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Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2.

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Apresentação em tema: "Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2."— Transcrição da apresentação:

1 Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

2 Integrais Duplas Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros.

3 f :IR 2 IR contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d] y b a x d c R Integrais Duplas

4 f 0 em R Q = {(x,y,z)/(x,y) R e 0 z f(x,y)} x y z Q R Q Volume de Q = V = ? Integrais Duplas

5 Partição de R xixi x b a x d c R y x1x1 x2x2 x i-1 y1y1 y2y2 y j-1 yjyj y R ij (x ij, y ij ) Integrais Duplas

6 V = x y z Q R f (x ij, y ij ) (x ij, y ij ) V ij Integrais Duplas

7 Integral Dupla de f sobre o retângulo R Integrais Duplas

8 Integrais Iteradas Integrais Duplas

9 Integrais Duplas em Regiões Genéricas 1) Regiões inscritas em faixas verticais D = { (x,y) | a < x < b, g 1 (x) < y < g 2 (x) } x y 0 b a y = g 1 (x) y = g 2 (x) D Integrais Duplas

10 Integrais Duplas em Regiões Genéricas 1) Regiões inscritas em faixas horizontais D = { (x,y) | c < y < d, h 1 (y) < x < h 2 (y) } x y 0 d c x = h 1 (y) x = h 2 (y) D Integrais Duplas

11 Propriedades das Integrais Duplas Integrais Duplas

12 Massa e Centro de Massa de uma Lâmina (x,y) : densidade no ponto (x,y) D : local ocupado pela lâmina m : massa da lâmina Integrais Duplas

13 Centro de Massa : (X,Y) XY onde X = M y /m e Y = M x /m para : e Integrais Duplas

14 Exemplo 1

15 Exemplo 2 dx

16 Exemplo 3

17 Exemplo 4

18 Exemplo 5

19 Exemplo 6

20 Exemplo 7 Calcule, onde R = [1, 2] x [0, ].

21 Exemplo 8 Calcule a integral Iterada D = {(x, y) / 0 x 1, x y 1}

22 Exemplo 8 Calcule a integral Iterada D = {(x, y) / 0 y 1, 0 x y}

23 Exemplo 8 Calcule a integral Iterada

24 Exercícios 1)Calcule a integral abaixo onde R é o retângulo no plano xy limitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta x = 1. 2) Resolver a integral dupla. 3) Integrar a função f(x,y), considerando o domínio definido pelas retas x = 0, y = 0 e y = x..

25 Propriedades das Integrais Duplas

26 Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares Múltiplo constante: Soma e diferença: Aditividade: (R = R 1 + R 2 )

27 Cálculo de Integrais Duplas Se f (x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] × [c, d], a integral dupla é igual a integral iterada. a b x y c d x y fixo

28 Cálculo de Integrais Duplas a b x y h(x) g(x) x A Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / x em [a, b] e h(x) y g(x)}, a integral dupla é igual a integral iterada.

29 Cálculo de Integrais Duplas d x y c h(y) g(y) y A Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / y em [c, d] e h(y) x g(y)}, a integral dupla é igual a integral iterada.

30 Cálculo de Integrais Duplas

31 Integrais Duplas para Domínios Não Retangulares

32 Cálculo de Integrais Duplas

33 Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares

34 Cálculo de Integrais Duplas

35 Integrais Iteradas – Definição

36 Exercícios Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x 2 e y = 1 + x 2.

37 Exercícios Resposta: 36 Calcule, onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y 2 = 2x + 6.

38 Exercícios Calcule, onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y 2 = 2x + 6.

39 Exercícios Calcule, onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y 2 = 2x + 6.

40 Exercícios

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48 Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R

49 Exemplo: Calcular o valor médio da função f(x,y) = sen(x + y), no retângulo 0 x e 0 x /2.

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