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Ensino Superior 3- Volume de Sólidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2.

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1 Ensino Superior 3- Volume de Sólidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

2 Sólidos de Revolução

3 Dados um plano a, uma reta r desse plano e uma região R do plano a inteiramente contida num dos semi-planos de a determinado por r, vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r. Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r). Introdução: a

4 Volume de Sólidos Volume de um sólido quando é conhecida a área de qualquer secção transversal.

5 Exemplo 1: Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de uma pirâmide reta de base quadrada - sendo b a medida da aresta da base e h a altura da pirâmide – é Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos: Para cada corte transversal na altura h - y, temos que a secção obtida é um quadrado, paralelo à base, cuja área é (2x) 2. Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever: e daí Volume de Sólidos 2x

6 Volume de Sólidos Exemplo 1: Logo, o volume da pirâmide é dado por: e daí

7 Exemplo 2: Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cilindro reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V = r 2 h. Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no centro da base do cilindro e o eixo x seja perpendicular à base do cilindro, temos: Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é r 2. Logo, o volume do cilindro é dado por: Volume de Sólidos h

8 Sólidos de Revolução Exemplo 3: Considere a região delimitada por, o eixo x e as retas x = -a e x = a, sendo girada ao redor do eixo x. O sólido originado é uma esfera de raio a. Mostre que seu volume é. O volume da esfera gerada é:

9 Sólidos de Revolução Exemplo 3:

10 Exemplo 4: Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cone reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V = r 2 h/3. Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no vértice do cone e o eixo x seja perpendicular à base do cone, temos: Volume de Sólidos

11 Exemplo 4: Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é y 2. Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever: e daí ou seja, a área de cada secção transversal é. Logo, o volume do cilindro é dado por: Volume de Sólidos

12 Sólidos de Revolução Exemplo 5: Seja o triângulo R, dado na figura abaixo. Calcular o volume do cone gerado pela rotação de R em torno do eixo OY. Para cada y [0,1] a seção transversal ao eixo OY é um círculo gerado pela rotação do segmento horizontal de comprimento x. Logo, possui área A = x 2 e o volume do cone é igual a: Usando semelhança de triângulos temos: Portanto:

13 Sólidos de Revolução Exemplo 6: Seja a região R do plano limitada pela curva y = -x e o eixo OX. Determinar o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OX. A intersecção da curva com o eixo OX é dada por: -x = 0.: x 2 = 1.: x = ± 1. Para cada x [-1, 1] a seção transversal ao eixo OX é um círculo gerado pela rotação do segmento vertical de comprimento y. Logo, possui área A = y 2 e o volume do sólido é igual a: Portanto: y

14 Sólidos de Revolução Exemplo 7: Seja a região R do plano limitada pelo eixo OY e pelas curvas Determinar o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OY. Na figura temos representada a região R. Como R é simétrica em relação OY, uma das duas regiões R 1 ou R 2 girando em torno de OY gera todo o sólido. Vamos considerar a região R 1. Para cada y [1/4, 4] a seção transversal ao eixo OY é um círculo gerado pela rotação do segmento horizontal de comprimento x. Logo, possui área A = x 2 e o volume do sólido é igual a:

15 Sólidos de Revolução Exemplo 7: Portanto:

16 Sólidos de Revolução Exemplo 8: Seja a ciclóide de equações paramétricas 8.1. Esboce a curva. Usando as derivadas obteremos a curva abaixo.

17 Sólidos de Revolução 8.2. Seja R a região do plano limitada pela ciclóide e pela reta y = -1. Determinar uma expressão em integrais que represente o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OX. Seja a função y = f(x) tal que seu gráfico é a ciclóide. Para cada x [-4, 0] a seção transversal ao eixo OX é um anel circular de raio interno igual a 1 e raio externo igual a y. Logo possui área igual a: A = y = y 2 - e o volume do sólido é igual a:

18 Sólidos de Revolução Substituindo x em função de t na integral anterior temos:

19 Sólidos de Revolução 8.3. Determinar uma expressão em integrais que represente o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno da reta x = 1. Sejam as funções x 1 = x 1 (y) e x 2 = x 2 (y), funções cujos gráfico são respectivamente os arcos da ciclóide obtidos para t [, 2 ] e para t [0, ]. Para cada y [-5, -1] a seção transversal ao eixo OY é um anel circular de raio externo respectivamente é 1 - x 1 e 1 – x 2.

20 Sólidos de Revolução Logo, a seção transversal tem área A = (1- x 1 ) 2 - (1- x 2 ) 2 e o volume do sólido é igual a: Substituindo y em função de t nas integrais acima temos:

21 Sólidos de Revolução Exemplo 9: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo OY, do círculo de raio 1 e centro em (4,0). Tomemos as equações paramétricas do círculo: Sejam x 1 = x 1 (y) e x 2 = x 2 (y), funções cujos gráfico são respectivamente os semi–círculos obtidos para t [- /2, /2] e para t [ /2, 3 /2]. Para cada y [-1, 1] a seção transversal ao eixo OY é um anel circular de raios externo e interno respectivamente iguais a x 1 (y) e x 2 (y). Logo, a seção transversal tem área A =.x x 2 2 e o volume do sólido é igual a:

22 Volume de Sólidos ou usando simetria Substituindo por t temos:

23 Nesses problemas observamos que temos um sólido compreendido entre dois planos paralelos e que é conhecida a área da secção transversal obtida por um plano qualquer paralelo aos planos inicialmente dados, então o volume do sólido é dado por Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever: conforme a secção transversal seja perpendicular ao eixo x ou y, respectivamente. Volume de Sólidos ou Essa é uma primeira maneira de encontrarmos o volume de um sólido, quando a área de qualquer secção transversal é conhecida.

24 Volume de Sólidos Volume de um sólido de revolução, obtido pela rotação em torno ao eixo x - ou y - de um conjunto A.

25 Sólidos de Revolução

26 Cálculo do volume Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], sendo f(x) 0 para todo x, tal que a x b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x 1 = a e x 2 = b. A x 1 =ax 2 =b B Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do eixo x:

27 Sólidos de Revolução Cálculo do volume Considerando uma partição P do intervalo [a,b]: P = {a = x 0, x 1, x 2,..., x n = b}, tal que a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b, seja:

28 Sólidos de Revolução Cálculo do volume - Seja ainda x i = x i – x i-1 o comprimento do intervalo [x i-1, x i ]. - Para cada intervalo [x i-1, x i ], escolhemos um ponto qualquer c i. - Para cada i, i = 1,..., n, construímos um retângulo R i, de base x i e altura f(c i ). - Fazendo cada retângulo R i girar em torno do eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cilindro, cujo volume é dado por:

29 Sólidos de Revolução Cálculo do volume A soma dos volumes dos n cilindros, que representaremos por V n, é dada por:

30 Sólidos de Revolução Cálculo do volume –A medida que n cresce muito e cada x i torna-se muito pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente entendemos como o volume do sólido B. Definição –Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [a,b]. Seja R a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido B, gerado pela revolução de R em torno do eixo x, é definido por:

31 Sólidos de Revolução Cálculo do volume –A soma que aparece no slide anterior pode ser substituída pelo símbolo de integral, uma vez que a função é contínua no intervalo e o limite existe. Logo: –Vamos analisar agora o volume de alguns sólidos em certas situações especiais. A x 1 =ax 2 =b B

32 Sólidos de Revolução

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34 Quando a função f(x) é negativa em alguns pontos de [a,b]. - A fórmula do volume permanece válida, pois |f(x)| = (f(x)) 2. (b) (a) O sólido gerado pela rotação da figura (a) é o mesmo gerado pela rotação da figura (b). (b)

35 Sólidos de Revolução Exercício 1: Se f(x) = x 2, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [1, 2]. De acordo com a definição:

36 Sólidos de Revolução Exercício 2: Se f(x) = x 2 + 1, determine o volume do sólido gerado ela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [-1, 1]. - De acordo com a definição:

37 Sólidos de Revolução Exercício 3: Seja f(x) = sen x, x [a, b]. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja pela rotação da região delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e x =. O volume do sólido é dado por: 0 0

38 Integral Indefinida Sejam as identidades trigonométricas: Assim, Revisão INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)

39 Sólidos de Revolução Quando, ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região A gira em torno do eixo dos y. - Neste caso, temos:

40 Sólidos de Revolução

41 Exercício 4: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por y = x 3, y = 0 e x = 1 em torno do eixo y.

42 Sólidos de Revolução Exercício 5: Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x, para 0 x 2, sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois sólidos gerados. a)A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de, para é girada ao redor do eixo x: O volume do sólido é dado por:

43 Sólidos de Revolução Exercício 5: b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de, para é girada ao redor do eixo y: O volume do sólido é dado por:

44 Sólidos de Revolução Exercício 5: b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de, para é girada ao redor do eixo y: O volume do sólido é dado por:

45 Sólidos de Revolução Exemplo 6: Calcule o volume de um sólido de revolução obtido pela rotação ao redor do eixo x da região compreendida pelo gráfico de y = x e y = 1/x, no intervalo [1/2, 3]. Calcule também o volume do sólido obtido ao girar a mesma região ao redor do eixo y. a) 1 1 1/2 3 S1S1 S2S2 V1V1 V2V2

46 Sólidos de Revolução Logo, o volume do sólido é: Efetuando os últimos cálculos, temos: Exemplo 6:

47 Sólidos de Revolução Exemplo 6: b) 1 1 1/2 3 S1S1 S2S2

48 Sólidos de Revolução Nesse caso, o volume do sólido gerado, calculado pelo método das cascas, é: Efetuando os últimos cálculos, temos:

49 Sólidos de Revolução Quando a região A está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b: Supondo f(x) g(x), para qualquer x que pertença ao intervalo [a, b], o volume do sólido B, gerado pela rotação de R em torno do eixo x, é dado por:

50 Volume de Sólidos

51 Sólidos de Revolução

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54 Exercício 6: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por x 2 = y - 2, 2y - x - 2 = 0 e x = 0 em torno do eixo x.

55 Sólidos de Revolução Exercício 7: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pela parábola e pela reta De acordo com a definição:

56 Sólidos de Revolução Exercício 7:

57 Sólidos de Revolução Exercício 7:

58 Sólidos de Revolução

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61 Exercício 8: A região limitada pela parábola cúbica y = x 3, pelo eixo dos y e pela reta y = 8, gira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido. De acordo com a definição:

62 Sólidos de Revolução Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. ab y = f(x) A Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos: L

63 Sólidos de Revolução Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. c d y = f(x) A Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos: M

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65 Volume de Sólidos Volume de um sólido pelo método dos invólucros cilíndricos.

66 Sólidos de Revolução Cálculo do volume Podemos imaginar o sólido como sendo constituído por cascas cilíndricas. O volume de cada uma das cascas é dado por: ou ainda, colocando e,

67 Sólidos de Revolução Cálculo do volume Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], com a x < b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x 1 = a e x 2 = b. Suponhamos que a região gira ao redor do eixo y, gerando um sólido D, cujo volume queremos calcular. onde indica o raio de cada invólucro e indica sua altura.

68 Sólidos de Revolução Exercício 10: Através do método dos invólucros cilíndricos encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x, para 0 x 2, ao redor do eixo y. Usando o método dos invólucros cilíndricos, temos:

69 Sólidos de Revolução Exemplo 11: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre os gráficos de y = x 3 e y = x, para 0 x 1, ao redor do eixo y. As duas funções se encontram nos pontos (0,0) e (1,1). O volume do sólido pode ser calculado pelo método das cascas e, portanto, é igual a:

70 Sólidos de Revolução Exemplo 12: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0 x y e x 2 + y 2 2.

71 Sólidos de Revolução Inicialmente, para obter a região do plano, assinalada na primeira figura, precisamos encontrar a intersecção da reta com a circunferência, sendo x 0: Logo, x = 1: Assim, a variação de x ocorre no intervalo e o volume procurado é dado por:

72 Sólidos de Revolução Exemplo 13: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto x 2 + (y – 2) 1. Após a rotação, obtemos o seguinte sólido, que é denominado toro.

73 Sólidos de Revolução Inicialmente, a região pode ser encarada como delimitada pelos gráficos das funções: Logo, a integral que nos fornece o volume do sólido será:

74 Sólidos de Revolução Vamos calcular o mesmo volume pelo método dos invólucros cilíndricos: Vamos encontrar primeiramente as primitivas da integral:

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