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GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Perendicularidade Resumo © ant ó nio de campos, 2009.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Perendicularidade Resumo © ant ó nio de campos, 2009.

2 recta – recta, geral: Duas rectas são perpendiculares se são complanares e as suas direcções ortogonais (a 90º). Duas rectas são ortogonais se não são complanares e são paralelas a duas rectas perpendiculares. Com a perpendicularidade, mesmo com rectas perpendiculares, as suas projecções não são perpendiculares, a não ser se uma das rectas for paralela a um plano de projecção.

3 Uma recta frontal f, que contém o ponto P (2; 2; 3), e faz um ângulo de 50º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções de uma recta oblíqua r, perpendiculare à recta f. A projecção horizontal da recta r faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. x y z P1P1 P2P2 f1f1 r1r1 f2f2 r2r2

4 rectas não paralelas aos planos de projecção: Duas rectas são perpendiculares se são complanares e as suas direcções ortogonais (a 90º), via recta auxiliar que seja paralela a um dos planos de projecção x r2r2 r1r1 P1P1 P2P2 fαfα h2h2 h1h1 F1F1 F2F2 hαhα s1s1 F1F1 F2F2 s2s2

5 Pretendem-se as projecções de uma recta oblíqua s perpendicular à recta oblíqua r e passando pelo ponto P. x r2r2 A solução passa por utilizar um plano perpendicular (plano auxiliar α) à recta r e contendo o ponto P, pois uma recta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as rectas desse plano e o inverso também é verdade. Uma recta horizontal h do plano α, contendo o ponto P e perpendicular à recta r vai auxiliar a obter os traços do plano. r1r1 P1P1 P2P2 fαfα h2h2 h1h1 F1F1 F2F2 hαhα s1s1 F1F1 F2F2 s2s2

6 recta – plano, geral: Uma recta é perpendicular a um plano, se é perpendicular a duas rectas concorrentes desse plano. x fαfα p1p1 P1P1 P2P2 p2p2 Os traços do plano α (f α e h α ) são duas rectas concorrentes desse plano. Se a recta p é perpendicular a f α e h α, é portanto perpendicular ao plano α. hαhα

7 Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com 1 cm de abcissa e fazem com o eixo x, ângulos de 30º (a.d.) e 60 (a.e.), respectivamente o traço frontal e o traço horizontal. Desenha as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano α e passando pelo ponto M (-1; 4; 4). x y z M1M1 M2M2 fαfα hαhα p1p1 p2p2

8 recta – plano de rampa: Uma recta é perpendicular a um plano de rampa, se for uma recta de perfil, via rebatimento. x fρfρ A1A1 p 1 p 2 A2A2 hρhρ Uma recta de perfil p permite obter a perpendicularidade ao plano ρ. Depois para definir a recta, é necessário obter outro ponto da recta para além do ponto A. F2F2 H2H2 H1H1 F 1 h π f π p 1 p 2 Para poder obter o outro ponto, recorre- se a uma outra recta de perfil p, contida num plano ρ; e do plano π, que contém a recta p; pelo processo de rebatimento. e 2 (e 1 ) h πr f πr ArAr HrHr F r BrBr prpr B2B2 B1B1 prpr

9 É dado um plano de rampa ρ com 4 cm de afastamento e 3 cm de cota. Desenha as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano ρ e passando pelo ponto R (3; 4). x fρfρ R1R1 p 1 p 2 R2R2 hρhρ Uma recta de perfil p permite obter a perpendicularidade ao plano ρ. Depois para definir a recta, é necessário obter outro ponto da recta para além do ponto R. F2F2 H2H2 H1H1 F 1 h π f π p 1 p 2 Para poder obter o outro ponto, recorre- se a uma outra recta de perfil p, contida num plano ρ; e do plano π, que contém a recta p; pelo processo de rebatimento. e 2 (e 1 ) h πr f πr RrRr HrHr F r SrSr prpr S2S2 S1S1 prpr

10 plano – recta, geral: Uma recta é perpendicular a um plano, se é perpendicular a duas rectas concorrentes desse plano, via rectas horizontais ou frontais. x fαfα r1r1 P1P1 P2P2 r2r2 Uma recta perpendicular a um plano é a todas as rectas do plano, incluindo uma recta horizontal. Uma recta horizontal passando pelo ponto P vai auxiliar na obtenção dos traços do plano α. hαhα h2h2 h1h1 F1F1 F2F2

11 Uma recta r é definida pelos pontos M (1; 3; 4) e N (-2; 1; 2). Determina os traços de um plano θ perpendicular à recta r e passando pelo ponto P (1; 2; 3). fαfα r1r1 P1P1 P2P2 r2r2 Uma recta perpendicular a um plano é a todas as rectas do plano, incluindo uma recta horizontal. Uma recta horizontal passando pelo ponto P vai auxiliar na obtenção dos traços do plano θ. hαhα h2h2 h1h1 F1F1 F2F2 x y z M1M1 M2M2 N1N1 N2N2

12 plano – plano, geral: Um plano é perpendicular a outro plano, se contiver uma recta perpendicular ao outro plano.

13 Pretendem-se os traços de um plano δ, perpendicular ao plano α e passando pelo ponto P. x fαfα p1p1 P1P1 P2P2 p2p2 Uma recta p que pertence ao plano δ é perpendicular ao plano α. hαhα fδfδ hδhδ F1F1 F2F2 H1H1 H2H2 Qualquer outro plano que contenha a recta p é perpendicular ao plano α.

14 planos - planos bissectores: Um plano é perpendicular a outro plano, se contiver uma recta perpendicular ao outro plano, com as características das rectas contidas nos bissectores. Os planos bissectores são planos de rampa (passante), e portanto contém rectas fronto-horizontais, rectas oblíquas (passantes) e rectas de perfil (passantes). No caso de rectas fronto-hrizontais, será sempre um plano de perfil que será perpendicular à recta. Assim os planos de perfil serão sempre perpendiculares aos bissectores. x fαfα hαhα r2r2 r1r1 Uma recta r pertence ao bissector β 1,3, é perpendicular ao plano α. x f δ h δ s 1 s 2 Uma recta s pertence ao bissector β 2,4, é perpendicular ao plano δ.

15 Uma recta frontal f faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção, e tem 3 cm de afastamento. Determina os traços do plano α, perpendicular ao β 1,3, e que contém a recta f. x f2f2 f1f1 H1H1 H2H2 fαfα hαhα O traço frontal do plano é paralelo à projecção frontal da recta, porque o plano α contém a recta f. Pelo facto do plano α ser perpendicular ao β 1,3 têm os seus traços simétricos, f α é simétrico com h α em relação ao eixo x.


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