GEOMETRIA DESCRITIVA A

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano Sólidos III e Secções - Resumo © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES – Sólidos III
Para os sólidos com as bases contidas em planos oblíquos, planos de rampa ou planos passantes, um processo de resolução passa pelas seguintes acções: 1. Determinar as projecções da base, recorrendo ao rebatimento do plano que contém a base, para construir em V.G. a base, para depois inverter o rebatimento para obter as projecções; 2. Obter a altura do sólido, recorrendo a uma recta ortogonal ao plano da base, que será o eixo do sólido, rebater o eixo (via plano projectante) para obter a V.G. da altura, para depois inverter o rebatimento para obter as projecções; 3. Construir o sólido, a partir das projecções de todos os vértices, determinando a visibilidade, com os vértices com menor afastamento a estarem menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem, e os vértices com menor cota a estarem menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem.

3 Projecção de uma Pirâmide com Base Contida em Plano Oblíquo
São dados dois pontos, A (4; 0) e B (0; 3), contidos num plano oblíquo α. O traço horizontal do plano α faz um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x, enquanto o traço frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. Os pontos A e B são dois vértices consecutivos de um quadrado [ABCD] e a base de uma pirâmide quadrangular regular, com 7 cm de altura e situada no 1.º diedro. Desenha as projecções da pirâmide. Determinar as projecções do quadrado, recorrendo do rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção, com hα como charneira, para obter a V.G.; e depois inverter o rebatimento, através de rectas frontais. Localizar o ponto O. fα f2 f’2 p2 ≡ fδ V2 C2 C1 B2 B1 O2 O1 D2 D1 Construir a pirâmide, com uma recta ortogonal p ao plano α, que será o eixo da pirâmide. O ponto V é o vértice da pirâmide. Para obter a V.G. do segmento de recta [OV], rebater um plano projectante (plano de topo δ) que contém a recta p, com hδ como charneira, rebatendo a própria recta p. (e’2) ≡ H’’2 A2 A1 H2 Hr≡ H1 x ≡ e2 ≡ fδr H’2 H’r ≡ H’1 H’’r≡ H’’1 f1 Or Br ≡ Ar Vr V1 pr f’1 Cr Invertendo o rebatimento do plano δ, obtêm-se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta p, permitindo a construção da pirâmide. Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem. p1 Dr fr hδ ≡ e’1 ≡ hδr fαr f’r hα ≡ e1 ≡ hαr Desenho à escala de 1:2.

4 FIGURA DA SECÇÃO E O SÓLIDO TRUNCADO
Em baixo à esquerda, a figura da secção é a figura plana resultante da secção produzida no sólido pelo plano secante, com o sólido a permanecer indiviso. Em baixo à direita, o sólido truncado é um sólido, parte do sólido dado, compreendido entre o plano secante (a figura da secção) e a base ou o vértice. V V D’ A’ C’ D’ B’ A’ C’ D’ D A’ A C B’ C’ D B A C B’ B

5 SECÇÕES PLANAS PRODUZIDAS POR PLANOS PARALELOS AOS PLANOS DA BASE
A secção produz um polígono semelhante ao polígono da base. V D’ ν1 A’ C’ B’ D ν A C B

6 Secção Plana de uma Pirâmide com Base Horizontal
Um sólido resultante da secção produzida por um plano horizontal ν numa pirâmide pentagonal regular, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção. V2 (fν) M2 M1 Q2 Q1 N2 N1 P2 P1 O2 O1 A2 A1 E2 E1 B2 B1 D2 D1 C2 C1 x K2 K1 ≡ V1

7 GENERALIDADES – Cones Antes de determinar a figura da secção produzida por um plano num cone, é necessário identificar o tipo de secção. Para cones contidos em planos horizontais ou frontais, se o plano secante é paralelo à base do cone, a figura de secção é uma circunferência. O processo de identificação do tipo de secção produzida passa pelos seguintes passos, se o plano secante conter o vértice de superfície: 1 – Determinar a recta de intersecção do plano secante com o plano da base do cone; 2 – Analisar a posição da recta de intersecção em relação à base do cone; a) – se a recta de intersecção é exterior à base, a figura da secção é um ponto; b) - se a recta de intersecção é tangente à base, a figura da secção é uma recta; c) - se a recta de intersecção é secante à base, a figura da secção é um triângulo. O processo de identificação do tipo de secção produzida passa pelos seguintes passos, se o plano secante não conter o vértice de superfície: 1 – Conduzir pelo vértice do cone, um plano paralelo ao plano secante; 2 – Determinar a recta de intersecção do plano paralelo com o plano da base do cone; 3 – Analisar a posição da recta de intersecção em relação à base do cone; a) – se a recta de intersecção é exterior à base, a figura da secção é uma elipse; b) - se a recta de intersecção é tangente à base, a figura da secção é uma parábola; c) - se a recta de intersecção é secante à base, a figura da secção é uma hipérbole.

8 Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano Secante que Contém o Vértice de Superfície com a Recta de Intersecção Secante à Base Um sólido resultante da secção produzida por um plano de topo δ num cone oblíquo, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção.. fδ V2 V1 A2 A1 O2 O1 B2 B1 x C2 ≡ D2 C1 O hδ é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base do cone. A recta é secante à base. O triângulo [CDV] é a figura de secção. D1 hδ

9 Secção Plana de um Cone com Base Frontal por um Plano Secante que Não Contém o Vértice de Superfície com a Recta de Intersecção Exterior à Base Pretende-se as projecções da figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cone de revolução, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Frontal de Projecção. fα fθ Um plano auxiliar vertical θ, paralelo ao plano α e que contém o vértice, produz fθ que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é exterior à base, sendo a figura de secção uma elipse. i’’2 i’2 i2 E2 I2 G2 A2 A1 S2 S1 C2 C1 O2 O1 ≡ V2 ≡ Q2 B2 B1 D2 D1 R2 R1 T2 T1 M2 J2 H2 F2 x Utilizar o método dos planos paralelos à base para obter a elipse: 1 – Plano auxiliar paralelo ao plano da base; 2 – A figura de secção (circunferência) do plano auxiliar sobre superfície lateral do sólido; 3 – Recta de intersecção entre plano secante e plano auxiliar; 4 – Pontos de intersecção da recta de intersecção com a circunferência. (hφ1) Q1 (i’1) ≡ G1 ≡ H1 (hφ) (i1) ≡ E1 ≡ F1 ≡ M1 (hφ2) (i’’1) ≡ I1 ≡ J1 A seguir, construir o eixo menor da elipse, com o ponto M a ser o ponto de concorrência dos dois eixos da elipse. Depois é obtido mais quatro pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os oito pontos é possível construir a elipse. hα hθ V1

10 Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano Secante que Não Contém o Vértice de Superfície com a Recta de Intersecção Tangente à Base Pretende-se as projecções do sólido resultante da secção produzida por um plano de topo θ num cone oblíquo, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção. fθ1 V2 V1 fθ Um plano auxiliar vertical θ1, paralelo ao plano secante θ e que contém o vértice, produz fθ1 que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é tangente à base, sendo a figura de secção uma parábola. g2 E2 E1 (fν1) S2 S1 ≡ I2 Q’2 Q’1 R2 R1 (i’2) ≡ H2 Q2 Q1 (fν) T2 T1 A2 A1 (i2) ≡ F2 ≡ G2 (fν2) O2 O1 B2 B1 (i’’2) ≡ J2 ≡ K2 Q’’2 Q’’1 x C2 ≡ D2 C1 J1 F1 Para obter a parábola, primeiro determinar os pontos da figura de secção: C, D e E. Depois é obtido mais seis pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os nove pontos é possível construir a parábola. H1 g1 I1 G1 K1 D1 hθ hθ1 i’1 i1 i’’1

11 Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano Secante que Não Contém o Vértice de Superfície com a Recta de Intersecção Secante à Base Pretende-se as projecções da figura da secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cone de revolução (limitado por uma única folha), situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção. Um plano auxiliar vertical α1, paralelo ao plano α e que contém o vértice, produz hα que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é secante à base, sendo a figura de secção uma hipérbole. V2 fα fα1 F2 F1 g2 E2 E1 Para obter a hipérbole, primeiro determinar os pontos da figura de secção: C e D. O ponto E é o ponto que o plano secante corta a geratriz mais á direita do contorno aparente frontal do cone. Para determinar o espaço útil para os planos auxiliares, é necessário determinar o ponto de maior cota da secção (o ponto F), através de ponto T e recta tangente à base (recta t) e da geratriz que contém o ponto T. No espaço útil entre os pontos F, C e D, será obtido mais seis pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os nove pontos é possível construir a parábola. A2 A1 C2 C1 O2 O1 D2 D1 B2 B1 x ≡ t2 T2 T1 ≡ V1 hα1 hα g1 t1

12 GENERALIDADES – Cilindros
Antes de determinar a figura da secção produzida por um plano num cilindro, é necessário identificar o tipo de secção, para cilindros contidos em planos horizontais ou frontais. Se o plano secante é paralelo aos planos das bases, a figura de secção é uma circunferência. Para situações em que o plano secante não é paralelo aos planos das bases: Se o plano secante é paralelo ao eixo da superfície do cilindro e o plano secante é tangente à superfície ao longo de uma geratriz, a figura de secção é uma recta; Se o plano secante é paralelo ao eixo da superfície do cilindro e o plano secante secciona a superfície ao longo de duas geratrizes, a figura de secção é um paralelograma; Se o plano secante não é paralelo ao eixo da superfície do cilindro, a figura de secção é uma elipse.

13 Secção Plana de um Cilindro com Bases Horizontais por um Plano Secante Não Paralelo aos Planos das Bases, Paralelo ao Eixo da Superfície e Secciona a Superfície ao Longo de Duas Geratrizes Um sólido resultante da secção produzida por um plano vertical α num cilindro de revolução, com as bases contidas em planos horizontais ν e ν1. fα g2 g’2 (fν1) A’2 C’2 O’2 D’2 B’2 (fν) A2 A1 C2 O2 O1 D2 B2 B1 x (g1) ≡ C1 ≡ C’1 ≡ A’1 ≡ O’1 ≡ B’1 (g’1) ≡ D1 ≡ D’1 hα

14 Secção Plana de um Cilindro com Bases Frontais por um Plano Secante Não Paralelo aos Planos das Bases e Não Paralelo ao Eixo da Superfície Uma figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cilindro oblíquo, com as bases contidas em planos frontais φ e φ1. fα D2 H2 L2 Embora também se possa utilizar o método dos planos paralelos à base para obter a elipse, o método das geratrizes é o mais indicado, implicando a obtenção de pontos de intersecção de várias geratizes do sólido com o plano secante. g’2 F2 J2 A2 A1 O2 O1 M2 M1 O’2 O’1 B2 B1 g2 E2 E1 I2 I1 G2 G1 C2 K2 K1 x (hφ) ≡ F1 ≡ H1 ≡ C1 ≡ D1 ≡ L1 ≡ J1 hα (hφ1) g1 ≡ g’1

15 GENERALIDADES – Secções sobre Esferas
A figura de secção produzida por qualquer plano numa superfície esférica é sempre uma circunferência.

16 Secção Plana de uma Esfera por um Plano Secante Paralelo a um Plano de Projecção
Uma figura de secção resultante da secção produzida por um plano frontal φ numa esfera, passando pelo ponto O, sendo assim o círculo máximo frontal da esfera. O2 O1 x (hφ)

17 GENERALIDADES – Secções Produzidas por Planos Não Projectantes Sobre Poliedros
Para resolver situações de secções produzidas por planos não projectantes sobre poliedros, existem várias possibilidades, entre elas, destacam-se as seguintes: 1 – Mudança de diedro de projecção, transformando o plano secante em plano projectante, para depois aplicar o processo de secção igual a planos projectantes; 2 – Determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, através da intersecção de uma recta com um plano não projectante (método geral da intersecção de rectas com planos); 3 – Método misto, determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, e determinação das rectas de intersecção do plano secante com os planos que contém as faces do sólido.

18 Secção Plana de um Prisma por Plano Secante Não Projectante
Pretende-se uma figura da secção produzida por um plano de rampa ρ num prisma quadrangular oblíquo, com as bases contidas em planos frontais. fα fα1 fα2 Neste caso, será utilizado o segundo método: determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, através da intersecção de uma recta com um plano não projectante (método geral da intersecção de rectas com planos). Primeiro há que determinar qual as arestas a serem cortadas. Como a recta de intersecção do plano ρ com o plano da base com maior afastamento (o plano φ1) se situa no 2.º diedro, o plano secante não intersecta esta base. A seguir será determinada a recta de intersecção (recta i) do plano secante (o plano ρ) com o plano das base com menor afastamento, recorrendo a um plano auxiliar projectante (plano vertical α). I é o ponto de intersecção da recta i com o plano φ. A recta g é a recta de intersecção do plano ρ com o plano φ. Como a recta g é exterior à base com menor afastamento, o plano secante não corta a base com menor afastamento do sólido. Depois começa a determinação dos pontos da figura de secção. M é o ponto de intersecção da recta i com a aresta [AA’], sendo o ponto de intersecção da aresta com o plano secante, sendo um ponto da figura da secção. A seguir, serão determinados sucessivamente os pontos de intersecção das arestas laterais com o plano secante. (fρ ) F2 F1 g2 I2 ≡ I1 B2 B1 N2 N1 B’2 B’1 i2 A2 A1 M2 M1 A’2 A’1 D2 D1 P2 P1 D’2 D’1 C2 C1 H2 H1 O2 O1 C’2 C’1 x (hφ) ≡ g1 (hρ ) (hφ1) hα ≡ i1 hα1 hα2 hα3

19 GENERALIDADES – Secções Produzidas por Planos Não Projectantes Sobre Cones e Cilindros
Para resolver situações de secções produzidas por planos não projectantes sobre cones e cilindros, é necessário um processo muito complexo, quer em termos de raciocínio, quer em termos de traçados. As etapas desse processo são as seguintes: 1 – Identificar o tipo de figura de secção; 2 – Verificar se o plano secante corta as bases; 3 – Determinar os pontos em que o plano secante corta as linhas que intersectam o contorno aparente; 4 – Determinar os pontos de maior e de menor cota da secção; 5 - Determinar os pontos de maior e de menor afastamento da secção; 6 – Determinar mais dois pontos, através do método dos planos paralelos à base.

20 Secção Plana de um Cone por Plano Secante Não Projectante
Pretende-se um sólido resultante da secção produzida por um plano oblíquo α num cone de revolução, situado no 1.º diedro e com base no Plano Horizontal de Projecção. 1 - Identificar o tipo de figura de secção. Um plano auxiliar de topo θ1, paralelo ao plano θ e que contém o vértice. A recta r é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é exterior à base, sendo a figura de secção uma elipse. 5 - Determinar os pontos de maior e de menor afastamento da secção. Para tal, determinar os planos tangentes (θ3 e θ4) do cone que intersectam o plano secante, via rectas frontais. A recta f é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. As rectas s e s’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante. E é o ponto de menor afastamento e F de maior afastamento da secção. fα1 ≡ f2 fα fθ1 fθ2 h2 V2 2 – Verificar se o plano secante corta as bases. hα é a recta de intersecção do plano secante com o plano da base e é exterior à base, pelo que o plano secante não corta a base do cone. F2 F1 i2 s2 s’2 t’2 F’’2 F’’1 A2 A1 C2 C1 F2 F1 g’2 3 – Determinar os pontos em que o plano secante corta as linhas que intersectam o contorno aparente. O plano φ é um plano auxiliar, que contém as duas geratrizes do contorno aparente frontal. A recta i é a recta de intersecção do plano φ com o plano secante. A e B são os pontos de intersecção das geratrizes do contorno aparente frontal com o plano secante. (fν) ≡ i’2 G2 G1 H2 H1 F’’’2 F’’’1 g2 g’’2 ≡ g’’’2 B2 B1 E2 E1 F’2 F’1 t2 D2 D1 hθ4 O2 O1 x H’’2 H’’1 H2 H1 H’’’2 H’’’1 H’2 H’1 g’’’1 s’1 hθ2 4 – Determinar os pontos de maior e de menor cota da secção. Para tal, determinar os planos tangentes (θ1 e θ2) do cone que intersectam o plano secante, via rectas horizontais. A recta h é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante. C é o ponto de maior cota e D de menor cota da secção. (hφ) ≡ i1 ≡ f1 ≡ V1 g1 ≡ g’1 t’1 g’’1 s1 h1 i’1 6 – Determinar mais dois pontos, através do método dos planos paralelos à base. O plano ν é o plano horizontal paralelo à base. A recta i’ é a recta de intersecção entre os planos ν e α. G e H são mais dois pontos. t1 hα hθ3 hθ1 hα1