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IG-UNICAMP Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.

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1 IG-UNICAMP Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.

2 E STUDO DA R ETA A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de todos os seus pontos sobre este plano. ( ) (C) (D) (B) (A) A B D C ( ) Baixando de todos os pontos da reta perpendiculares ao plano, os pés das perpendiculares dão lugar à projeção ortogonal da reta. Estas perpendiculares formam um plano perpendicular ao plano que é o plano projetante da reta. Os pés das perpendiculares estão na interseção dos dois planos e a projeção da reta (AB) é portanto esta interseção. IG-UNICAMP

3 E STUDO DA R ETA A=B (B) (A) ( ) A projeção de uma reta sobre um plano só deixa de ser uma reta quando esta lhe for perpendicular. Neste caso a projeção da reta se reduz a um ponto porque as projetantes de todos os seus pontos se confundem com a própria reta IG-UNICAMP

4 E STUDO DA R ETA A (B) (A) ( ) B Quando uma reta for paralela ao plano, a sua projeção sobre este plano é igual e paralela à própria reta. No exemplo dado, seja a reta (A)(B) paralela ao plano cuja projeção neste plano é a reta AB. As duas retas (A)(B) e AB formam com as projetantes (A)A e (B)B um paralelograma no qual (A)(B) = AB. Diz-se então que a reta se projeta em VERDADEIRA GRANDEZA (V.G.). IG-UNICAMP

5 E STUDO DA R ETA ( ) A (B) (A) B Quando uma reta for oblíqua a um plano, a sua projeção é menor que a reta do espaço. Isto pois a reta forma, com a sua projeção e as projetantes, um trapézio retângulo cuja base é menor que a reta do espaço. IG-UNICAMP

6 E STUDO DA R ETA ( ) (A) (B) (B 4 ) (B 3 ) (B 2 ) (B 1 ) A=B B1B1 B2B2 B3B3 B4B4 O comprimento da projeção de uma reta sobre um plano varia com a inclinação desta em relação ao plano. Uma reta pode passar por todos os valores, de zero (reta ortogonal ao plano) até o limite máximo igual ao comprimento verdadeiro da reta (reta paralela ao plano). IG-UNICAMP

7 E STUDO DA R ETA ( ) (A) (B) (B 4 ) (B 3 ) (B 2 ) (B 1 ) A=B B1B1 B2B2 B3B3 B4B4 Seja a reta (A)(B) perpendicular ao plano Suponha que a reta girando em torno de (A) ocupe as posições (A)(B 1 ),...(A)(B 3 ), etc, cujas projeções no plano (p) são respectivamente AB, AB 1, AB 2, etc. e assim por diante. Verifica-se que a projeção inicial é o ponto A=B e que esta projeção torna-se AB 1 quando o ponto B atinge a posição (B 1 ) e vai crescendo gradativamente. Conclui-se que a projeção de uma reta sobre um plano é tanto maior quanto menor for sua inclinação sobre ele. IG-UNICAMP

8 P OSIÇÕES R ELATIVAS DE D UAS R ETAS (M) (s) (r) ( ) Sejam as retas (r) e (s), o plano ( ) e o ponto (M), comum à reta (s) e ao plano ( ). Enquanto a reta (r) está situada no plano ( ), a reta (s) tem neste plano apenas um ponto (M). Conclui-se que o ponto (M) e a reta (r) definem o plano ) e a reta (s) a ele não pertence. RETAS REVERSAS OU NÃO COPLANARES (r) e (s) são retas reversas ou não coplanares, o que significa que não pertencem ou não estão posicionadas no mesmo plano. IG-UNICAMP

9 P OSIÇÕES R ELATIVAS DE D UAS R ETAS RETAS COPLANARES Sejam as retas (r) e (s), o plano ( ) e o ponto (M), comum às retas (r) e (s) e ao plano ( ). As retas (r) e (s) pertencem ao mesmo plano. (r) e (s) são ditas coplanares, pois definem um plano. ( ) (M) (s) (r) IG-UNICAMP

10 ( ) (M) (s) (r) (r 1 ) (s 1 ) Concorrentes: as retas (r) e (s) apresentam um ponto em comum (M). Paralelas: as retas (r 1 ) e (s 1 ) são paralelas, não admitindo ponto comum. P OSIÇÕES R ELATIVAS DE D UAS R ETAS RETAS COPLANARES IG-UNICAMP

11 Duas retas são concorrentes quando o ponto de interseção das projeções verticais e o das projeções horizontais (M) estiver numa mesma linha de chamada ( ) RETAS COPLANARES CONCORRENTES P OSIÇÕES R ELATIVAS DE D UAS R ETAS (M) (r) (s) r s M M s s M r r IG-UNICAMP

12 Duas retas são concorrentes quando duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas se cortam. RETAS COPLANARES CONCORRENTES P OSIÇÕES R ELATIVAS DE D UAS R ETAS ( ) r = s (O) (r) (s) O S O r O r=s Neste caso as 2 retas concorrentes admitem um mesmo plano de projetante e por isso suas 2 projeções de mesmo nome coincidem. IG-UNICAMP

13 Duas retas são concorrentes quando uma das projeções de uma reta se reduz a um ponto sobre a projeção de mesmo nome da outra reta. RETAS COPLANARES CONCORRENTES P OSIÇÕES R ELATIVAS DE D UAS R ETAS ( ) (r) (u) (M) M=u r u r M r IG-UNICAMP

14 Duas retas são paralelas quando >> (I) as suas projeções de mesmo nome são paralelas. RETAS COPLANARES PARALELAS P OSIÇÕES R ELATIVAS DE D UAS R ETAS r r s s (r) r (s) s ( ) IG-UNICAMP

15 Duas retas são paralelas quando >> (II) duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas são paralelas (é o caso de duas retas //s admitirem um mesmo plano projetante). RETAS COPLANARES PARALELAS P OSIÇÕES R ELATIVAS DE D UAS R ETAS (r) ( ) (s) r=s r s IG-UNICAMP

16 Duas retas são paralelas quando >> (III) as suas projeções sobre um mesmo plano se reduzem, cada uma, a um ponto. RETAS COPLANARES PARALELAS P OSIÇÕES R ELATIVAS DE D UAS R ETAS (r) ( ) (s) r s s r É o caso de duas retas verticais ou de topo que obrigatoriamente são paralelas entre si. IG-UNICAMP

17 A LGUMAS P OSIÇÕES DA R ETA RETA HORIZONTAL: reta paralela ao plano horizontal. RETA FRONTAL: reta paralela ao plano vertical. RETA FRONTO-HORIZONTAL: reta paralela aos dois planos. RETA VERTICAL: reta perpendicular ao plano horizontal. RETA DE TOPO: reta perpendicular ao plano vertical Não mencionamos retas perpendiculares aos dois planos? Por que? IG-UNICAMP

18 P OSIÇÕES DA R ETA Pois não há retas nesta posição!!! Toda a reta perpendicular a um plano será obrigatoriamente paralela ao outro, JÁ QUE OS PLANOS DE PROJEÇÃO SÃO PERPENDICULARES ENTRE SI. IG-UNICAMP

19 D ETERMINAÇÃO DE UMA R ETA A B A B De modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são conhecidas as projeções desta reta sobre os dois planos ortogonais de Monge. Sejam os planos ( ) e ( ) perpendiculares e AB e AB respectivamente as projeções da reta (A)(B), cuja posição queremos determinar. Por AB faz-se passar um plano perpencicular ao plano ( ); o mesmo se aplica com AB em relação a ( ). Cada um dos planos, que são os planos projetantes da reta nos respectivos planos de projeção, deve conter a reta do espaço, que será então a interseção destes 2 planos projetantes. (A) A A B ( ) (B) B ( ) IG-UNICAMP

20 P ERTINÊNCIA DE P ONTO E R ETA ( ) A C (A) (C) (B) B Sabe-se que três pontos em linha reta projetam-se segundo três pontos também em linha, EXCETO quando os pontos estão na mesma reta perpendicular ao plano. Verifica-se então que se o o ponto (C) da figura ao lado pertence à reta (A)(B), a projeção C pertence à projeção AB. REGRA GERAL... IG-UNICAMP

21 r A A r B B t t E EF C C F P ERTINÊNCIA DE P ONTO E R ETA REGRA GERAL: um ponto pertence a uma reta quando as projeções deste ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, ou seja, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta e a projeção vertical do ponto também sobre a projeção vertical da reta. EXEMPLOS IG-UNICAMP

22 P OSIÇÕES DA R ETA Em relação aos planos de projeção, a reta pode ocupar várias posições, posições estas que determinam nomes e propriedades particulares. Veremos aqui a maior parte delas.... IG-UNICAMP

23 No espaço Na épura Características da reta Qualquer: O segmento AG é oblíquo em relação ao PV e ao PH. Tanto as cotas como os afastamentos são diferentes ao longo do segmento. Nenhuma de suas projeções está em V.G. As projecções horizontais e as verticais são oblíquas em relação à LT. RETA QUALQUER (AG) PV A2 C B F G D H A E G1 G2 A1 PH A2 G2 G1 A1 L T

24 No espaço Na épura RETA FRONTO-HORIZONTAL (AB) Características da reta Fronto-horizontal: O segmento AB tem a mesma cota – distância do ponto ao PH - em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH. Tem também, o mesmo afastamento – distância do ponto ao PV - em todos os seus pontos e portanto é paralela ao PV. Sendo paralela ao PV e ao PH também o será à LT. Por ser paralela ao PH, a sua projeção horizontal está em V.G. – Verdadeira Grandeza Por ser paralela ao PV, a sua projeção vertical também estará em V.G. PV A2 C B F G D H A E B1 B2 A1 PH A2 B2 B1 A1 L T

25 RETA HORIZONTAL (AC) No espaço Na épura Características da reta Horizontal: O segmento AC tem mesma cota em todos os seus pontos, portanto é paralela ao P H. Porém tem afastamentos diferentes nos pontos, é oblíquo ao PV. Por ser paralela ao PH porém oblíquo ao PV, a sua projeção horizontal está em V.G. e é oblíqua à LT. Sendo oblíquo ao PV e paralelo ao PH, a sua projeção vertical é paralela à LT. PV A2 C B F G D H A E C1 C2 A1 PH A2 C2 C1 A1 L T

26 RETA DE TOPO (AD) No espaço Na épura Características da reta de Topo: O segmento AD tem mesma cota em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH. Porém tem afastamentos diferentes nos seus pontos e, é perpendicular ao PV. Por ser paralela ao PH, a sua projeção horizontal está em V.G. e é perpendicular à LT. Sendo perpendicular ao PV, a sua projeção vertical transforma-se num ponto. PV A2=D2 C B F G D H A E D1 A1 PH A2=D2 D1 A1 L T

27 RETA DE VERTICAL (AE) No espaço Na épura Características da reta Vertical: O segmento AE tem o mesmo afastamento em todos os seus pontos, portanto é paralelo ao PV. Porém tem cotas diferentes nos seus pontos e, é perpendicular ao PH. Sendo paralelo ao PV, a sua projeção vertical estará em V.G. e é perpendicular à LT. Por ser perpendicular ao PH, a sua projeção horizontal estará reduzida a um ponto. PV A2 C B F G D H A E A1=E1 PH A2 A1=E1 L T E2

28 RETA FRONTAL (AF) No espaço Na épura Características da reta Frontal: O segmento AF tem o mesmo afastamento em todos os seus pontos, portanto é paralelo ao PV. Porém tem cotas diferentes nos seus pontos e, é oblíquo ao PH. Sendo paralelo ao PV, a sua projeção vertical estará em V.G. e é oblíqua à LT. Por ser oblíqua ao PH mas paralela ao PV, a sua projeção horizontal será paralela à LT. PV A2 C B F G D H A E A1 PH A2 A1 L T F2 F1

29 RETA DE PERFIL (AH) No espaço Na épura Características da reta de Perfil O segmento AH é oblíquo tanto ao PV, quanto ao PH; As cota e os afastamentos são diferentes ao longo do segmento As suas projeções horizontal e vertical não estão em V.G As projeções horizontal e vertical são perpendiculares à LT. No espaço, ela pode ser concorrente à LT. PV A2 C B F G D H A E H1 A1 PH A2 H1 A1 L T H2

30 P OSIÇÕES DA R ETA Uma reta de perfil só pode ocupar 2 posições em relação aos planos de projeção: (i) ou possui os 2 traços distintos (H) e (V) e neste caso passa por 3 diedros ou, (ii) possui os seus traços coincidentes sobre a LT e só atravessará os 2 diedros opostos. ( S ) ( A ) (s) ( P ) ( I ) (H)=(V) (H) (r) (V) RETA DE PERFIL IG-UNICAMP

31 TRAÇOS DE RETA DE PERFIL P OSIÇÕES DA R ETA A2 B2 H=V A1 B1 EM ÉPURA: - seja (A) (B) dada por suas projeções A2 e B2 e A1 e B1. V (=(V)) é o traço da reta sobre o plano vertical (p). Suponha que o traço H da reta sobre o plano horizontal (p) e o traço V da reta sobre o plano vertical (p) sejam desconhecidos. VAMOS DETERMINÁ-LOS!!. - Opera-se fazendo-se centro em H=V e descrevendo os raios de círculo até situar estes pontos em A3 e B3 na linha de terra. OBS: na realidade não é necessário obrigatoriamente traçar os arcos de círculo. O transporte dos afastamentos dos pontos (A) e (B) para HA3 e HB3 levam ao mesmo resultado. IG-UNICAMP

32 TRAÇOS DE RETA DE PERFIL P OSIÇÕES DA R ETA PASSO 1 A2 B2 H=V A3B3 A1 B1 IG-UNICAMP

33 TRAÇOS DE RETA DE PERFIL P OSIÇÕES DA R ETA PASSO 2 EM ÉPURA: - teremos em (A 1 )(B 1 ) a verdadeira grandeza da reta (A)(B) - através do prolongamento superior da reta (A 1 )(B 1 ) podemos derivar o traço vertical (V)=V da reta (A)(B) (A 1 ) (B 1 ) A2 B2 H=V A1A1 B1B1 A1 V=(V) B1 IG-UNICAMP

34 TRAÇOS DE RETA DE PERFIL P OSIÇÕES DA R ETA (A 1 ) (B 1 ) A B H=V A1A1 B1B1 A V=(V) B IG-UNICAMP

35 TRAÇOS DE RETA DE PERFIL P OSIÇÕES DA R ETA (A 1 ) (B 1 ) A2 B2 H=V A1A1 B1B1 H1H1 A1 (H) V=(V) B1 PASSO 4 Pronto! H e V estão determinados. IG-UNICAMP EM ÉPURA: - com o mesmo centro em H=V e raio HH 1, descreve-se, em sentido contrário ao efetuado para o rebatimento (sentido dos ponteiros), o arco H 1 H, sendo (H) o traço horizontal.

36 P OSIÇÕES DA R ETA Assim como analisado para o ponto, esta reta pode estar contida toda dentro de qualquer dos semiplanos ou em coincidência com a LT. No primeiro caso, a reta possuirá sempre uma das projeções sobre a LT. No segundo caso, ambas as projeções coincidem com aquela com a LT. AB (A)=A (B)=B Reta situada no ( S ) A reta coincide com a sua própria projeção vertical. Na épura, a projeção vertical aparece acima da LT e a projeção horizontal sobre a LT. (A)=A ( S ) (B)=B A B ( I ) ( A ) ( P ) IG-UNICAMP

37 P OSIÇÕES DA R ETA Reta situada no ( I ) ( S ) ( I ) ( A ) ( P ) (A) = A (B) = B A B A B (A) = A (B) = B A reta coincide com a sua própria projeção vertical. Na épura, a projeção vertical aparece abaixo da LT e a projeção horizontal sobre a LT. IG-UNICAMP

38 P OSIÇÕES DA R ETA Reta situada no ( A ) ( P ) ( S ) ( A ) (A) = A (B) = B B A ( I ) A reta coincide com a sua própria projeção horizontal. Na épura, a projeção vertical da reta aparece sobre a LT, enquanto a sua a projeção horizontal posiciona-se abaixo da LT. A B (A) = A (B) = B IG-UNICAMP

39 P OSIÇÕES DA R ETA Reta situada no ( P ) A reta coincide com a sua própria projeção horizontal. Na épura, a projeção vertical da reta aparece sobre a LT, enquanto a sua a projeção horizontal posiciona-se acima da LT. ( P ) ( S ) ( I ) B (A) = A (B) = B ( A ) A B A (B) = B (A) = A IG-UNICAMP

40 P OSIÇÕES DA R ETA Reta situada sobre a LINHA DE TERRA Reta situada sobre a LINHA DE TERRA (B)=B=B (A)=A=A ( I ) ( A ) (A)=A=A (B)=B=B ( P ) ( S ) IG-UNICAMP

41 P OSIÇÕES DA R ETA Outros exemplos: ( P ) ( S ) ( A ) r ( I ) (r) Reta (r) de topo no ( A ) IG-UNICAMP

42 ( S ) (u) ( I ) ( A ) ( P ) u P OSIÇÕES DA R ETA Outros exemplos: Reta (u) vertical no ( S ) IG-UNICAMP

43 P OSIÇÕES DA R ETA Outros exemplos: Reta (m) frontohorizontal no ( P ) ( P ) ( S ) ( I ) B (m) ( A ) A m IG-UNICAMP


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