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Seções cônicas: hipérbole. Uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos em um plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos F 1 e F 2 (focos)

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Apresentação em tema: "Seções cônicas: hipérbole. Uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos em um plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos F 1 e F 2 (focos)"— Transcrição da apresentação:

1 Seções cônicas: hipérbole

2 Uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos em um plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos F 1 e F 2 (focos) é uma constante. A distância entre F 1 e F 2 é chamada de distância focal. Os pontos A 1, A 2, B 1 e B 2 são os vértices da hipérbole, o segmento A 1 A 2 é chamado de eixo real e o segmento B 1 B 2 é chamado de eixo imaginário. Hipérbole Seções cônicas

3 Podemos facilitar a obtenção da equação de uma hipérbole colocando seus focos no eixo x, de modo que a origem O(0, 0) fique na metade do caminho entre os focos. Estabelecendo os focos como F 1 (– c, 0) e F 2 (c, 0) e chamando de 2a a diferença das distâncias de um ponto genérico P(x, y) da hipérbole aos focos, obtemos a equação demonstrada ao lado. Equação da hipérbole no plano cartesiano Seções cônicas

4 Podemos facilitar a obtenção da equação de uma hipérbole colocando seus focos no eixo x, de modo que a origem O(0, 0) fique na metade do caminho entre os focos. Estabelecendo os focos como F 1 (– c, 0) e F 2 (c, 0) e chamando de 2a a diferença das distâncias de um ponto genérico P(x, y) da hipérbole aos focos, obtemos a equação demonstrada ao lado. Equação da hipérbole no plano cartesiano Seções cônicas

5 Como b 2 = c 2 – a 2 < c 2, segue que b < c. Os vértices no eixo x são encontrados fazendo-se y = 0. Então, x 2 /a 2 = 1, assim x = a. Os pontos (– a, 0) e (a, 0) são respectivamente A 1 e A 2. Os vértices imaginários no eixo y são os pontos (0, b) e (0, – b), que são respectivamente B 1 e B 2. Determinação das coordenadas dos vértices Seções cônicas

6 Se transferirmos o eixo real de uma hipérbole para o eixo y, obteremos resultados análogos. Observe que todos os pontos notáveis da hipérbole trocam de lugar, passando a ser F 1 (0, c), F 2 (0, – c), A 1 (0, a), A 2 (0, – a), B 1 (– b, 0) e B 2 (b, 0). Chamando de 2a a diferença das distâncias de um ponto genérico P(x, y) da hipérbole aos focos, obtemos a equação ao lado (a demonstração é análoga ao caso anterior). Invertendo o eixo Seções cônicas

7 Usamos até agora como centro da hipérbole a origem O(0, 0). Podemos deslocar o seu centro para qualquer ponto O´(x o, y o ). Obtendo as equações como anteriormente, teremos uma simples mudança, mostrada a seguir. Equação geral da hipérbole com centro O´(x o, y o ) Seções cônicas

8 Isolando o y na equação da hipérbole com eixo real sobre o eixo x e com centro na origem, obtemos as retas mostradas em I. Como a é um valor fixo, vemos que, conforme x vai ficando muito grande, os valores de x 2 – a 2 vão se aproximando de x 2 porque a 2 vai se tornando desprezível. Podemos concluir que y sempre se aproximará das retas II e III, mas nunca as tocará. As retas II e III são as assíntotas da hipérbole. Assíntotas da hipérbole Seções cônicas

9 Quando o eixo real está sobre o eixo y e o centro na origem, as retas IV e V são as assíntotas da hipérbole. Um caso especial é o de hipérbole equilátera: quando o centro está na origem, a é igual a b e suas assíntotas são y = x. Assíntotas da hipérbole Seções cônicas

10 Para hipérboles com centro qualquer, podemos chegar às assíntotas de maneira análoga e obter VI (eixo real horizontal) e VII (eixo real vertical). As assíntotas de uma hipérbole equilátera de centro qualquer são y – y o = (x – x o ). Assíntotas da hipérbole Seções cônicas

11 1. Encontre os focos e as assíntotas da hipérbole x 2 /16 – y 2 /9 = 1. Resolução: a = 4 e b = 3. O centro da hipérbole está na origem e seu eixo real sobre o eixo x, então suas assíntotas são y = 3x/4. Como c 2 = a 2 + b 2, então c = 5. Os focos são (– 5, 0) e (5, 0). 2. Encontre os focos e a equação da hipérbole com vértices (0, 1) e (0, –1) e assíntota y = 2x. Resolução: O centro da elipse está na origem e seu eixo real sobre o eixo y, então a sua equação é da forma y 2 /a 2 – x 2 /b 2 = 1. Temos que a = 1 e b = 1/2. Como c 2 = a 2 + b 2, então c = 5/2. Os focos são (0, 5/2) e (0, – 5/2) e a equação é y 2 – 4x 2 = 1. Exercícios resolvidos Seções cônicas

12 1. Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole 2y 2 – 3x 2 – 4y + 12x + 8 = Esboce o gráfico de y 2 – x 2 = (Fuvest-SP) A equação de uma das assíntotas da hipérbole de equação x 2 /16 – y 2 /64 = 1 é: a) y = 2x – 1 b) y = 4x c) y = x d) y = 2x + 1 e) y = 2x 4. (Fuvest-SP) Determine as equações das retas do plano que passam pela origem do sistema de coordenadas e que não intersectam a curva do plano dada pela equação x 2 /4 – y 2 /9 = 1. Exercícios propostos Seções cônicas


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