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GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Intersecções – Planos com Bissectores © antónio de campos, 2010.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Intersecções – Planos com Bissectores © antónio de campos, 2010

2 INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β 1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano θ com o β 1,3. O plano θ é definido por duas rectas paralelas. x r2r2 s2s2 s1s1 r1r1 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β 1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β 1,3. Os traços das duas rectas situados no β 1,3, Q e Q, são dois pontos que pertencem aos dois planos. Q2Q2 Q1Q1 Q2Q2 Q1Q1 i1i1 i2i2

3 INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β 2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano θ com o β 2,4. O plano θ é definido por duas rectas paralelas. x r2r2 s2s2 s1s1 r1r1 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β 2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β 2,4. Os traços das duas rectas situados no β 1,3, I e I, são dois pontos que pertencem aos dois planos. I 1 I 2 i 1 i 2

4 Um plano θ está definido por duas rectas, h e f, concorrentes no ponto P do 1.º Diedro. A recta h é horizontal, tem 3 cm de cota e faz um ângulo de 40º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. A recta f é frontal, tem 4 cm de afastamento e faz um ângulo de 55º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções das rectas de intersecção i e i, rectas de intersecção do plano θ com o β 1,3 e com o β 2,4, respectivamente. x h1h1 h2h2 f1f1 P2P2 P1P1 f2f2 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β 1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β 1,3. Os traços das duas rectas situados no β 1,3, Q e Q, são dois pontos que pertencem aos dois planos. Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β 2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β 2,4. Os traços das duas rectas situados no β 1,3, I e I, são dois pontos que pertencem aos dois planos. Q2Q2 Q1Q1 Q2Q2 Q1Q1 i1i1 i2i2 I 1 I 2 i 1 i 2

5 Um plano α está definido por duas rectas oblíquas e paralelas, r e s. A recta r contém os pontos A (2; 2; 3) e B (0; -1; 4). A recta s contém o ponto C (0; 3; 1). Determina as projecções das rectas de intersecção i e i, rectas de intersecção do plano θ com o β 1,3 e com o β 2,4, respectivamente. x y z A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 r1r1 r2r2 C 2 C1C1 s1s1 s2s2 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β 2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β 2,4. Os traços das duas rectas situados no β 1,3, I e I, são dois pontos que pertencem aos dois planos. Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β 1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β 1,3. Como o plano θ intersecta o eixo x e as duas rectas de intersecção são concorrentes no eixo x, basta encontrar um outro ponto. O traço da recta r situado no β 1,3, Q, é um ponto que pertence aos dois planos. I 1 I 2 i 1 i 2 Q2Q2 Q1Q1 i1i1 i2i2

6 INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β 1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β 1,3. O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A. x fαfα hαhα A 1 A 2 Para definir a recta de intersecção do plano α com o β 1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β 1,3. Como o β 1,3 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α, é possível obter o traço da recta no β 1,3, o ponto Q, que será o outro ponto da recta de intersecção. h2h2 F2F2 F1F1 h1h1 Q2Q2 Q1Q1 i1i1 i2i2

7 INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β 2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β 2,4. O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A. x fαfα hαhα A 1 A 2 Para definir a recta de intersecção do plano α com o β 2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β 2,4. Como o β 2,4 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α, é possível obter o traço da recta no β 2,4, o ponto I, que será o outro ponto da recta de intersecção. r1r1 H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 r2r2 I 1 I 2 i 1 i 2

8 Um plano oblíquo θ é definido pelo seu traço horizontal que faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x, e o seu traço frontal que faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções das rectas de intersecção i e i, rectas de intersecção do plano θ com o β 1,3 e com o β 2,4, respectivamente. x hθhθ fθfθ Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β 1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β 1,3. Como o β 1,3 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano θ, é possível obter o traço da recta no β 1,3, o ponto Q, que será o outro ponto da recta de intersecção. A 1 A 2 f1f1 H2H2 H1H1 f2f2 Q2Q2 Q1Q1 i1i1 i2i2 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β 2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β 2,4. Como o β 2,4 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano θ, é possível obter o traço da recta no β 2,4, o ponto I, que será o outro ponto da recta de intersecção. I 1 I 2 i 1 i 2

9 Um plano oblíquo γ é definido pelo seu traço horizontal que faz um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x, e o seu traço frontal que faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções das rectas de intersecção i e i, rectas de intersecção do plano γ com o β 1,3 e com o β 2,4, respectivamente. x hγhγ fγfγ Para definir a recta de intersecção do plano γ com o β 1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano γ e ao β 1,3. Como o β 1,3 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano γ, é possível obter o traço da recta no β 1,3, o ponto Q, que será o outro ponto da recta de intersecção. A 1 A 2 h2h2 F2F2 F1F1 h1h1 Q2Q2 Q1Q1 i1i1 i2i2 Para definir a recta de intersecção do plano γ com o β 2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano γ e ao β 2,4. Como o β 2,4 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano γ, é possível obter o traço da recta no β 2,4, o ponto I, que será o outro ponto da recta de intersecção. I 1 I 2 i 1 i 2

10 INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA (definido pelos seus traços) COM O β 1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de rampa ρ com o β 1,3. x hρhρ fρfρ A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector. Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β 1,3, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β 1,3. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β 1,3, o ponto Q, que será um ponto da recta de intersecção. r1r1 H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 r2r2 Q2Q2 Q1Q1 i1i1 i2i2

11 INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA (definido pelos seus traços) COM O β 2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de rampa ρ com o β 2,4. x hρhρ fρfρ A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector. Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β 2,4, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β 2,4. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β 2,4, o ponto I, que será um ponto da recta de intersecção. r1r1 H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 I 1 I 2 i 1 i 2 r2r2

12 Um plano de rampa ρ é definido pelo seu traço horizontal com 2 cm de afastamento e pelo seu traço frontal com 5 cm de cota. Determina as projecções das rectas de intersecção i e i, rectas de intersecção do plano ρ com o β 1,3 e com o β 2,4, respectivamente. x hρhρ fρfρ r1r1 H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 r2r2 Q2Q2 Q1Q1 i1i1 i2i2 I 1 I 2 i 1 i 2 A recta de intersecção i é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector. Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β 1,3, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β 1,3. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β 1,3, o ponto Q, que será um ponto da recta de intersecção i. A recta de intersecção i é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector. Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β 2,4, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β 2,4. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β 2,4, o ponto I, que será um ponto da recta de intersecção i.

13 Um plano de rampa ρ é definido pelo seus traços coincidentes, cujo o traço horizontal com -4 cm de afastamento. Determina as projecções das rectas de intersecção i e i, rectas de intersecção do plano ρ com o β 1,3 e com o β 2,4, respectivamente. x f ρ h ρ Qualquer tentativa de obter a recta de intersecção i resulta em fracasso porque não há recta de intersecção com o β 1,3, pois trata-se de um plano de rampa que é paralelo ao β 1,3. A recta de intersecção i é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector. Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β 2,4, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β 2,4. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β 2,4, o ponto I, que será um ponto da recta de intersecção i. r1r1 H1H1 H2H2 F2F2 F1F1 r2r2 I 1 I 2 i 1 i 2

14 INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β 1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de topo δ com o β 1,3. x fδfδ hδhδ A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β 1,3, tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo x, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o β 1,3 será simétrica com a sua projecção frontal em relação ao eixo x. i 2 i1i1

15 INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β 2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de topo δ com o β 2,4. x hδhδ fδfδ A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β 2,4, tem as suas projecções coincidentes, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o β 1,3 será coincidente com a sua projecção frontal. i 1 i 2

16 Um plano vertical α faz um diedro de 60º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. Determina as projecções das rectas de intersecção i e i, rectas de intersecção do plano α com o β 1,3 e com o β 2,4, respectivamente. x fαfα hαhα A recta de intersecção i é uma recta com a sua projecção horizontal sobre o traço horizontal do plano, pois o plano α é um plano projectante horizontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β 1,3, tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo x, a projecção frontal da recta de intersecção i do plano α com o β 1,3 será simétrica com a sua projecção horizontal em relação ao eixo x. A recta de intersecção i é uma recta com a sua projecção horizontal sobre o traço horizontal do plano, pois o plano α é um plano projectante horizontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β 2,4, tem as suas projecções coincidentes, a projecção frontal da recta de intersecção i do plano α com o β 2,4 será coincidente com a sua projecção horizontal. i 1 i2i2 i 1 i 2

17 Um planode topo λ faz um diedro de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções das rectas de intersecção i e i, rectas de intersecção do plano α com o β 1,3 e com o β 2,4, respectivamente. x hλhλ fλfλ A recta de intersecção i é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano λ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β 1,3, tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo x, a projecção horizontal da recta de intersecção i do plano λ com o β 1,3 será simétrica com a sua projecção frontal em relação ao eixo x. A recta de intersecção i é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano λ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β 2,4, tem as suas projecções coincidentes, a projecção horizontal da recta de intersecção i do plano λ com o β 2,4 será coincidente com a sua projecção frontal. i 2 i1i1 i 1 i 2


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