Norma e produto interno

Apresentação em tema: "Norma e produto interno"— Transcrição da apresentação:

1 Norma e produto interno
Aula 09 Norma e produto interno

2 Norma Já vimos que o comprimento de um vetor V é definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam. Tal comprimento também é chamado de norma V e é denotado por .

3 Norma

4 Exemplo 1 Determine a norma do vetor V = (1,−2, 3). Solução: Obs.: Um vetor de norma igual a 1 é chamado vetor unitário.

5 Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos é igual à norma do vetor . Como , então a distância de P a Q é dada por Se

6 Exemplo 2 Determine a distância entre os pontos P = (2,−3, 1) e Q = (−1, 4, 5). Solução:

7 Observação Se e é um escalar, então da definição da multiplicação de vetor por escalar e da norma de um vetor temos:

8 Observação Dado um vetor V não nulo, o vetor é um vetor unitário na direção de V , pois

9 Exemplo Determine um vetor unitário na direção do vetor V = (1,−2, 3) . Solução:

10 Ângulo entre vetores O ângulo entre dois vetores não nulos, V e W, é definido pelo ângulo determinado por V e W que satisfaz 0 ≤  ≤ 

11 Vetores ortogonais Quando o ângulo entre dois vetores V e W é reto ( = /2), ou um deles é o vetor nulo, dizemos que os vetores V e W são ortogonais ou perpendiculares entre si.

12 Produto Escalar ou Interno
O produto escalar ou interno, V⋅W, entre dois vetores é um número dado por se e e por se e .

13 Exemplo Sejam V = (0, 1, 0) e W = (2, 2, 3). Determine o produto escalar de V por W. Solução:

14 Ângulo entre vetores

15 Exemplo Determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas. Solução:

16 Propriedades

17 Projeção Ortogonal

18 Projeção Ortogonal

19 Projeção Ortogonal

20 Demonstração

21 Exemplo , .

22 Solução

23 Obrigado !

24 Aula disponível em www.ufam.edu.br/dm/linear1.htm
Obrigado! Aula disponível em