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GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Secções por Planos Não Projectantes © antónio de campos, 2010.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Secções por Planos Não Projectantes © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES - poliedros Para resolver situações de secções produzidas por planos não projectantes sobre poliedros, existem várias possibilidades, entre elas, destacam-se as seguintes: 1 – Mudança de diedro de projecção, transformando o plano secante em plano projectante, para depois aplicar o processo de secção igual a planos projectantes; 2 – Determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, através da intersecção de uma recta com um plano não projectante (método geral da intersecção de rectas com planos); 3 – Método misto, determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, e determinação das rectas de intersecção do plano secante com os planos que contém as faces do sólido.

3 (h φ1 ) (h φ ) x A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 C2C2 C1C1 D2D2 D1D1 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 C2C2 C1C1 D2D2 D1D1 (h ρ ) Secção Plana de um Prisma por Plano Secante Não Projectante Pretende-se uma figura da secção produzida por um plano de rampa ρ num prisma quadrangular oblíquo, com as bases contidas em planos frontais. (f ρ ) Neste caso, será utilizado o segundo método: determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, através da intersecção de uma recta com um plano não projectante (método geral da intersecção de rectas com planos). Primeiro há que determinar qual as arestas a serem cortadas. Como a recta de intersecção do plano ρ com o plano da base com maior afastamento (o plano φ 1 ) se situa no 2.º diedro, o plano secante não intersecta esta base. A seguir será determinada a recta de intersecção (recta i) do plano secante (o plano ρ) com o plano das base com menor afastamento, recorrendo a um plano auxiliar projectante (plano vertical α). I é o ponto de intersecção da recta i com o plano φ. A recta g é a recta de intersecção do plano ρ com o plano φ. Como a recta g é exterior à base com menor afastamento, o plano secante não corta a base com menor afastamento do sólido. Depois começa a determinação dos pontos da figura de secção. M é o ponto de intersecção da recta i com a aresta [AA], sendo o ponto de intersecção da aresta com o plano secante, sendo um ponto da figura da secção. A seguir, serão determinados sucessivamente os pontos de intersecção das arestas laterais com o plano secante. hαhα fαfα F2F2 F1F1 H2H2 H1H1 i 1 i2i2 M2M2 M1M1 hα1hα1 fα1fα1 N2N2 N1N1 hα2hα2 fα2fα2 O2O2 O1O1 hα3hα3 P2P2 P1P1 I2I2 I 1 g 1 g2g2

4 Dois pontos A (2; 1; 0) e B (-3; 3; 0) são vértices de um hexaedro, situado no 1.º diedro e com uma face situada no Plano Horizontal de Projecção. É dado um plano oblíquo γ, ortogonal ao β 2,4, que corta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa. O traço horizontal do plano γ faz um ângulo de 40º (a.e.) com o eixo x. Determina as projecções do sólido resultante da secção produzida no hexaedro pelo plano γ. Considera a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o Plano Horizontal de Projecção. x y z A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 f γ h γ C2C2 C1C1 D2D2 D1D1 (f ν ) A2A2 A 1 B2B2 B 1 C2C2 C 1 D2D2 D 1 Neste caso, será utilizado o segundo método: determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, através da intersecção de uma recta com um plano não projectante (método geral da intersecção de rectas com planos). Primeiro há que determinar qual as arestas a serem cortadas. Como a recta de intersecção (h γ ) do plano γ com o plano da base inferior, não intersecta a base inferior, o plano secante não intersecta esta base. A seguir será determinada a recta de intersecção (recta h) do plano secante (o plano γ) com o plano das base superior (plano ν). Esta recta h corta o quadrado da face superior do cubo nos pontos K e L, K e L são, assim, dois pontos da figura da secção. Depois continua com a determinação de outros pontos da figura de secção. A recta i é a recta de intersecção do plano que contém a face vertical que contém a aresta [AB] (o plano ABK) com o plano secante. I é o ponto de concorrência entre a recta AB e h γ. A recta i intersecta a aresta vertical que passa por A no ponto N, N é, assim, outro ponto da figura da secção. A seguir, serão determinados sucessivamente os pontos de intersecção das arestas laterais com o plano secante. F2F2 F1F1 h1h1 h 2 K2K2 K1K1 L2L2 L1L1 i1i1 I2I2 I1I1 i2i2 N 1 N2N2 i1i1 I2I2 I1I1 i2i2 M 1 M2M2

5 GENERALIDADES – cones e cilindros Para resolver situações de secções produzidas por planos não projectantes sobre cones e cilindros, é necessário um processo muito complexo, quer em termos de raciocínio, quer em termos de traçados. As etapas desse processo são as seguintes: 1 – Identificar o tipo de figura de secção; 2 – Verificar se o plano secante corta as bases; 3 – Determinar os pontos em que o plano secante corta as linhas que intersectam o contorno aparente; 4 – Determinar os pontos de maior e de menor cota da secção; 5 - Determinar os pontos de maior e de menor afastamento da secção; 6 – Determinar mais dois pontos, através do método dos planos paralelos à base.

6 Secção Plana de um Cone por Plano Secante Não Projectante Pretende-se um sólido resultante da secção produzida por um plano oblíquo α num cone de revolução, situado no 1.º diedro e com base no Plano Horizontal de Projecção. x O2O2 O1O1 V2V2 V 1 fαfα hαhα 1 - Identificar o tipo de figura de secção. Um plano auxiliar de topo θ 1, paralelo ao plano θ e que contém o vértice. A recta r é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é exterior à base, sendo a figura de secção uma elipse. fα1fα1 hα1hα1 2 – Verificar se o plano secante corta as bases. h α é a recta de intersecção do plano secante com o plano da base e é exterior à base, pelo que o plano secante não corta a base do cone. 3 – Determinar os pontos em que o plano secante corta as linhas que intersectam o contorno aparente. O plano φ é um plano auxiliar, que contém as duas geratrizes do contorno aparente frontal. A recta i é a recta de intersecção do plano φ com o plano secante. A e B são os pontos de intersecção das geratrizes do contorno aparente frontal com o plano secante. (h φ ) i 1 H2H2 H1H1 i2i2 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 4 – Determinar os pontos de maior e de menor cota da secção. Para tal, determinar os planos tangentes (θ 1 e θ 2 ) do cone que intersectam o plano secante, via rectas horizontais. A recta h é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. As rectas t e t são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante. C é o ponto de maior cota e D de menor cota da secção. g 1 g2g2 g2g2 h1h1 F2F2 F1F1 h2h2 hθ1hθ1 hθ2hθ2 fθ1fθ1 fθ2fθ2 F2F2 F1F1 F2F2 F1F1 t1t1 t2t2 t1t1 t2t2 C2C2 C1C1 D2D2 D1D1

7 Secção Plana de um Cone por Plano Secante Não Projectante Pretende-se um sólido resultante da secção produzida por um plano oblíquo α num cone de revolução, situado no 1.º diedro e com base no Plano Horizontal de Projecção. x O2O2 O1O1 V2V2 V 1 fαfα hαhα fα1fα1 hα1hα1 (h φ ) i 1 H2H2 H1H1 i2i2 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 g 1 g2g2 g2g2 h1h1 F2F2 F1F1 h2h2 hθ1hθ1 hθ2hθ2 fθ1fθ1 fθ2fθ2 F2F2 F1F1 F2F2 F1F1 t1t1 t2t2 t1t1 t2t2 C2C2 C1C1 D2D2 D1D1 5 - Determinar os pontos de maior e de menor afastamento da secção. Para tal, determinar os planos tangentes (θ 3 e θ 4 ) do cone que intersectam o plano secante, via rectas frontais. A recta f é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. As rectas s e s são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante. E é o ponto de menor afastamento e F de maior afastamento da secção. f 1 f 2 H2H2 H1H1 hθ3hθ3 hθ4hθ4 g1g1 g1g1 g 2 s1s1 H2H2 H1H1 s2s2 s1s1 H2H2 H1H1 s2s2 E2E2 E1E1 F2F2 F1F1 6 – Determinar mais dois pontos, através do método dos planos paralelos à base. O plano ν é o plano horizontal paralelo à base. A recta i é a recta de intersecção entre os planos ν e α. G e H são mais dois pontos. (f ν ) i 2 F2F2 F1F1 i1i1 G2G2 G1G1 H2H2 H1H1


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