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Métodos Analíticos – Particularização para a equação de Laplace Vitor Maló Machado I. S. T., Março de 2011.

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1 Métodos Analíticos – Particularização para a equação de Laplace Vitor Maló Machado I. S. T., Março de 2011

2 Problemas a duas dimensões (2D) Potencial Complexo – Transformação Conforme A transformação diz-se conforme se houver preservação dos ângulos de um plano para o outro. A transformação é conforme se for analítica, isto é, se for representada por uma função contínua e diferenciável e, em consequência satisfaça as condições de Cauchy-Riemann

3 As condições de Cauchy-Riemann implicam que as duas funções, u e v, satisfazem a equação de Laplace Isto significa que qualquer das duas funções, u ou v, chamadas funções conjugadas, podem ser escolhidas para função potencial escalar. Por outro lado, sendo uma transformação conforme, as duas famílias de curvas ortogonais do plano são transformadas no plano em duas outras famílias de curvas ortogonais. Se escolhermos, por exemplo u para função potencial, as curvas no plano correspondentes a são as superfícies equipotencias e portanto as curvas da função conjugada correspondem às linhas de força do campo (porquê?).

4 O problema pode ser visto do seguinte modo: no plano o problema é caracterizado por ter geometria plana - as equipotencias são planos paralelos e as linhas de força do campo são segmentos de recta paralelos. O espaço limitado por duas linhas ortogonais ao eixo dos u´s pode ser assim interpretado como os eléctrodos de um condensador plano. Os eléctrodos são transformados para o plano, de modo a terem a configuração dos eléctrodos do problema real, através de uma transformação conforme. O espaço entre os eléctrodos planos no plano é transformado no espaço entre os eléctrodos com a configuração real no plano. Tendo em conta que a composição de transformações conformes é ainda uma transformação conforme, então podem-se construir transformações conformes por composição e, portanto, deste modo, construirem-se soluções para a função potencial.

5 Função fluxo Consideremos u a função potencial. Calculemos o fluxo por unidade de comprimento do vector deslocamento eléctrico através de um sector de uma superfície cilíndrica entre os pontos P e O Superfície cilíndrica considerando o ponto O como referência da função v. Verifica-se assim que tomando a função u para função potencial então a sua função conjugada, v, corresponde ao fluxo do vector deslocamento eléctrico (função fluxo). Se a superfície cilíndrica for uma equipotencial então as curvas de igual fluxo são ortogonais a ela.

6 Problema 1.Mostre que a transformação conforme de uma carga filiforme q, por unidade de comprimento é 2.Determine a transformação conforme para duas cargas filiformes simétricas, paralelas e à distância a uma da outra. Mostre que as linhas equipotenciais e as linhas de força do campo são arcos de circunferência. Determine o respectivo raio e localização do centro para u= e v=. R:

7 3.Calcule a capacidade do condensador cilíndrico descentrado, conhecidos R 1, R 2, c. obtendo-se finalmente

8 Método de separação de variáveis Pela sua importância, não podemos deixar de referir, dentro dos métodos analíticos, o método de separação de variáveis. Problemas 2D em coordenadas polares – indepêndencia com a coordenada axial. Tome-se a equação de Laplace em coordenadas polares (r, ) Proceda-se pelo método de separação de variáveis Obtem-se

9 Ou sendo m a constante de separação independente de r e. A 1ª equação implica

10 o que conjugado com a 2ª equação se obtem Em conclusão

11 Problemas 3D em coordenadas esféricas Equação de Laplace em coordenadas esféricas (r,, ) Separação de variáveis Obtem-se

12 A última equação divide-se nas seguintes 2 equações A 1ª equação tem solução com a forma vindo para a 2ª equação

13 Procedamos, de novo à separação de Conduzindo ao resultado que pode ser separado do seguinte modo Obtendo-se finalmente a equação diferencial

14 Funções de Legendre A solução contínua e finita numa esfera de raio unitário é a função associada de Legendre Quando m=0, obtem-se a função ordinária de Legendre. Para a função S n obtem-se o seguinte desenvolvimento Finalmente, para a solução da função obtem-se

15 Propriedades das funções de Legendre Obtenção por recorrência das funções ordinárias de Legendre Obtenção por recorrência das funções associadas de Legendre Propriedades de ortogonalidade


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