GEOMETRIA DESCRITIVA A

Apresentação em tema: "GEOMETRIA DESCRITIVA A"— Transcrição da apresentação:

1 GEOMETRIA DESCRITIVA A
10.º Ano Intersecções – Planos com Bissectores © antónio de campos, 2010

2 INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β1,3
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano θ com o β1,3. O plano θ é definido por duas rectas paralelas. r2 i2 s2 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β1,3. Os traços das duas rectas situados no β1,3, Q e Q’, são dois pontos que pertencem aos dois planos. Q2 Q1 Q’2 Q’1 x s1 r1 i1

3 INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β2,4
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano θ com o β2,4. O plano θ é definido por duas rectas paralelas. r2 s2 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β2,4. Os traços das duas rectas situados no β1,3, I e I’, são dois pontos que pertencem aos dois planos. i1 ≡ i2 x I1 ≡ I2 I’1 ≡ I’2 s1 r1

4 Um plano θ está definido por duas rectas, h e f, concorrentes no ponto P do 1.º Diedro. A recta h é horizontal, tem 3 cm de cota e faz um ângulo de 40º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. A recta f é frontal, tem 4 cm de afastamento e faz um ângulo de 55º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções das rectas de intersecção i e i’, rectas de intersecção do plano θ com o β1,3 e com o β2,4, respectivamente. Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β1,3. Os traços das duas rectas situados no β1,3, Q e Q’, são dois pontos que pertencem aos dois planos. Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β2,4. Os traços das duas rectas situados no β1,3, I e I’, são dois pontos que pertencem aos dois planos. f2 i’1 ≡ i’2 i2 Q’2 Q’1 h2 Q2 Q1 I1 ≡ I2 P2 P1 x I’1 ≡ I’2 i1 f1 h1

5 Um plano α está definido por duas rectas oblíquas e paralelas, r e s
Um plano α está definido por duas rectas oblíquas e paralelas, r e s. A recta r contém os pontos A (2; 2; 3) e B (0; -1; 4). A recta s contém o ponto C (0; 3; 1). Determina as projecções das rectas de intersecção i e i’, rectas de intersecção do plano θ com o β1,3 e com o β2,4, respectivamente. Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β2,4. Os traços das duas rectas situados no β1,3, I e I’, são dois pontos que pertencem aos dois planos. Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β1,3. Como o plano θ intersecta o eixo x e as duas rectas de intersecção são concorrentes no eixo x, basta encontrar um outro ponto. O traço da recta r situado no β1,3, Q, é um ponto que pertence aos dois planos. i’1 ≡ i’2 r2 y ≡ z I1 ≡ I2 s2 i2 B2 B1 I’1 ≡ I’2 A2 A1 Q2 Q1 ≡ C2 x i1 C1 r1 s1

6 INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β1,3
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β1,3. O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A. fα Para definir a recta de intersecção do plano α com o β1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β1,3. Como o β1,3 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α, é possível obter o traço da recta no β1,3, o ponto Q, que será o outro ponto da recta de intersecção. i2 h2 F2 F1 Q2 Q1 A1 ≡ A2 x i1 hα h1

7 INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β2,4
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β2,4. O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A. r2 Para definir a recta de intersecção do plano α com o β2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β2,4. Como o β2,4 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α, é possível obter o traço da recta no β2,4, o ponto I, que será o outro ponto da recta de intersecção. F2 F1 fα A1 ≡ A2 x H2 H1 I1 ≡ I2 r1 hα i1 ≡ i2

8 Um plano oblíquo θ é definido pelo seu traço horizontal que faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x, e o seu traço frontal que faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções das rectas de intersecção i e i’, rectas de intersecção do plano θ com o β1,3 e com o β2,4, respectivamente. Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β1,3. Como o β1,3 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano θ, é possível obter o traço da recta no β1,3, o ponto Q, que será o outro ponto da recta de intersecção. fθ f2 i2 Q2 Q1 A1 ≡ A2 H2 H1 x I1 ≡ I2 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β2,4. Como o β2,4 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano θ, é possível obter o traço da recta no β2,4, o ponto I, que será o outro ponto da recta de intersecção. f1 i1 hθ i’1 ≡ i’2

9 Um plano oblíquo γ é definido pelo seu traço horizontal que faz um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x, e o seu traço frontal que faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções das rectas de intersecção i e i’, rectas de intersecção do plano γ com o β1,3 e com o β2,4, respectivamente. Para definir a recta de intersecção do plano γ com o β1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano γ e ao β1,3. Como o β1,3 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano γ, é possível obter o traço da recta no β1,3, o ponto Q, que será o outro ponto da recta de intersecção. i2 fγ i’1 ≡ i’2 h2 Q2 Q1 F2 F1 I1 ≡ I2 A1 ≡ A2 x Para definir a recta de intersecção do plano γ com o β2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano γ e ao β2,4. Como o β2,4 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano γ, é possível obter o traço da recta no β2,4, o ponto I, que será o outro ponto da recta de intersecção. h1 hγ i1

10 INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA (definido pelos seus traços) COM O β1,3
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de rampa ρ com o β1,3. A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector. Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β1,3, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β1,3. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β1,3, o ponto Q, que será um ponto da recta de intersecção. r2 fρ F2 F1 i2 Q2 Q1 H2 H1 x i1 hρ r1

11 INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA (definido pelos seus traços) COM O β2,4
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de rampa ρ com o β2,4. i1 ≡ i2 A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector. Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β2,4, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β2,4. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β2,4, o ponto I, que será um ponto da recta de intersecção. I1 ≡ I2 r2 fρ F2 F1 H2 H1 x hρ r1

12 Um plano de rampa ρ é definido pelo seu traço horizontal com 2 cm de afastamento e pelo seu traço frontal com 5 cm de cota. Determina as projecções das rectas de intersecção i e i’, rectas de intersecção do plano ρ com o β1,3 e com o β2,4, respectivamente. A recta de intersecção i é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector. Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β1,3, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β1,3. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β1,3, o ponto Q, que será um ponto da recta de intersecção i. A recta de intersecção i’ é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector. Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β2,4, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β2,4. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β2,4, o ponto I, que será um ponto da recta de intersecção i’. r2 fρ F2 F1 i2 Q2 Q1 H2 H1 x I1 ≡ I2 i1 hρ i’1 ≡ i’2 r1

13 Um plano de rampa ρ é definido pelo seus traços coincidentes, cujo o traço horizontal com -4 cm de afastamento. Determina as projecções das rectas de intersecção i e i’, rectas de intersecção do plano ρ com o β1,3 e com o β2,4, respectivamente. r2 Qualquer tentativa de obter a recta de intersecção i resulta em fracasso porque não há recta de intersecção com o β1,3, pois trata-se de um plano de rampa que é paralelo ao β1,3. A recta de intersecção i’ é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector. Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β2,4, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β2,4. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β2,4, o ponto I, que será um ponto da recta de intersecção i’. fρ ≡ hρ F2 F1 H1 H2 i’1 ≡ i’2 I1 ≡ I2 x r1

14 INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β1,3
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de topo δ com o β1,3. A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β1,3, tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo x, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o β1,3 será simétrica com a sua projecção frontal em relação ao eixo x. fδ ≡ i2 x i1 hδ

15 INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β2,4
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de topo δ com o β2,4. A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β2,4, tem as suas projecções coincidentes, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o β1,3 será coincidente com a sua projecção frontal. fδ ≡ i1 ≡ i2 x hδ

16 Um plano vertical α faz um diedro de 60º (a. d
Um plano vertical α faz um diedro de 60º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. Determina as projecções das rectas de intersecção i e i’, rectas de intersecção do plano α com o β1,3 e com o β2,4, respectivamente. A recta de intersecção i é uma recta com a sua projecção horizontal sobre o traço horizontal do plano, pois o plano α é um plano projectante horizontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β1,3, tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo x, a projecção frontal da recta de intersecção i do plano α com o β1,3 será simétrica com a sua projecção horizontal em relação ao eixo x. A recta de intersecção i’ é uma recta com a sua projecção horizontal sobre o traço horizontal do plano, pois o plano α é um plano projectante horizontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β2,4, tem as suas projecções coincidentes, a projecção frontal da recta de intersecção i’ do plano α com o β2,4 será coincidente com a sua projecção horizontal. fα i2 x hα ≡ i1 ≡ i’1 ≡ i’2

17 Um planode topo λ faz um diedro de 30º (a. e
Um planode topo λ faz um diedro de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções das rectas de intersecção i e i’, rectas de intersecção do plano α com o β1,3 e com o β2,4, respectivamente. A recta de intersecção i é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano λ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β1,3, tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo x, a projecção horizontal da recta de intersecção i do plano λ com o β1,3 será simétrica com a sua projecção frontal em relação ao eixo x. A recta de intersecção i’ é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano λ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β2,4, tem as suas projecções coincidentes, a projecção horizontal da recta de intersecção i’ do plano λ com o β2,4 será coincidente com a sua projecção frontal. fλ ≡ i2 ≡ i’1 ≡ i’2 x i1 hλ