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Transformação Conforme Transformações O conjunto de equações define, em geral, uma transformação que estabelece uma correspondência entre os pontos dos.

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Apresentação em tema: "Transformação Conforme Transformações O conjunto de equações define, em geral, uma transformação que estabelece uma correspondência entre os pontos dos."— Transcrição da apresentação:

1 Transformação Conforme Transformações O conjunto de equações define, em geral, uma transformação que estabelece uma correspondência entre os pontos dos planos uv e xy. Jacobiano de uma transformação Sob a transformação (I), uma região R do plano xy é, em geral, transformada numa região Rdo plano uv. Assim, se representam, respectivamente, as áreas dessas regiões, se u e v são continuamente diferenciáveis, onde lim é o limite quando tende a zero e o determinante é chamado o jacobiano da transformação (I).

2 Transformações Complexas Quando u e v são as partes real e imaginária de uma função analítica de uma variável complexa z = x + iy, isto é, w = u + iv = f(z) = f(x + iy) o jacobiano da transformação é dado por Transformação Conforme Suponha que a transformação (I) leva o ponto (x 0, y 0 ) do plano xy, no ponto (u 0, v 0 ) do plano uv e as curvas C 1 e C 2 [interceptam-se em (x 0, y 0 )] nas curvas C 1 e C 2, respectivamente [interceptam-se em (u 0, v 0 )]. Então, se a transformação é tal que o ângulo entre C 1 e C 2 em (x 0, y 0 ) é igual ao ângulo entre C 1 e C 2 em (u 0, v 0 ) em valor absoluto e sentido, a transformação é conforme em (x 0, y 0 ). Teorema: Se f(z) é analítica e numa região R, então, a transformação w = f(z) é conforme em todos os pontos de R. Para as transformações conformes, pequenas figuras numa vizinhança de um ponto z 0 no plano z transformam-se em pequenas figuras no plano w e são ampliadas (ou reduzidas) num valor aproximadamente dado por, chamado fator de extensão de área ou simplesmente fator de extensão.

3 Algumas Transformações Gerais Consideremos e constantes complexas, enquanto a e 0 constantes reais. Translação. W = z + (Figuras no plano z são deslocadas ou transladadas em direção ao vetor ) Rotação. W = e i 0 z (Figuras no plano z são giradas de um ângulo 0 ) Dilatação. W = az (Figuras no plano z são dilatadas (ou contraídas) na direção de z. Inversão. W = 1/z Transformações sucessivas Se w = f 1 ( ) leva a região R do plano na região R w do plano w e = f 2 (z) leva a região R z do plano z na região R, então, w = f 1 [f 2 (z)] leva R z em R w. Transformação linear. W = z +. Transformação Bilinear ou Fracionária. Se z 1, z 2, z 3, z 4 são distintos, então, a quantidade (i) é chamada a razão direta de z 1, z 2, z 3, z 4.


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