A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Ensino Superior 9. Integrais Duplas Volumes Amintas Paiva Afonso Cálculo 3.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Ensino Superior 9. Integrais Duplas Volumes Amintas Paiva Afonso Cálculo 3."— Transcrição da apresentação:

1 Ensino Superior 9. Integrais Duplas Volumes Amintas Paiva Afonso Cálculo 3

2 Integrais Duplas - Volume Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla.

3 f : IR 2 IR contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d] y b a x d c R Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado R = [a,b] x [c,d] = { (x,y) IR 2 | a < x < b, c < y < d }

4 f 0 em IR Q = {(x,y,z) | (x,y) IR e 0 z f(x,y)} x y zQ R Q Volume de Q = V = ? e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y). Seja Q o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de Q, ou seja, Q = {(x,y,z) IR 3 | (x,y) R, 0 z f(x,y)}

5 O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub- retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [x i-1, x i ], de mesmo comprimento x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [y j-1, y j ], de mesmo comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos. R ij = [x i-1,x i ] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1 < x < x i, y j-1 < y < y j } cada um dos quais com área A = x y. Partição de R

6 xixi x b a x d c R y x1x1 x2x2 x i-1 y1y1 y2y2 y j-1 yjyj y R ij (x ij, y ij )

7 Integrais Duplas - Volume Se escolhermos um ponto arbitrário (x ij,y ij ) em cada R ij, podemos aproximar a parte de Q que está acima de cada R ij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base R ij e altura f(x ij,y ij ). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base:. V ij = f(x ij,y ij ) A.

8 Integrais Duplas - Volume Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de Q: Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados.

9 V = x y z Q R f (x ij, y ij ) (x ij, y ij ) V ij Integrais Duplas - Volume

10

11 Definição Considere uma função z = f (x, y) contínua e definida numa região fechada e limitada D do plano xy. Traçando retas paralelas aos eixos x e y, recobrimos a região D por pequenos retângulos.

12 Considere somente os retângulos R k que estão totalmente contidos em D, numerando-os de 1 a n. Em cada retângulo R k, tome o ponto P k = (x k, y k ) e forme a soma SOMA DE RIEMANN: onde A k = x k. y k é a área do retângulo R k. Traçando-se mais retas paralelas aos eixos x e y, os retângulos ficam cada vez menores. Toma-se mais retas tal que a diagonal máxima dos retângulos R k tende a zero quando n tende ao infinito. Definição

13 Então, se existe, ele é chamado INTEGRAL DUPLA de f (x k,y k ) A k sobre a região D. Denota-se por: Definição

14 Interpretação Geométrica Se f (x, y) 0, f (x k, y k ) A k representa o volume de um prisma reto, cuja base é o retângulo R k e cuja altura é f (x k, y k ). A soma de Riemann é a aproximação do volume limitado abaixo da região z e acima de D.

15 Interpretação Geométrica Assim, se z = f (x, y) 0, então é o VOLUME DO SÓLIDO delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y) e inferiormente pela região D.

16 Interpretação Geométrica Se f(x, y) = 1 P(x, y) D, então, V = 1.áreaD. Logo: Área da Região D

17 Cálculo de Volumes - Aplicações A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)

18 Cálculo de Volumes - Aplicações Para f (x, y) 0, a integral nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.

19 Exemplos Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = 4 - x - y inferiormente pela região delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R. Resposta: V = 15/4 u.v. Representamos na Figura a região R (base deste sólido): Assim, 0 x 2 e, logo a região é do Tipo I e podemos integrar deste modo:

20 Teorema de Fubini

21

22 Exercícios 1) Determinar o volume do sólido limitado pelos planos coordenados pelo plano x + y + z = 3, no 1º octante. 3 3

23 Exercícios 2) Determinar o volume do sólido limitado por z = 4 x 2 ; x = 0; y = 6; z = 0; y = 0. Resposta: 32 u.v

24 Exercícios 3) Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos cilindros x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + z 2 = a 2. Resposta: 2a 3 /3 u.v. a a a

25 Exercícios 4) Determinar o volume do sólido limitado superiormente por z = 2x + y + 4 e inferiormente por z = x y + 2 e lateralmente pela superfície definida pelo contorno da região D limitada pelas curvas y = x 2 – 4 e

26 Exercícios Resposta: -22/15 u.v.

27 Exercícios 5) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x 2 + 2y 2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. Resposta: 48 Primeiro, observamos que S é o sólido que se encontra sob a superfície e acima de

28 Exercícios 6)Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x 2 + y 2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2. y = 2x y = x 2 Resposta: 216/35

29 Exercícios 8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.

30 Exercícios 8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Resposta: 1/3

31 Exercícios

32


Carregar ppt "Ensino Superior 9. Integrais Duplas Volumes Amintas Paiva Afonso Cálculo 3."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google