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GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Sólidos III e Secções - Resumo © antónio de campos, 2010.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Sólidos III e Secções - Resumo © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES – Sólidos III Para os sólidos com as bases contidas em planos oblíquos, planos de rampa ou planos passantes, um processo de resolução passa pelas seguintes acções: 1. Determinar as projecções da base, recorrendo ao rebatimento do plano que contém a base, para construir em V.G. a base, para depois inverter o rebatimento para obter as projecções; 2. Obter a altura do sólido, recorrendo a uma recta ortogonal ao plano da base, que será o eixo do sólido, rebater o eixo (via plano projectante) para obter a V.G. da altura, para depois inverter o rebatimento para obter as projecções; 3. Construir o sólido, a partir das projecções de todos os vértices, determinando a visibilidade, com os vértices com menor afastamento a estarem menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem, e os vértices com menor cota a estarem menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem.

3 Projecção de uma Pirâmide com Base Contida em Plano Oblíquo São dados dois pontos, A (4; 0) e B (0; 3), contidos num plano oblíquo α. O traço horizontal do plano α faz um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x, enquanto o traço frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. Os pontos A e B são dois vértices consecutivos de um quadrado [ABCD] e a base de uma pirâmide quadrangular regular, com 7 cm de altura e situada no 1.º diedro. Desenha as projecções da pirâmide. Desenho à escala de 1:2. x hαhα fαfα A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 Determinar as projecções do quadrado, recorrendo do rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção, com h α como charneira, para obter a V.G.; e depois inverter o rebatimento, através de rectas frontais. Localizar o ponto O. e 1 h αr BrBr f αr A r CrCr DrDr frfr f1f1 H2H2 H r H 1 f2f2 C2C2 C1C1 frfr H2H2 f1f1 f2f2 D2D2 D1D1 O2O2 O1O1 Construir a pirâmide, com uma recta ortogonal p ao plano α, que será o eixo da pirâmide. O ponto V é o vértice da pirâmide. Para obter a V.G. do segmento de recta [OV], rebater um plano projectante (plano de topo δ) que contém a recta p, com h δ como charneira, rebatendo a própria recta p. p1p1 e 2 p2p2 f δ hδhδ e 1 h δr f δr (e 2 ) OrOr H 2 H r H 1 prpr VrVr Invertendo o rebatimento do plano δ, obtêm-se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta p, permitindo a construção da pirâmide. Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem. V2V2 V1V1

4 FIGURA DA SECÇÃO E O SÓLIDO TRUNCADO Em baixo à esquerda, a figura da secção é a figura plana resultante da secção produzida no sólido pelo plano secante, com o sólido a permanecer indiviso. A B C D V A B C D A B C D A B C D V A B C D Em baixo à direita, o sólido truncado é um sólido, parte do sólido dado, compreendido entre o plano secante (a figura da secção) e a base ou o vértice.

5 SECÇÕES PLANAS PRODUZIDAS POR PLANOS PARALELOS AOS PLANOS DA BASE A secção produz um polígono semelhante ao polígono da base. ν ν1ν1 A B C D V A B C D

6 Secção Plana de uma Pirâmide com Base Horizontal Um sólido resultante da secção produzida por um plano horizontal ν numa pirâmide pentagonal regular, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção. x K 1 V 1 A2A2 A1A1 C2C2 C1C1 B2B2 B1B1 D2D2 D1D1 E2E2 E1E1 V2V2 K2K2 (f ν ) M2M2 M1M1 N2N2 N1N1 O2O2 O1O1 P2P2 P1P1 Q2Q2 Q1Q1

7 GENERALIDADES – Cones Antes de determinar a figura da secção produzida por um plano num cone, é necessário identificar o tipo de secção. Para cones contidos em planos horizontais ou frontais, se o plano secante é paralelo à base do cone, a figura de secção é uma circunferência. O processo de identificação do tipo de secção produzida passa pelos seguintes passos, se o plano secante conter o vértice de superfície: 1 – Determinar a recta de intersecção do plano secante com o plano da base do cone; 2 – Analisar a posição da recta de intersecção em relação à base do cone; a) – se a recta de intersecção é exterior à base, a figura da secção é um ponto; b) - se a recta de intersecção é tangente à base, a figura da secção é uma recta; c) - se a recta de intersecção é secante à base, a figura da secção é um triângulo. O processo de identificação do tipo de secção produzida passa pelos seguintes passos, se o plano secante não conter o vértice de superfície: 1 – Conduzir pelo vértice do cone, um plano paralelo ao plano secante; 2 – Determinar a recta de intersecção do plano paralelo com o plano da base do cone; 3 – Analisar a posição da recta de intersecção em relação à base do cone; a) – se a recta de intersecção é exterior à base, a figura da secção é uma elipse; b) - se a recta de intersecção é tangente à base, a figura da secção é uma parábola; c) - se a recta de intersecção é secante à base, a figura da secção é uma hipérbole.

8 Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano Secante que Contém o Vértice de Superfície com a Recta de Intersecção Secante à Base Um sólido resultante da secção produzida por um plano de topo δ num cone oblíquo, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção.. x A2A2 A1A1 O2O2 O1O1 B2B2 B1B1 V2V2 V1V1 hδhδ fδfδ C1C1 C2C2 D1D1 D 2 O h δ é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base do cone. A recta é secante à base. O triângulo [CDV] é a figura de secção.

9 Secção Plana de um Cone com Base Frontal por um Plano Secante que Não Contém o Vértice de Superfície com a Recta de Intersecção Exterior à Base Pretende-se as projecções da figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cone de revolução, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Frontal de Projecção. x O2O2 O1O1 V 2 V1V1 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 hαhα fαfα hθhθ Um plano auxiliar vertical θ, paralelo ao plano α e que contém o vértice, produz f θ que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é exterior à base, sendo a figura de secção uma elipse. fθfθ C2C2 C1C1 D2D2 D1D1 Utilizar o método dos planos paralelos à base para obter a elipse: 1 – Plano auxiliar paralelo ao plano da base; 2 – A figura de secção (circunferência) do plano auxiliar sobre superfície lateral do sólido; 3 – Recta de intersecção entre plano secante e plano auxiliar; 4 – Pontos de intersecção da recta de intersecção com a circunferência. (h φ ) R2R2 R1R1 Q1Q1 (i 1 ) i2i2 E2E2 E 1 F2F2 F 1 A seguir, construir o eixo menor da elipse, com o ponto M a ser o ponto de concorrência dos dois eixos da elipse. Depois é obtido mais quatro pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os oito pontos é possível construir a elipse. M 1 M2M2 (h φ1 ) S2S2 S1S1 (i 1 ) i2i2 G2G2 G 1 H2H2 H 1 (h φ2 ) T2T2 T1T1 i2i2 I2I2 (i 1 ) I 1 J2J2 J 1 Q 2

10 Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano Secante que Não Contém o Vértice de Superfície com a Recta de Intersecção Tangente à Base Pretende-se as projecções do sólido resultante da secção produzida por um plano de topo θ num cone oblíquo, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção. x A2A2 A1A1 O2O2 O1O1 B2B2 B1B1 V2V2 V1V1 hθhθ fθfθ C1C1 C2C2 D1D1 D 2 Um plano auxiliar vertical θ 1, paralelo ao plano secante θ e que contém o vértice, produz f θ1 que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é tangente à base, sendo a figura de secção uma parábola. fθ1fθ1 hθ1hθ1 Para obter a parábola, primeiro determinar os pontos da figura de secção: C, D e E. Depois é obtido mais seis pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os nove pontos é possível construir a parábola. g1g1 g2g2 E2E2 E1E1 (f ν ) Q2Q2 Q1Q1 R2R2 R1R1 (i 2 ) i1i1 F1F1 F 2 G1G1 G 2 (f ν1 ) Q2Q2 Q1Q1 S2S2 S1S1 (i 2 ) i1i1 H1H1 H 2 I1I1 (f ν2 ) T2T2 T1T1 Q2Q2 Q1Q1 (i 2 ) i1i1 J1J1 J 2 K1K1 K 2 I 2

11 Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano Secante que Não Contém o Vértice de Superfície com a Recta de Intersecção Secante à Base Pretende-se as projecções da figura da secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cone de revolução (limitado por uma única folha), situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção. x O2O2 O1O1 V 1 V2V2 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 hαhα fαfα Um plano auxiliar vertical α 1, paralelo ao plano α e que contém o vértice, produz h α que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é secante à base, sendo a figura de secção uma hipérbole. hα1hα1 fα1fα1 Para obter a hipérbole, primeiro determinar os pontos da figura de secção: C e D. O ponto E é o ponto que o plano secante corta a geratriz mais á direita do contorno aparente frontal do cone. Para determinar o espaço útil para os planos auxiliares, é necessário determinar o ponto de maior cota da secção (o ponto F), através de ponto T e recta tangente à base (recta t) e da geratriz que contém o ponto T. No espaço útil entre os pontos F, C e D, será obtido mais seis pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os nove pontos é possível construir a parábola. C2C2 C1C1 D2D2 D1D1 E2E2 E1E1 t1t1 t 2 g1g1 T2T2 T1T1 g2g2 F2F2 F1F1

12 GENERALIDADES – Cilindros Antes de determinar a figura da secção produzida por um plano num cilindro, é necessário identificar o tipo de secção, para cilindros contidos em planos horizontais ou frontais. Se o plano secante é paralelo aos planos das bases, a figura de secção é uma circunferência. Para situações em que o plano secante não é paralelo aos planos das bases: Se o plano secante é paralelo ao eixo da superfície do cilindro e o plano secante é tangente à superfície ao longo de uma geratriz, a figura de secção é uma recta; Se o plano secante é paralelo ao eixo da superfície do cilindro e o plano secante secciona a superfície ao longo de duas geratrizes, a figura de secção é um paralelograma; Se o plano secante não é paralelo ao eixo da superfície do cilindro, a figura de secção é uma elipse.

13 Secção Plana de um Cilindro com Bases Horizontais por um Plano Secante Não Paralelo aos Planos das Bases, Paralelo ao Eixo da Superfície e Secciona a Superfície ao Longo de Duas Geratrizes Um sólido resultante da secção produzida por um plano vertical α num cilindro de revolução, com as bases contidas em planos horizontais ν e ν 1. x A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 (f ν ) O2O2 O1O1 O2O2 B2B2 A2A2 A 1 O 1 B 1 (f ν1 ) fαfα hαhα (g 1 ) g2g2 g2g2 C 1 C2C2 C2C2 D 1 D2D2 D2D2

14 Secção Plana de um Cilindro com Bases Frontais por um Plano Secante Não Paralelo aos Planos das Bases e Não Paralelo ao Eixo da Superfície Uma figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cilindro oblíquo, com as bases contidas em planos frontais φ e φ 1. x (h φ ) (h φ1 ) O2O2 O1O1 O2O2 O1O1 Embora também se possa utilizar o método dos planos paralelos à base para obter a elipse, o método das geratrizes é o mais indicado, implicando a obtenção de pontos de intersecção de várias geratizes do sólido com o plano secante. hαhα fαfα A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 M2M2 M1M1 C 1 C2C2 D 1 D2D2 g2g2 g2g2 g 1 E2E2 E1E1 F2F2 F 1 G2G2 G1G1 H2H2 H 1 I2I2 I1I1 J2J2 J 1 K2K2 K1K1 L2L2 L 1

15 GENERALIDADES – Secções sobre Esferas A figura de secção produzida por qualquer plano numa superfície esférica é sempre uma circunferência.

16 Secção Plana de uma Esfera por um Plano Secante Paralelo a um Plano de Projecção Uma figura de secção resultante da secção produzida por um plano frontal φ numa esfera, passando pelo ponto O, sendo assim o círculo máximo frontal da esfera. x O2O2 O1O1 (h φ )

17 GENERALIDADES – Secções Produzidas por Planos Não Projectantes Sobre Poliedros Para resolver situações de secções produzidas por planos não projectantes sobre poliedros, existem várias possibilidades, entre elas, destacam-se as seguintes: 1 – Mudança de diedro de projecção, transformando o plano secante em plano projectante, para depois aplicar o processo de secção igual a planos projectantes; 2 – Determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, através da intersecção de uma recta com um plano não projectante (método geral da intersecção de rectas com planos); 3 – Método misto, determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, e determinação das rectas de intersecção do plano secante com os planos que contém as faces do sólido.

18 (h φ1 ) (h φ ) x A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 C2C2 C1C1 D2D2 D1D1 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 C2C2 C1C1 D2D2 D1D1 (h ρ ) Secção Plana de um Prisma por Plano Secante Não Projectante Pretende-se uma figura da secção produzida por um plano de rampa ρ num prisma quadrangular oblíquo, com as bases contidas em planos frontais. (f ρ ) Neste caso, será utilizado o segundo método: determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, através da intersecção de uma recta com um plano não projectante (método geral da intersecção de rectas com planos). Primeiro há que determinar qual as arestas a serem cortadas. Como a recta de intersecção do plano ρ com o plano da base com maior afastamento (o plano φ 1 ) se situa no 2.º diedro, o plano secante não intersecta esta base. A seguir será determinada a recta de intersecção (recta i) do plano secante (o plano ρ) com o plano das base com menor afastamento, recorrendo a um plano auxiliar projectante (plano vertical α). I é o ponto de intersecção da recta i com o plano φ. A recta g é a recta de intersecção do plano ρ com o plano φ. Como a recta g é exterior à base com menor afastamento, o plano secante não corta a base com menor afastamento do sólido. Depois começa a determinação dos pontos da figura de secção. M é o ponto de intersecção da recta i com a aresta [AA], sendo o ponto de intersecção da aresta com o plano secante, sendo um ponto da figura da secção. A seguir, serão determinados sucessivamente os pontos de intersecção das arestas laterais com o plano secante. hαhα fαfα F2F2 F1F1 H2H2 H1H1 i 1 i2i2 M2M2 M1M1 hα1hα1 fα1fα1 N2N2 N1N1 hα2hα2 fα2fα2 O2O2 O1O1 hα3hα3 P2P2 P1P1 I2I2 I 1 g 1 g2g2

19 GENERALIDADES – Secções Produzidas por Planos Não Projectantes Sobre Cones e Cilindros Para resolver situações de secções produzidas por planos não projectantes sobre cones e cilindros, é necessário um processo muito complexo, quer em termos de raciocínio, quer em termos de traçados. As etapas desse processo são as seguintes: 1 – Identificar o tipo de figura de secção; 2 – Verificar se o plano secante corta as bases; 3 – Determinar os pontos em que o plano secante corta as linhas que intersectam o contorno aparente; 4 – Determinar os pontos de maior e de menor cota da secção; 5 - Determinar os pontos de maior e de menor afastamento da secção; 6 – Determinar mais dois pontos, através do método dos planos paralelos à base.

20 Secção Plana de um Cone por Plano Secante Não Projectante Pretende-se um sólido resultante da secção produzida por um plano oblíquo α num cone de revolução, situado no 1.º diedro e com base no Plano Horizontal de Projecção. 1 - Identificar o tipo de figura de secção. Um plano auxiliar de topo θ 1, paralelo ao plano θ e que contém o vértice. A recta r é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é exterior à base, sendo a figura de secção uma elipse. 2 – Verificar se o plano secante corta as bases. h α é a recta de intersecção do plano secante com o plano da base e é exterior à base, pelo que o plano secante não corta a base do cone. 3 – Determinar os pontos em que o plano secante corta as linhas que intersectam o contorno aparente. O plano φ é um plano auxiliar, que contém as duas geratrizes do contorno aparente frontal. A recta i é a recta de intersecção do plano φ com o plano secante. A e B são os pontos de intersecção das geratrizes do contorno aparente frontal com o plano secante. 4 – Determinar os pontos de maior e de menor cota da secção. Para tal, determinar os planos tangentes (θ 1 e θ 2 ) do cone que intersectam o plano secante, via rectas horizontais. A recta h é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. As rectas t e t são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante. C é o ponto de maior cota e D de menor cota da secção. x O2O2 O1O1 V2V2 V 1 fαfα hαhα fα1fα1 hα1hα1 (h φ ) i 1 H2H2 H1H1 i2i2 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 g 1 g2g2 g2g2 h1h1 F2F2 F1F1 h2h2 hθ1hθ1 hθ2hθ2 fθ1fθ1 fθ2fθ2 F2F2 F1F1 F2F2 F1F1 t1t1 t2t2 t1t1 t2t2 C2C2 C1C1 D2D2 D1D1 f 1 f 2 H2H2 H1H1 hθ3hθ3 hθ4hθ4 g1g1 g1g1 g 2 s1s1 H2H2 H1H1 s2s2 s1s1 H2H2 H1H1 s2s2 E2E2 E1E1 F2F2 F1F1 (f ν ) i 2 F2F2 F1F1 i1i1 G2G2 G1G1 H2H2 H1H1 5 - Determinar os pontos de maior e de menor afastamento da secção. Para tal, determinar os planos tangentes (θ 3 e θ 4 ) do cone que intersectam o plano secante, via rectas frontais. A recta f é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. As rectas s e s são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante. E é o ponto de menor afastamento e F de maior afastamento da secção. 6 – Determinar mais dois pontos, através do método dos planos paralelos à base. O plano ν é o plano horizontal paralelo à base. A recta i é a recta de intersecção entre os planos ν e α. G e H são mais dois pontos.


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