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Geometria Espacial de posição Professor: João Gilberto.

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Apresentação em tema: "Geometria Espacial de posição Professor: João Gilberto."— Transcrição da apresentação:

1 Geometria Espacial de posição Professor: João Gilberto

2 Introdução A já conhecida Geometria Plana trata de figuras cujos pontos estão todos num mesmo plano, ou seja, estuda figuras de uma ou duas dimensões; A já conhecida Geometria Plana trata de figuras cujos pontos estão todos num mesmo plano, ou seja, estuda figuras de uma ou duas dimensões; A Geometria Espacial trata de figuras cujos pontos podem não estar todos num mesmo plano. A Geometria Espacial trata de figuras cujos pontos podem não estar todos num mesmo plano. Reta: figura plana de uma dimensão Triângulo: figura plana de duas dimensões Cubo: figura espacial de três dimensões

3 A Geometria Espacial Métrica estuda volumes e superfícies de sólidos e a Geometria Espacial de Posição estuda as posições relativas de figuras geométricas no espaço. A Geometria Espacial de Posição requer os seguintes elementos: – –Postulado: proposição que se aceita verdadeira sem demonstração; – –Teorema: proposição que se aceita como verdade por meio de demonstração.

4 São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria Espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação: São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria Espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação: pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto retas: letras minúsculas do nosso alfabeto retas: letras minúsculas do nosso alfabeto planos: letras minúsculas do alfabeto grego planos: letras minúsculas do alfabeto grego Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos. Conceitos primitivos r A

5 Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Postulado da Existência: Postulado da Existência: Existem ponto, reta e plano. Existem ponto, reta e plano. Numa reta, bem como fora dela, Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. existem infinitos pontos. Num plano, bem como fora dele, Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos. existem infinitos pontos. Postulados Existe ponto Ponto A A Existe reta, e nela, bem como fora dela, existem infinitos pontos. Reta s Existe plano, e nele, bem como fora dele, existem infinitos pontos.

6 Postulado da Determinação: Postulado da Determinação: Dois pontos distintos determinam uma única reta. Dois pontos distintos determinam uma única reta. Três pontos não colineares determinam um único plano. Três pontos não colineares determinam um único plano. rA B A C B

7 Postulado da Inclusão: Postulado da Inclusão: Uma reta que possui dois pontos distintos em um plano está contida nesse plano. Uma reta que possui dois pontos distintos em um plano está contida nesse plano. Postulado da divisão: Postulado da divisão: Um ponto de uma reta divide-a em duas regiões denominadas semi- retas. O ponto é a origem das semi-retas, e elas são chamadas opostas. Um ponto de uma reta divide-a em duas regiões denominadas semi- retas. O ponto é a origem das semi-retas, e elas são chamadas opostas. Uma reta de um plano divide-o em duas regiões denominadas semi- planos. A reta é a origem dos semiplanos, e eles são chamados opostos. Uma reta de um plano divide-o em duas regiões denominadas semi- planos. A reta é a origem dos semiplanos, e eles são chamados opostos. Um plano divide o espaço em duas regiões denominadas semi- espaços. O plano é a origem dos semi-espaços, e eles são chamados opostos. Um plano divide o espaço em duas regiões denominadas semi- espaços. O plano é a origem dos semi-espaços, e eles são chamados opostos. r A B

8 A B O B O A O r r r r

9 Postulado da Intersecção: Postulado da Intersecção: Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então têm uma única reta em comum passando por esse ponto. Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então têm uma única reta em comum passando por esse ponto. Postulado das Paralelas: Postulado das Paralelas: Dado um ponto P e uma reta r, existe e é única, a reta que passa por P e é paralela à r. Dado um ponto P e uma reta r, existe e é única, a reta que passa por P e é paralela à r. P s r

10 Retas concorrentes: quando têm um único ponto em comum. Retas concorrentes: quando têm um único ponto em comum. Retas paralelas distintas: quando forem coplanares e não tiverem ponto em comum. Retas paralelas distintas: quando forem coplanares e não tiverem ponto em comum. Posições relativas de duas retas P r s r s

11 Retas paralelas coincidentes: quando tiverem todos os pontos em comum. r = s Retas reversas: quando não forem coplanares.

12 Ângulo entre retas reversas Define-se ângulo entre duas retas reversas (r e s) como sendo o ângulo de uma reta r paralela a r e concorrente com s. Define-se ângulo entre duas retas reversas (r e s) como sendo o ângulo de uma reta r paralela a r e concorrente com s. s r r´

13 Retas perpendiculares: quando forem concorrentes e formarem ângulo reto. Retas perpendiculares: quando forem concorrentes e formarem ângulo reto. Retas ortogonais: Retas ortogonais: quando formarem ângulo reto (inclusive reversas). r s P P r s P r'

14 São retas reversas que formam ângulo de 90º ou retas perpendiculares. São retas reversas que formam ângulo de 90º ou retas perpendiculares. Retas ortogonais a e b são perpendiculares c e g são paralelas f e h são ortogonais e e d são ortogonais

15 Três pontos não colineares determinam um plano. Três pontos não colineares determinam um plano. Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano. Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano. Determinação de Plano r P A C B

16 Duas retas paralelas distintas determinam um plano. Duas retas paralelas distintas determinam um plano. Duas retas concorrentes determinam um plano. Duas retas concorrentes determinam um plano. r s P r s

17 Quadrilátero reverso É o quadrilátero cujos vértices não são coplanares, ou seja, não há plano que os contenha. É o quadrilátero cujos vértices não são coplanares, ou seja, não há plano que os contenha.

18 Posições relativas de reta e plano Uma reta está contida em um plano quando ela tem dois pontos distintos pertencentes ao plano. Uma reta está contida em um plano quando ela tem dois pontos distintos pertencentes ao plano. Uma reta e um plano são concorrentes ou secantes quando têm um único ponto em comum. Uma reta e um plano são concorrentes ou secantes quando têm um único ponto em comum. r A B P r

19 Uma reta é paralela a um plano quando eles não têm ponto em comum. Uma reta é paralela a um plano quando eles não têm ponto em comum. r

20 Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela ou reversa a qualquer reta do plano. Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela ou reversa a qualquer reta do plano. Conceitos sobre paralelismo entre reta e plano r s t

21 Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano. Conceitos sobre paralelismo entre reta e plano r s

22 Dois planos são concorrentes ou secantes se têm uma única reta em comum. Dois planos são concorrentes ou secantes se têm uma única reta em comum. Dois planos são paralelos coincidentes se têm todos os pontos em comum. Dois planos são paralelos coincidentes se têm todos os pontos em comum. Posições relativas de dois planos i =

23 Dois planos são paralelos distintos quando não têm ponto em comum. Dois planos são paralelos distintos quando não têm ponto em comum.

24 Conceitos sobre paralelismo entre planos Se dois planos são paralelos distintos, qualquer reta de um deles é paralela ao outro. Se dois planos são paralelos distintos, qualquer reta de um deles é paralela ao outro. s

25 Conceitos sobre paralelismo entre planos Se dois planos são paralelos distintos, toda reta concorrente com um deles é concorrente com o outro. Se dois planos são paralelos distintos, toda reta concorrente com um deles é concorrente com o outro. P Q

26 Conceitos sobre paralelismo entre planos Se um plano contém duas retas concorrentes, que são paralelas a um plano, então esses planos também são paralelos. Se um plano contém duas retas concorrentes, que são paralelas a um plano, então esses planos também são paralelos. P r s

27 Reta e plano Reta e plano Uma reta é perpendicular a um plano quando ela é concorrente com o plano e é perpendicular a todos as retas de, que passam pelo seu traço no plano. Uma reta é perpendicular a um plano quando ela é concorrente com o plano e é perpendicular a todos as retas de, que passam pelo seu traço no plano. Perpendicularismo a b c de P

28 Perpendicularismo P s t r Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.

29 Planos perpendiculares Planos perpendiculares Dois planos são perpendiculares se um deles contém uma reta perpendicular ao outro. Dois planos são perpendiculares se um deles contém uma reta perpendicular ao outro. r i t

30 Teorema das três perpendiculares s r t O S a Sejam r, s e t três retas e um plano tais que r, r t, s t e s t. Assim, qualquer reta a concorrente com r e s, passando por S, será perpendicular a s.

31 A projeção de um ponto sobre um plano é o ponto, sobre o plano, que traça com o ponto projetado uma reta perpendicular ao plano. A projeção de um ponto sobre um plano é o ponto, sobre o plano, que traça com o ponto projetado uma reta perpendicular ao plano. Projeção ortogonal r P P

32 A projeção ortogonal de uma reta r sobre um plano pode ser uma reta r ou um ponto. A projeção ortogonal de uma reta r sobre um plano pode ser uma reta r ou um ponto. Q s s' P P Q P Q s s' P Q s P

33 A projeção ortogonal de um segmento de reta PQ sobre um plano pode ser um segmento PQ ou um ponto. A projeção ortogonal de um segmento de reta PQ sobre um plano pode ser um segmento PQ ou um ponto. A projeção ortogonal de um triângulo ABC sobre um plano pode ser um segmento de reta ou um triângulo ABC. A projeção ortogonal de um triângulo ABC sobre um plano pode ser um segmento de reta ou um triângulo ABC. Q P P Q P Q P = Q Q P P Q

34 A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano. A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano. Projeção de uma figura A B CD A D C B

35 Dados dois pontos A e B, a distância entre eles é a medida do segmento AB, indicada por AB. Caso os pontos A e B coincidam, dizemos que a distância entre eles é zero. Dados dois pontos A e B, a distância entre eles é a medida do segmento AB, indicada por AB. Caso os pontos A e B coincidam, dizemos que a distância entre eles é zero. Dados um ponto P e uma reta r, a distância entre eles é a distância entre P e a sua projeção ortogonal P sobre r. Caso P pertença à reta r, dizemos que a distância é zero. Dados um ponto P e uma reta r, a distância entre eles é a distância entre P e a sua projeção ortogonal P sobre r. Caso P pertença à reta r, dizemos que a distância é zero. DistânciasA B A = B P P r

36 Dados um ponto P e um plano, a distância entre eles é a distância entre P e sua projeção ortogonal P sobre. Caso P pertença ao plano, dizemos que a distância entre eles é zero. Dados um ponto P e um plano, a distância entre eles é a distância entre P e sua projeção ortogonal P sobre. Caso P pertença ao plano, dizemos que a distância entre eles é zero. Quando uma reta e um plano têm um ponto em comum, distância entre eles é igual a zero. Quando uma reta é paralela a um plano, distância entre eles é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano. Quando uma reta e um plano têm um ponto em comum, distância entre eles é igual a zero. Quando uma reta é paralela a um plano, distância entre eles é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano. P s t P P s t P r d d

37 Quando dois planos têm ponto em comum, a distância entre eles é igual a zero. Quando dois planos são paralelos distintos, a distância (d) entre eles é igual a distância de um ponto qualquer de um deles ao outro. P P

38 Quando duas retas têm um ponto em comum, a distância (d) entre elas é igual a zero. Quando duas retas são paralelas distintas, a distância (d) entre elas é igual a distância entre um ponto qualquer de uma delas e a outra. P P r s d

39 A distância (d) entre duas retas reversas é a medida do segmento que tem uma extremidade em cada reta e é perpendicular a ambas (segmento perpendicular comum às duas retas). A distância (d) entre duas retas reversas é a medida do segmento que tem uma extremidade em cada reta e é perpendicular a ambas (segmento perpendicular comum às duas retas). r s P P d


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