GEOMETRIA DESCRITIVA A

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano Problemas Métricos Distância entre um Ponto e um Plano © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES A distância de um ponto a um plano é medida numa recta ortogonal ao plano que passa pelo ponto, sendo o comprimento do segmento de recta que tem um extremo no ponto dado e o outro extremo no plano (no ponto de intersecção da recta com o plano). p A d α I

3 Distância entre um Ponto e um Plano Projectante
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto M e o plano α. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por M. fα É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α, a partir do cruzamento das projecções horizontais da recta com o plano, tendo em conta que o plano α é projectante horizontal. p2 M1 M2 I1 I2 x V.G. A distância de M a I é a distância do ponto M ao plano α. O segmento de recta [MI] é um segmento de recta horizontal, pelo que a V.G. de MI está na projecção horizontal de MI, M1I1. p1 hα

4 São dados um plano de topo θ e um ponto A (-2; 3; 2)
São dados um plano de topo θ e um ponto A (-2; 3; 2). O plano θ corta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa e faz um diedro de 60º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano θ. y ≡ z p2 Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano θ, a recta p, passando por A. fθ I1 I2 V.G. A1 A2 É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano θ, a partir do cruzamento das projecções frontais da recta com o plano, tendo em conta que o plano θ é projectante frontal. x p1 A distância de A a I é a distância do ponto A ao plano θ. O segmento de recta [AI] é um segmento de recta frontal, pelo que a V.G. de AI está na projecção frontal de AI, A2I2. hθ

5 São dados um plano horizontal υ e um ponto A (3; 5)
São dados um plano horizontal υ e um ponto A (3; 5). O plano υ tem 2 cm de cota. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano υ. p2 Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano υ, a recta p, passando por A. A1 A2 V.G. (fυ) I2 É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano υ, a partir do cruzamento das projecções frontais da recta com o plano, tendo em conta que o plano υ é projectante frontal. x ≡ (p1) ≡ I1 A distância de A a I é a distância do ponto A ao plano υ. O segmento de recta [AI] é um segmento de recta vertical, pelo que a V.G. de AI está na projecção frontal de AI, A2I2.

6 São dados um plano frontal φ e um ponto T (2; 4)
São dados um plano frontal φ e um ponto T (2; 4). O plano φ tem 5 cm de afastamento. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto T e o plano φ. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano φ, a recta p, passando por T. T1 T2 ≡ (p2) ≡ I2 É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano φ, a partir do cruzamento das projecções horizontais da recta com o plano, tendo em conta que o plano φ é projectante horizontal. x A distância de T a I é a distância do ponto T ao plano φ. O segmento de recta [TI] é um segmento de recta de topo, pelo que a V.G. de TI está na projecção horizontal de TI, T1I1. V.G. I1 (hφ) p1

7 Distância entre um Ponto e um Plano Oblíquo
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano α. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por A. Ar fθ p2 ≡ e2 fα V.G. A1 A2 i2 É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α; utilizando um plano auxiliar θ, (plano vertical neste caso, plano projectante horizontal da recta p), e através da recta de intersecção dos dois planos, a recta i. F1 F2 I1 I2 ≡ Ir x H1 H2 (hφ) ≡ e1 A distância de A a I é a distância do ponto A ao plano α. O segmento de recta [AI] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de MI tem que ser obtida pelo processo de rebatimento. p1 ≡ hθ ≡ i1 hα

8 São dados um plano oblíquo γ e um ponto M (0; 4; 5)
São dados um plano oblíquo γ e um ponto M (0; 4; 5). O plano γ é ortogonal ao β1,3 e corta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 40º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto M e o plano γ. p2 y ≡ z Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano γ, a recta p, passando por M. M1 M2 fα fγ F1 F2 i2 É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano γ; utilizando um plano auxiliar α (plano vertical neste caso, plano projectante horizontal da recta p), e através da recta de intersecção dos dois planos, a recta i. (fυ) ≡ e2 I1 I2 H1 H2 x ≡ Ir V.G. Mr A distância de M a I é a distância do ponto M ao plano γ. O segmento de recta [MI] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de MI tem que ser obtida pelo processo de rebatimento. hγ p1 ≡ hα ≡ i1 ≡ e1

9 São dados um plano oblíquo α e um ponto P (0; 5; 4)
São dados um plano oblíquo α e um ponto P (0; 5; 4). O plano α corta o eixo x num ponto com -2 cm de abcissa, o seu traço horizontal faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x e o seu traço frontal faz um ângulo de 50º (a.e.) com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e o plano α. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por P. Pr V.G. y ≡ z p2 ≡ fθ ≡ i2 ≡ e2 fα I1 I2 ≡ Ir H1 H2 É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α; utilizando um plano auxiliar α (plano de topo neste caso, plano projectante frontal da recta p), e através da recta de intersecção dos dois planos, a recta i. P1 P2 F1 F2 i1 x (hφ) ≡ e1 hα A distância de P a I é a distância do ponto P ao plano α. O segmento de recta [PI] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de PI tem que ser obtida pelo processo de rebatimento. hθ p1

10 Distância entre um Ponto e um Plano de Rampa
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano ρ. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano ρ, a recta p (uma recta de perfil), passando por A. p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e1 ≡ hπr É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano ρ; utilizando um plano auxiliar π, (plano de perfil), e a recta de intersecção dos dois planos, a recta i. Para se determinar a recta i e o ponto I é necessário recorrer ao processo de rebatimento. ArIr é a V.G. da distância entre A e I, a distância do ponto A ao plano ρ. fρ F2 ir A1 A2 I2 H2 ≡ F1 ≡ (e2) x ≡ fπr Fr I1 Ir hρ H1 ≡ Hr V.G. Invertendo o rebatimento do plano π, obtêm-se as projecções do ponto I e do segmento de recta [AI]. Ar pr

11 São dados um plano de rampa ρ e um ponto A (4; 4)
São dados um plano de rampa ρ e um ponto A (4; 4). O traço horizontal do plano ρ tem 5 cm de afastamento, e o traço frontal tem 3 cm de cota. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano ρ. p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e2 ≡ fπr pr Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano ρ, a recta p (uma recta de perfil), passando por A. A1 A2 Ar fρ F2 ≡ Fr V.G. I2 Ir É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano ρ; utilizando um plano auxiliar π, (plano de perfil), e a recta de intersecção dos dois planos, a recta i. Para se determinar a recta i e o ponto I é necessário recorrer ao processo de rebatimento. ArIr é a V.G. da distância entre A e I, a distância do ponto A ao plano ρ. H2 ≡ F1 ≡ (e1) x ≡ hπr Hr ir I1 hρ H1 Invertendo o rebatimento do plano π, obtêm-se as projecções do ponto I e do segmento de recta [AI].