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Ensino Superior 9. Integrais Duplas Coordenadas Polares Amintas Paiva Afonso Cálculo 3.

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Apresentação em tema: "Ensino Superior 9. Integrais Duplas Coordenadas Polares Amintas Paiva Afonso Cálculo 3."— Transcrição da apresentação:

1 Ensino Superior 9. Integrais Duplas Coordenadas Polares Amintas Paiva Afonso Cálculo 3

2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Através de uma mudança de variáveis x = x(u, v) e y = y(u, v) uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região D do plano uv.

3 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas A correspondência entre as regiões D e D é BIJETORA, e podemos retornar de D para D através da transformação inversa u = u(x, y) e v = v(x, y). Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas, com derivadas parciais contínuas em D e D, respectivamente, temos (3)

4 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Onde é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por

5 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas A transformação que leva pontos (r, ) do plano r a pontos (x, y) do plano xy é dada por e seu jacobiano é dado por (4) Portanto, a fórmula (3) pode ser expressa por: (5)

6 Coordenadas Polares Obtenção da Fórmula Para que (4) seja bijetora, considera-se r para os quais r e satisfazem:

7 Coordenadas Polares Área A do retângulo em D Área A do retângulo polar em D

8 Coordenadas Polares

9

10 dA = dxdy = rdrd

11 Coordenadas Polares Integral Dupla em D Assim, obtemos o jacobiano r k da fórmula (5). Enumerando os retângulos polares e 1 a n, tome um ponto arbitrário (x k, y k ) no k-ésimo retângulo. Este ponto pode ser representado por (r k cos k, r k sin k ) é equivalente a onde A' k = r k k é a área do k-ésimo retângulo em D. que tem representação (r k, k ) referente à região correspondente em D. Assim, a soma de Riemann

12 Coordenadas Polares Assim, se tomarmos limite com n com o máximo das diagonais dos n retângulos tendendo a zero, temos dada pela fórmula (5). que equivale a integral

13 Coordenadas Polares x y P(x,y) = P(r, ) r x y Relações: r 2 = x 2 + y 2 = arctg(y/x) x = r.cos y = r.sen z = z

14 Coordenadas Polares

15 y r x x y P y = r sen x = r cos sen = y/r cos = x/r r 2 = x 2 + y 2 = arctg y/x retang. polares polares retang.

16 Curvas em Coordenadas Polares y 2 x r = f ( ) P r

17 Regiões em Coordenadas Polares y 2 x f 1 ( ) r f 2 ( ) r = f 2 ( ) r = f 1 ( ) R

18 Integrais Duplas em Coordenadas Polares y x R R k = (r r 2 2 )( - )/2 r1r1 r2r2 RkRk = [(r 1 + r 2 )/2] ( r ) unidade de área: R k

19 Integrais Duplas em Coordenadas Polares

20 Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Polares R: r 1 ( ) r r 2 ( )

21 Exercícios Exemplo: Calcular R é a região semicircular, x 2 + y 2 = 1, onde y é positivo. R = 1

22 Área de uma superfície Exemplo: Achar a área do parabolóide z = f(x,y) = x 2 + y 2 abaixo do plano z = 4. (sugestão: usar coordenadas polares).

23 Exercícios

24

25 Cálculo de Volumes - Aplicações Para f (x, y) 0, a integral nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.

26 Cálculo de Volumes - Aplicações A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)

27 Teorema de Fubini

28

29 Exercícios

30 Cálculo Áreas de Regiões Planas Fazendo f (x, y) = 1, a área da região de integração D é dada por:

31 Exercícios

32


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