponto F Diretriz: a reta r Eixo de simetria: a reta s, perpendicular a r, que passa pelo foco Vértice: o ponto V, intersecção da parábola com o eixo de simetria Parâmetro da parábola: a distância p entre o foco e a diretriz, i.e, p = FD III. Parábola GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

9 Equação GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS Todas as relações acima são válidas para uma parábola que tenha diretriz vertical, desde que troquemos as posições das variáveis x e y, x V e y V. Forma geral: Pelas coordenadas do vértice: Equação reduzida concavidade para cima: concavidade para baixo: Parábola com diretriz na vertical: III. Parábola

10 Dados dois pontos F 1 e F 2 (chamados focos), é o lugar geométrico plano cuja diferença, em módulo, entre as distâncias de qualquer ponto aos focos é constante e menor que F 1 F 2. Elementos Focos: os pontos F 1 e F 2 Distância focal: a distância 2c = F 1 F 2 entre os focos Vértices: os pontos A 1 e A 2, intersecções de F 1 F 2 com a hipérbole Centro: o ponto médio O de A 1 A 2 Eixo real ou transverso: o segmento A 1 A 2 (A 1 A 2 = 2a) Eixo imaginário ou conjugado: o eixo B 1 B 2 (B 1 B 2 = 2b) IV. Hipérbole GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

11 Equação reduzida Assíntotas: duas retas secantes que passam pelo seu centro e não a interceptam. Suas equações são dadas por: r 1 : bx - ay = 0 r 2 : bx + ay = 0 IV. Hipérbole GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS Eixo geral horizontal: Eixo real na vertical:

12 Excentricidade É a razão e = (com c > a). À medida que essa razão se aproxima de 1, os ramos da hipérbole se tornam mais fechados; no ponto em que e tende a infinito, seus ramos se tornam mais abertos. Observe: IV. Hipérbole GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS c a

13 (UEG-GO) Calcule a área no interior de um círculo cujo centro está na origem do sistema de coordenadas e que é tangente à reta de equação 4x + 3y = GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS NO VESTIBULAR EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA:

14 3 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS NO VESTIBULAR RESPOSTA: b) O ponto de intersecção das retas tangentes comuns às circunferências também é o ponto comum entre uma dessas tangentes e a reta que passa pelos centros das circunferências. (UFG-GO) Dadas as circunferências de equações x 2 + y 2 - 4y = 0 e x 2 + y 2 - 4x - 2y + 4 = 0 em um sistema de coordenadas cartesianas: a) esboce os seus gráficos; b) determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas tangentes comuns às circunferências.

15 (UFPB) Nos focos da elipse que contorna uma praça, estão dois quiosques, representados pelos pontos A(2, 80) e B(2, -80). Um terceiro quiosque, sobre a elipse, está representado pelo ponto C(2, -100). Nesse contexto, a equação da elipse é: 8 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: B GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS NO VESTIBULAR a) b) c) d) e)

16 (UFPB) Uma quadra de futsal está representada na figura pelo retângulo ABCD, onde A = (-20, -10) e C = (20, 10). Cada uma das áreas dos goleiros (regiões hachuradas) é delimitada por uma das linhas de fundo, AD ou BC, e por um dos dois ramos de uma hipérbole de focos F 1 = (6, 0) e F 2 = (-6, 0). O círculo central e a hipérbole são concêntricos, o raio do círculo mede 3 m e uma das assíntotas da hipérbole passa pelos pontos A e C. Nesse contexto, identifique as proposições verdadeiras. 9 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS NO VESTIBULAR 01. A distância entre o centro do círculo e um vértice da hipérbole é de 12 m. 02. A quadra tem 800 m 2 de área. 04. A equação da hipérbole é 08. A excentricidade da hipérbole é igual a 16. O eixo imaginário da hipérbole tem comprimento igual a 4 vezes o raio do círculo. x2x2 y2y2 RESPOSTA: SOMA: = 19.

17 (ITA-SP) Sabendo que 9y x y + 224x = 0 é a equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal. 1 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS 11 RESPOSTA: GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS NO VESTIBULAR

18 (UnB-DF) O cometa Halley tem uma órbita elíptica com eixo maior e eixo menor iguais a km e km, respectivamente. Sabendo que o Sol está em um dos focos da elipse, calcule o valor em que d é a menor distância entre o Sol e o cometa, medida em quilômetros. Desconsidere a parte fracionária de seu resultado, caso exista. 1 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS 14 RESPOSTA: GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS NO VESTIBULAR


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