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GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Perpendicularidade entre Planos © antónio de campos, 2009.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Perpendicularidade entre Planos © antónio de campos, 2009

2 Perpendicularidade entre Planos Um plano é perpendicular a outro plano, se contiver uma recta perpendicular ao outro plano.

3 Planos Perpendiculares - Geral Pretendem-se os traços de um plano δ, perpendicular ao plano α e passando pelo ponto P. x fαfα p1p1 P1P1 P2P2 p2p2 Uma recta p que pertence ao plano δ é perpendicular ao plano α. hαhα fδfδ hδhδ F1F1 F2F2 H1H1 H2H2 Qualquer outro plano que contenha a recta p é perpendicular ao plano α.

4 Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com 2 cm de abcissa e fazem com o eixo x, ângulos de 30º (a.d.) e 45 (a.e.), respectivamente o traço frontal e o traço horizontal. Desenha as projecções de um plano de rampa ρ, perpendicular ao plano α e passando pelo ponto M (-2; 2; 1). x y z M1M1 M2M2 fαfα hαhα p2p2 H1H1 H2H2 p1p1 F2F2 F1F1 fρfρ hρhρ

5 Um plano de topo δ faz um diedro de 40º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção e corta o eixo x num ponto com –3 cm de abcissa. Determina os traços de um plano θ, em que o seu traço horizontal faz um ângulo de 70º (a.d.) com o eixo x, passa pelo ponto T (2; 3; 2) e é perpendicular com o plano δ. x y z fδfδ T1T1 T2T2 hδhδ p2p2 p1p1 Uma recta frontal auxiliar p, que pertence ao plano θ vai permitir determinar os traços do plano. H1H1 H2H2 hθhθ fθfθ

6 É dado um plano horizontal ν, com 4 cm de cota. Determina os traços de um plano perpendicular ao plano ν e contendo o ponto P (3; 2). Que outras soluções são possíveis? x P1P1 P2P2 fνfν Nesta solução, uma recta vertical auxiliar v foi utilizada. v2v2 ( v 1 ) fαfα hαhα Qualquer plano vertical que passe pelo ponto P será perpendicular ao plano v. Ainda seria possível como solução, um plano frontal ou um plano de perfil.

7 Planos Perpendiculares aos Planos Bissectores A mesma regra geral é aplicada: de que um plano é perpendicular a outro plano, se contiver uma recta perpendicular ao outro plano. Com os bissectores é necessário ter em conta as características das rectas contidas nos bissectores. Os planos bissectores são planos de rampa (passante), e portanto contém rectas fronto-horizontais, rectas oblíquas (passantes) e rectas de perfil (passantes). No caso de rectas fronto-hrizontais, será sempre um plano de perfil que será perpendicular à recta. Assim os planos de perfil serão sempre perpendiculares aos bissectores.

8 Planos Perpendiculares ao Bissector β 1,3 Pretendem-se os traços de um plano α, perpendicular ao bissector β 1,3 ; utilizando uma recta oblíqua (passante) r, pertencente ao bissector. x fαfα Uma recta r pertence ao bissector β 1,3, por ser passante (passa pelo eixo x) e ser simétrica. hαhα r2r2 r1r1 O plano α acaba por ser uma plano simétrico. Caso a recta do bissector β 1,3 fosse uma recta de perfil (passante), o plano perpendicular a essa recta seria um plano de rampa, com os seus traços simétricos em relação ao eixo x.

9 Planos Perpendiculares ao Bissector β 2,4 Pretendem-se os traços de um plano δ, perpendicular ao bissector β 2,4 ; utilizando uma recta oblíqua (passante) s, pertencente ao bissector. x f δ h δ Uma recta s pertence ao bissector β 2,4, por ter as suas projecções coincidentes. s 1 s 2 O plano δ acaba por ser uma plano oblíquo com os seus traços coincidentes entre si, e concorrentes com o eixo x. Caso a recta do bissector β 2,4 fosse uma recta de perfil (passante), o plano perpendicular a essa recta seria um plano de rampa, com os seus traços coincidentes entre si.

10 Uma recta frontal f faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção, e tem 3 cm de afastamento. Determina os traços do plano α, perpendicular ao β 1,3, e que contém a recta f. x f2f2 f1f1 H1H1 H2H2 fαfα hαhα O traço frontal do plano é paralelo à projecção frontal da recta, porque o plano α contém a recta f. Pelo facto do plano α ser perpendicular ao β 1,3 têm os seus traços simétricos, f α é simétrico com h α em relação ao eixo x.

11 Uma recta frontal f faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção, e tem 3 cm de afastamento. Determina os traços do plano α, perpendicular ao β 2,4, e que contém a recta f. x f2f2 f1f1 H1H1 H2H2 f α h α O traço frontal do plano é paralelo à projecção frontal da recta, porque o plano α contém a recta f. Pelo facto do plano α ser perpendicular ao β 2,4 têm os seus traços coincidentes, f α é coincidente com h α.

12 Um plano α é perpendicular ao β 2,4, e o traço frontal do plano faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções do ponto A (3; 4), contido no plano. x Para o ponto ertencer a um plano tem que pertencer a uma recta do plano. Uma recta frontal do plano com 3 cm de afastamento será utilizada. f α h α f1f1 f2f2 A1A1 A2A2 H1H1 H2H2


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