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Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 1 Sumário e Objectivos Sumário: Resolução de Problemas em Elasticidade Plana Recorrendo.

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1 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 1 Sumário e Objectivos Sumário: Resolução de Problemas em Elasticidade Plana Recorrendo à Função de Tensão de Airy. Entrega dos Trabalhos Objectivos da Aula: Apreensão do Método da Função de Tensão para Efeitos de Solução de Alguns Problemas Planos.

2 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 2 ESTADO PLANO DE TENSÃO Equações de Equilíbrio Tensões Nulas no Estado Plano de Tensão

3 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 3 Forças de Volume O vector das Forças de Volume pode ser estabelecido em termos de uma função potencial V corresponde em termos energéticos a considerar um campo de forças conservativo. Equações de Equilíbrio tomam a forma:

4 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 4 Função de Tensão É possível definir uma Função de Tensão tal que: As Tensões assim definidas verificam automaticamente as Equações de Equilíbrio

5 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 5 Deformações em termos da Tensões As Deformações relacionam-se com as tensões através da Lei de Hooke generalizada

6 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 6 Deformações em Termos da Função de Tensão Tendo em conta as equações anteriores as deformações exprimem-se em termos da função de tensão do seguinte modo:

7 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 7 Equações de Compatibilidade de St Venant

8 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 8 Equações de Compatibilidade no Caso do Estado Plano de Tensão No caso do Estado Plano de Tensão todas as derivadas em ordem a z são nulas e as deformações fora do plano x,y são tais que: As equações de compatibilidade relevantes são

9 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 9 Equação de Compatibilidade em Termos da função de Tensão ou

10 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 10 Equações Fundamentais O processo de deformação correspondente a um estado plano de tensão passa a ser regido pelas equações seguintes Ou na ausência de forças de volume

11 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 11 ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO No caso do Estado Plano de Deformação as Equações a que se chega são: Ou na ausência de Forças de Volume

12 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 12 Equação Biharmónica Na ausência de Forças de Volume a solução de Probemas de Estados Planos de Tensão e Deformação passa pela solução da equação Biharmónica ou seja pela solução de Soluções Polinomiais são possíveis para alguns problemas e têm a forma

13 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 13 Placas Rectangulares S1S1 S 12 cy xx y S2S2 (a) (b)

14 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 14 Função de Tensão para as placas Rectangulares Placa da Figura (a) uma função de tensão possível é As Tensões correspondentes são: Condições de Fronteira Coeficientes a i Função de Tensão

15 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 15 Função de Tensão para as placas Rectangulares Placa da Figura (b) uma função de tensão possível é Esta função de tensão conduz às tensões seguintes: Para x=0 e x=L as tensões são:

16 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 16 Função de Tensão para as placas Rectangulares Para y=±b/2 as tensões são: Estas condições de fronteira implicam que as constantes sejam: ou seja a função de Airy é:

17 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 17 Viga em Consola Sujeita a uma Carga Pontual h y x P b y z P l

18 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 18 Viga em Consola Sujeita a uma Carga Pontual A função de tensão neste caso é: As componentes da tensão são A tensão máxima é

19 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 19 Viga em consola sujeita a uma carga uniformemente distribuída y x b y z p l p h

20 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 20 Viga em consola sujeita a uma carga uniformemente distribuída Afunção de Airy a considerar é de 5ª ordem e tem a forma seguinte: as condições de fronteira que são:

21 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 21 Viga em consola sujeita a uma carga uniformemente distribuída A equação de compatibilidade obriga a que seja Tendo em conta as condições de fronteira referidas obtém-se as constantes seguintes: Consequentemente as tensões, são:

22 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 22 ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS r r rr

23 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 23 ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS As Equações de Equilíbrio de Forças tomam a forma: As relações Deformações – Deslocamentos são:

24 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 24 ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS

25 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 25 ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS As derivadas de uma função em ordem a x e a y podem ser calculadas a partir das derivadas em ordem a r e do seguinte modo:

26 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 26 Transformação do Tensor das Tensões de Coordenadas Cartesianas em Polares

27 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 27 Derivadas da Função de Tensão De modo análogo se calculam as derivadas em ordem a yy e xy.

28 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 28 ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS A relação entre as tensões e a função de Airy em coordenadas cilíndricas toma a forma: A equação Biharmónica toma a forma seguinte:

29 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 29 Problemas Axisimétricos

30 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 30 Solução da Equação Biharmónica para Problemas Axiximétricos

31 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 31 Deslocamentos

32 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 32 Deslocamentos Comparando as duas expressões obtidas para o deslocamento na direcção radial conclui-se:

33 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 33 Problemas Quasi Axisimétricos No caso de se admitir que o problema é quasi axisimétrico, isto é que as tensões só dependem de r mas os deslocamentos podem depender de, as deformações são então em termos dos deslocamentos as seguintes.

34 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 34 Problemas Quasi Axisimétricos

35 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 35 Problemas Quasi Axisimétricos Integrando esta última equação obtém-se: Substituindo na expressão da deformação de corte obtém- se:

36 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 36 Problemas Quasi Axisimétricos Obtém-se duas equações uma só dependente de r e outra só dependente de que podem ser integradas obtendo-se:

37 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 37 Os deslocamentos radiais e circunferenciais tomam a forma:

38 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 38 CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO popo pipi RoRo RiRi P i – Pressão na superfície interior P o - Pressão na superfície exterior R i – Raio interior R o – Raio exterior

39 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 39 CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO As Tensões são Calculadas de acordo com E têm de verificar as condições de Fronteira Ou seja

40 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 40 CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO Estas duas condições são insuficientes para se calcularem as constantes, considerando o problema como quais axisimétrico e considerando o deslocamento circunferencial pode dizer-se que

41 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 41 CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO As tensões tomam a forma e para o estado plano de deformação é

42 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 42 CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO Os deslocamentos são

43 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 43 PLACA INFINITA COM PEQUENO ORÍFICIO pipi pipi RiRi

44 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 44 PLACA INFINITA COM PEQUENO ORÍFICIO Considerem-se as tensões obtidas no caso anterior e manipulem-se as expressões de forma a obter as tensões com a seguinte forma: Fazendo as aproximações seguintes

45 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 45 PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA y x A TxTx TxTx A Tensões Longe do Orifício

46 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 46 PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA No caso de existir o orifício a distribuição de tensões só se altera próximo do orifício. Considerando o princípio de St. Venant pode considerar-se um círculo de raio RB tal que B>>A e no qual as tensões ainda são obtidas considerando as expressões e convertam-se as tensões em coordenadas cilíndricas.

47 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 47 PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA Alternativamente pode considerar-se.

48 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 48 PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA Sendo as tensões em termos da função de Airy, as seguintes: As tensões são nestas condições:

49 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 49 PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA Estas tensões correspondem à sobreposição de dois estados de tensão um axisimétrico e outro dependente de, estes estados de tensão são:

50 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 50 Problema Axisimétrico As tensões para o problema axisimétrico são

51 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 51 Problema dependente de No caso do problema dependente de q considera-se a equação biharmónica e uma função de Airy com a forma adequada às condições de fronteira: A equação biharmónica toma a forma seguinte.

52 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 52 Problema dependente de As tensões correspondentes são:

53 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 53 Problema dependente de As constantes determinam-se considerando as condições de fronteira:

54 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 54 Problema dependente de Obtendo-se o sistema de equações seguinte:

55 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 55 Problema dependente de No caso de A<

56 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 56 Problema dependente de Finalmente resolvendo as duas restantes equações obtém- se: Substituindo as constantes obtidas nas expressões das tensões obtém-se:

57 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 57 Caso Axi simétrico As Tensões no caso axisimétrico são:

58 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 58 Caso Axi-simétrico Adimitindo A/B tendente para zero obtém-se:

59 Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 59 Tensões Totais As tensões totais quando A/B tende para zero são:


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