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GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Métodos Geométricos Auxiliares II Rotações © antónio de campos, 2009.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Métodos Geométricos Auxiliares II Rotações © antónio de campos, 2009

2 ROTAÇÕES A rotação tem como objectivo permitir obter uma representação mais conviniente de um determinado objecto, para assim poder resolver problemas e situações que a representação inicial não nos permite. A rotação consiste em rodar um objecto em torno de um eixo (ou charneira), para colocar o objecto numa nova e mais favorável posição em relação aos planos de projecção.

3 ELEMENTOS BÁSICOS DAS ROTAÇÕES e O θ αº A A A – ponto a rodar. e – recta em torno da qual o ponto A roda (eixo de rotação). AA – arco de circunferência que corresponde à rotação do ponto A. A – posição final do ponto A, após a sua rotação. θ – plano ortogonal a e (eixo de rotação), no qual existe o arco da rotação de A. O – centro do arco da rotação do ponto A. αº - amplitude do arco da rotação do ponto A.

4 Transformação de um Segmento de Recta Oblíquo num Segmento de Recta Vertical via Rotação Pretende-se transformar um segmento de recta oblíquo [AB] num segmento de recta vertical, com o recurso à rotação do segmento. x A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 Primeiro é necessário transformar o segmento de recta [AB] num segmento de recta frontal, com alterações nos afastamentos, mantendo-se as cotas. Os arcos de rotação estão contidos em planos horizontais (ν para o ponto P, ν 1 para o ponto A e ν 2 para o ponto B), e o eixo da rotação será uma recta vertical, ortogonal aos planos que contém os arcos de rotação. São utilizados um eixo de rotação vertival qualquer (e) e um ponto P, para efectuar a rotação (com o ponto O como centro da rotação de P). e2e2 (e 1 ) O 1 P1P1 P2P2 P1P1 (f ν ) O 2 P 2 A1A1 A2A2 (f ν1 ) B1B1 B2B2 (f ν2 ) A recta paralela ao eixo x é uma recta de suporte para localizar A 1 e B 1 para que o segmento de recta fique com os afastamentos iguais, dando origem a um segmento de recta frontal.

5 x A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 e2e2 (e 1 ) O 1 P1P1 P2P2 P1P1 (f ν ) O 2 P 2 A1A1 A2A2 (f ν1 ) B1B1 B2B2 (f ν2 ) A seguir, é necessário rodar o novo segmento de recta frontal [AB], até ficar ortogonal ao Plano Horizontal de Projecção, para obter o segmento de recta vertical. As alterações serão agora em relação às cotas, mantendo-se os afastamentos. e1e1 T1T1 T2T2 (e 2 ) Q 2 T2T2 T1T1 (h φ ) O plano frontal φ contém o arco da rotação do ponto T. Q1Q1 A2A2 B2B2 A 1 B 1

6 Transformação de uma Recta Oblíqua numa Recta de Topo via Rotação

7 x A1A1 A2A2 Primeiro é necessário transformar a recta r numa recta horizontal, com alterações nas cotas, mantendo-se os afastamentos. O ponto F vai permitir a existência de dois pontos para poder definir por completo a recta horizontal r. e1e1 (e 2 ) Uma recta oblíqua r é paralela ao β 1,3, contém o ponto A (2; 4) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x. Recorrendo ao processo das rotações, transforma a recta r numa recta de topo. r2r2 r1r1 F1F1 F2F2 r2r2 F2F2 F1F1 A2A2 A1A1 r1r1 e2e2 (e 1 ) A1A1 r1r1 A 2 r 2 A seguir, é necessário rodar a recta horizontal r, até ficar ortogonal ao Plano Frontal de Projecção, para obter a recta de topo. As alterações serão agora em relação aos afastamentos, mantendo- se as cotas.

8 Transformação de uma Recta Oblíqua numa Recta Fronto-horizontal via Rotação

9 x Primeiro é necessário transformar a recta r numa recta paralela a um dos Planos de Projecção, que neste caso será o o Plano Horizontal de Projecção, com alterações nas cotas, mantendo- se os afastamentos. O ponto M é o ponto a rodar e O o centro da rotação de M. O plano frontal φ contém o arco da rotação do ponto M. Pretende-se transformar uma recta oblíqua numa recta fronto-horizontal. r2r2 A seguir, é necessário rodar a projecção horizontal da recta r, até ficar paralela ao eixo x e ao Plano Frontal de Projecção. Para tal, é necessário outro ponto qualquer para além de M, para que r seja definida antes de ser rodada. r1r1 e1e1 M1M1 M2M2 (e 2 ) O 2 M2M2 (h φ ) O1O1 M 1 r2r2 O resultado é a projecção frontal r 2 paralela ao eixo x, após a rotação. N1N1 N2N2 N1N1 N2N2 (h φ ) r1r1 Q 2 Q1Q1 T1T1 T2T2 Depois, será utilizado um segundo eixo para rodar a r 1, a partir do ponto T. (e 1 ) Z 1 e2e2 Z2Z2 (f υ ) T1T1 T 2 r 2 r1r1 O resultado final é a recta r, que é a recta r na sua nova posição paralela a ambos os planos de projecção e portanto uma recta fronto- horizontal.

10 Uma recta oblíqua r é paralela ao β 1,3, contém o ponto A (2; 3) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 40º (a.e.) com o eixo x. Recorrendo ao processo das rotações, transforma a recta r numa recta vertical. x A1A1 A1A1 A2A2 r2r2 r1r1 Depois de desenhar as projecções da recta r, é necessário transformar a recta r numa recta frontal, com alterações nos afastamentos, mantendo-se as cotas. O eixo da rotação será uma recta vertical qualquer (e). e2e2 (e 1 ) O 1 A 2 O 2 r1r1 Um outro ponto (F) da recta r é necessário para definir r 2. F1F1 F2F2 F1F1 F2F2 r2r2 A seguir, é necessário rodar a nova posição da recta r, a recta frontal r, até ficar ortogonal ao Plano Horizontal de Projecção, para obter o segmento de recta vertical. As alterações serão agora em relação às cotas, mantendo-se os afastamentos. O novo eixo (e) será uma recta de topo qualquer, para se rodar A. (e2) Q 2 e1e1 Q1Q1 A2A2 A 1 (r 1 ) r2r2 O resultado final é a recta r, que é a recta r na sua nova posição de recta vertical, passando pelo ponto A.

11 Transformação de uma Plano Oblíquo num Plano Horizontal via Rotação

12 Pretende-se determinar a V.G. do triângulo [ABC], recorrendo a rotações. x e2e2 A2A2 B2B2 C2C2 C1C1 B1B1 A1A1 fδfδ hδhδ Para determinar a V.G., o plano δ será transformado em plano horizontal. Primeira rotação será determinada por um eixo vertical (e) para rodar o plano transformando as suas rectas horizontais em rectas de topo. As alterações vão ser realizadas ao nível dos afastamentos. (e 1 ) M1M1 M2M2 O 1 O2O2 O ponto M é o ponto do plano δ a rodar. M1M1 M2M2 hδhδ C 1 C 2 fδfδ O plano δ rodado é um plano de topo. O traço frontal rodado do plano δ (f δ ) é concorrente com h δ no eixo x e contém C 2. A seguir se rodão os pontos A, B e C. A 2 e B 2 estão sobre f δ. A1A1 B1B1 A 2 B 2

13 x e2e2 A2A2 B2B2 C2C2 C1C1 B1B1 A1A1 fδfδ hδhδ (e 1 ) M1M1 M2M2 O 1 O2O2 M1M1 M2M2 hδhδ C 1 C 2 fδfδ A1A1 B1B1 A 2 B 2 Segunda rotação será determinada por um eixo (e), recta de topo, com o ponto P utilizado para a rotação, resultando num plano horizontal. e1e1 P1P1 P2P2 (e 2 ) Q 2 Q1Q1 P2P2 P 1 (f δ ) C2C2 A 2 B 2 A1A1 B1B1 C1C1 No fim a V.G. é conseguida no triângulo [ABC].

14 Um triângulo oblíquo [ABC] é contido num plano oblíquo α. O plano α é ortogonal ao β 1,3 e o seu traço frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x.Os vértices do triângulo são A (4; 3), B (2; 2) e C (1; 5). Determina a V.G. Do triângulo, transformando o plano α num plano frontal, por meio de rotações. x fαfα hαhα A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 C1C1 C2C2 Primeiro, há que desenhar o triângulo, pertencente ao plano, via os traços horizontais. A seguir Primeiro, há que realizar a primeira rotação determinada por um eixo de topo (e) para rodar o plano transformando as suas rectas frontais em rectas verticais, obtendo um plano vertical. Para economizar traços, o eixo passa pelo ponto A. As alterações vão ser realizadas ao nível das cotas. O ponto P é o ponto do plano α a rodar. (e 2 ) O 2 e1e1 P1P1 P2P2 O1O1 fαfα hαhα P1P1 P2P2 C2C2 C1C1 B1B1 B2B2 A 1 A 2

15 x fαfα hαhα A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 C1C1 C2C2 (e 2 ) O 2 e1e1 P1P1 P2P2 O1O1 fαfα hαhα P1P1 P2P2 C2C2 C1C1 B1B1 B2B2 A 1 A 2 Segunda rotação será determinada por um eixo (e), vertical, com o ponto A utilizado para a rotação, resultando num plano frontal. As alterações agora serão ao nível dos afastamentos. e2e2 (e 1 ) Q 1 (h α ) B1B1 C1C1 A1A1 C2C2 B2B2 Q2Q2 No fim a V.G. é conseguida no triângulo [ABC]. A 2


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