Conceitos e Propriedades

Apresentação em tema: "Conceitos e Propriedades"— Transcrição da apresentação:

1 Conceitos e Propriedades
Ensino Superior Cálculo 2 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso

2 Integrais Duplas Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros.

3 retângulo R = [a,b] x [c,d]
Integrais Duplas f :IR2IR contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d] y d R c a b x

4 Q = {(x,y,z)/(x,y)  R e 0  z  f(x,y)}
Integrais Duplas f  0 em R Q = {(x,y,z)/(x,y)  R e 0  z  f(x,y)} Q z Volume de Q = V = ? y R x

5 Integrais Duplas Partição de R R Rij (xij , yij) y d yj y yj-1 y2 y1
 (xij , yij) yj y yj-1 y2 y1 c a x1 x2 xi-1 xi b x x

6 Integrais Duplas V = z Q f (xij , yij) Vij y R (xij , yij ) x

7 Integral Dupla de f sobre o retângulo R
Integrais Duplas Integral Dupla de f sobre o retângulo R

8 Integrais Duplas Integrais Iteradas

9 Integrais Duplas D y Integrais Duplas em Regiões Genéricas
1) Regiões inscritas em faixas verticais D y = g2(x) a b x y = g1(x) D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }

10 Integrais Duplas D y Integrais Duplas em Regiões Genéricas d
1) Regiões inscritas em faixas horizontais D x = h2(y) c x x = h1(y) D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }

11 Integrais Duplas Propriedades das Integrais Duplas

12 Massa e Centro de Massa de uma Lâmina
Integrais Duplas Massa e Centro de Massa de uma Lâmina (x,y) : densidade no ponto (x,y) D : local ocupado pela lâmina m : massa da lâmina

13 Integrais Duplas Centro de Massa : (X,Y) onde X = My/m e Y = Mx/m
para : e

14 Exemplo 1

15 Exemplo 2 dx

16 Exemplo 3 

17 Exemplo 4

18 Exemplo 5

19 Exemplo 6

20 Exemplo 7 Calcule , onde R = [1, 2] x [0, ].

21 Exemplo 8 Calcule a integral Iterada
D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1}

22 Exemplo 8 Calcule a integral Iterada
D = {(x, y) / 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}

23 Exemplo 8 Calcule a integral Iterada

24 Exercícios Calcule a integral abaixo onde R é o retângulo no plano xy
limitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta x = 1. 2) Resolver a integral dupla 3) Integrar a função f(x,y), considerando o domínio definido pelas retas x = 0, y = 0 e y = x

25 Propriedades das Integrais Duplas

26 Múltiplo constante: Soma e diferença: Aditividade: (R = R1 + R2)
Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares Múltiplo constante: Soma e diferença: Aditividade: (R = R1 + R2)

27 Cálculo de Integrais Duplas
Se f (x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] × [c, d], a integral dupla é igual a integral iterada. a b x y c d y fixo fixo x

28 Cálculo de Integrais Duplas
Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / x em [a, b] e h(x)  y  g(x)}, a integral dupla é igual a integral iterada. y g(x) A h(x) x a x b

29 Cálculo de Integrais Duplas
Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / y em [c, d] e h(y)  x  g(y)}, a integral dupla é igual a integral iterada. y d A y h(y) g(y) c x

30 Cálculo de Integrais Duplas

31 Integrais Duplas para Domínios Não Retangulares

32 Cálculo de Integrais Duplas

33 Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares

34 Cálculo de Integrais Duplas

35 Integrais Iteradas – Definição

36 Exercícios Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2.

37 Exercícios Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. Resposta: 36

38 Exercícios Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.

39 Exercícios Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.

40 Exercícios

41 Exercícios

42 Exercícios

43 Exercícios

44 Exercícios

45 Exercícios

46 Exercícios

47 Exercícios

48 Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R

49 Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R
Exemplo: Calcular o valor médio da função f(x,y) = sen(x + y), no retângulo 0  x   e 0  x  /2.

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