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GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Distância entre um Ponto e um Plano © antónio de campos, 2010.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Distância entre um Ponto e um Plano © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES A distância de um ponto a um plano é medida numa recta ortogonal ao plano que passa pelo ponto, sendo o comprimento do segmento de recta que tem um extremo no ponto dado e o outro extremo no plano (no ponto de intersecção da recta com o plano). A p d I α

3 Distância entre um Ponto e um Plano Projectante Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto M e o plano α. x Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por M. fαfα hαhα M1M1 M2M2 É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α, a partir do cruzamento das projecções horizontais da recta com o plano, tendo em conta que o plano α é projectante horizontal. p2p2 p1p1 I1I1 I2I2 A distância de M a I é a distância do ponto M ao plano α. O segmento de recta [MI] é um segmento de recta horizontal, pelo que a V.G. de MI está na projecção horizontal de MI, M 1 I 1. V.G.

4 São dados um plano de topo θ e um ponto A (-2; 3; 2). O plano θ corta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa e faz um diedro de 60º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano θ. x A1A1 A2A2 y z fθfθ hθhθ p2p2 p1p1 Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano θ, a recta p, passando por A. É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano θ, a partir do cruzamento das projecções frontais da recta com o plano, tendo em conta que o plano θ é projectante frontal. A distância de A a I é a distância do ponto A ao plano θ. O segmento de recta [AI] é um segmento de recta frontal, pelo que a V.G. de AI está na projecção frontal de AI, A 2 I 2. I1I1 I2I2 V.G.

5 São dados um plano horizontal υ e um ponto A (3; 5). O plano υ tem 2 cm de cota. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano υ. x (f υ ) A1A1 A2A2 Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano υ, a recta p, passando por A. É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano υ, a partir do cruzamento das projecções frontais da recta com o plano, tendo em conta que o plano υ é projectante frontal. A distância de A a I é a distância do ponto A ao plano υ. O segmento de recta [AI] é um segmento de recta vertical, pelo que a V.G. de AI está na projecção frontal de AI, A 2 I 2. p2p2 (p 1 ) I2I2 I 1 V.G.

6 São dados um plano frontal φ e um ponto T (2; 4). O plano φ tem 5 cm de afastamento. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto T e o plano φ. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano φ, a recta p, passando por T. x (h φ ) T1T1 T2T2 p1p1 (p 2 ) É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano φ, a partir do cruzamento das projecções horizontais da recta com o plano, tendo em conta que o plano φ é projectante horizontal. I1I1 I 2 V.G. A distância de T a I é a distância do ponto T ao plano φ. O segmento de recta [TI] é um segmento de recta de topo, pelo que a V.G. de TI está na projecção horizontal de TI, T 1 I 1.

7 Distância entre um Ponto e um Plano Oblíquo Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano α. x A1A1 A2A2 fαfα hαhα p2p2 p1p1 Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por A. É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α; utilizando um plano auxiliar θ, (plano vertical neste caso, plano projectante horizontal da recta p), e através da recta de intersecção dos dois planos, a recta i. F1F1 F2F2 H1H1 H2H2 fθfθ h θ i 1 i2i2 I1I1 I2I2 A distância de A a I é a distância do ponto A ao plano α. O segmento de recta [AI] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de MI tem que ser obtida pelo processo de rebatimento. e 2 (h φ ) e 1 ArAr I r V.G.

8 São dados um plano oblíquo γ e um ponto M (0; 4; 5). O plano γ é ortogonal ao β 1,3 e corta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 40º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto M e o plano γ. x y z M1M1 M2M2 fγfγ hγhγ Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano γ, a recta p, passando por M. p1p1 p2p2 É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano γ; utilizando um plano auxiliar α (plano vertical neste caso, plano projectante horizontal da recta p), e através da recta de intersecção dos dois planos, a recta i. h α H1H1 H2H2 fαfα F1F1 F2F2 i2i2 i 1 I1I1 I2I2 A distância de M a I é a distância do ponto M ao plano γ. O segmento de recta [MI] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de MI tem que ser obtida pelo processo de rebatimento. (f υ ) e 2 e 1 I r MrMr V.G.

9 São dados um plano oblíquo α e um ponto P (0; 5; 4). O plano α corta o eixo x num ponto com -2 cm de abcissa, o seu traço horizontal faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x e o seu traço frontal faz um ângulo de 50º (a.e.) com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e o plano α. x y z P1P1 P2P2 fαfα hαhα Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por P. p1p1 É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α; utilizando um plano auxiliar α (plano de topo neste caso, plano projectante frontal da recta p), e através da recta de intersecção dos dois planos, a recta i. H1H1 H2H2 p2p2 f θ hθhθ F1F1 F2F2 i 2 i1i1 I1I1 I2I2 A distância de P a I é a distância do ponto P ao plano α. O segmento de recta [PI] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de PI tem que ser obtida pelo processo de rebatimento. (h φ ) e 1 e 2 I r PrPr V.G.

10 Distância entre um Ponto e um Plano de Rampa Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano ρ. x A1A1 A2A2 fρfρ hρhρ Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano ρ, a recta p (uma recta de perfil), passando por A. p1 p 2 f π h π F2F2 H2H2 F 1 H1H1 i 1 i 2 e 1 (e 2 ) h πr f πr FrFr H r irir ArAr prpr IrIr Invertendo o rebatimento do plano π, obtêm-se as projecções do ponto I e do segmento de recta [AI]. É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano ρ; utilizando um plano auxiliar π, (plano de perfil), e a recta de intersecção dos dois planos, a recta i. Para se determinar a recta i e o ponto I é necessário recorrer ao processo de rebatimento. A r I r é a V.G. da distância entre A e I, a distância do ponto A ao plano ρ. V.G. I1I1 I2I2

11 São dados um plano de rampa ρ e um ponto A (4; 4). O traço horizontal do plano ρ tem 5 cm de afastamento, e o traço frontal tem 3 cm de cota. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano ρ. x fρfρ hρhρ A1A1 A2A2 Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano ρ, a recta p (uma recta de perfil), passando por A. p1 p 2 É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano ρ; utilizando um plano auxiliar π, (plano de perfil), e a recta de intersecção dos dois planos, a recta i. Para se determinar a recta i e o ponto I é necessário recorrer ao processo de rebatimento. A r I r é a V.G. da distância entre A e I, a distância do ponto A ao plano ρ. f π h π i 1 i 2 e 2 f πr h πr F2F2 Invertendo o rebatimento do plano π, obtêm-se as projecções do ponto I e do segmento de recta [AI]. H1H1 H2H2 F 1 (e 1 ) ArAr F r HrHr irir prpr IrIr V.G. I1I1 I2I2


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