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GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Distância entre Dois Planos © antónio de campos, 2010.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Distância entre Dois Planos © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES A distância entre dois planos é medida numa recta ortogonal aos dois planos, para planos paralelos entre si. A distância entre dois planos é a distância entre quaisquer dois pontos dos planos (um ponto de cada plano) contidos numa mesma recta ortogonal aos planos. p d A α δ B

3 Distância entre Dois Planos Projectantes Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. x Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. fαfα hαhα A1A1 A2A2 Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como os planos são projectantes frontais, as intersecções são determinadas nos cruzamentos da projecção frontal da recta com os traços frontais dos planos. p2p2 p1p1 B1B1 B2B2 A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta frontal, pelo que a V.G. de AB está na projecção frontal de AB, A 2 B 2. V.G. fδfδ hδhδ

4 São dados dois planos verticais, α e γ. O plano α faz um diedro de 45º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. O plano γ corta o eixo x num ponto situado 4 cm para a direita do ponto de intersecção do plano α com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. x fαfα hαhα fγfγ hγhγ p1p1 p2p2 A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 V.G. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como os planos são projectantes horizontais, as intersecções são determinadas nos cruzamentos da projecção horizontal da recta com os traços horizontais dos planos. A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta horizontal, pelo que a V.G. de AB está na projecção horizontal de AB, A 1 B 1.

5 Distância entre Dois Planos Oblíquos Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. x Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. fαfα hαhα A1A1 A2A2 Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar γ, que é projectante horizontal e contém a recta p. p2p2 p1p1 B1B1 B2B2 A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de AB tem que ser obtida pelo processo de rebatimento. V.G. fθfθ hθhθ F1F1 F2F2 H1H1 H2H2 fγfγ h γ i 1 i2i2 H1H1 H2H2 i2i2 (f υ ) e 2 e 1 BrBr A r

6 É dado um plano oblíquo α, ortogonal ao β 1,3. O traço frontal do plano α faz um ângulo de 40º (a.e.) com o eixo x. É dado um plano μ, paralelo ao plano α. O plano μ corta o eixo x num ponto situado 8 cm para a esquerda do ponto de intersecção do plano α com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. x fαfα hαhα fμfμ hμhμ Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. p1p1 p2p2 Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar θ, que é projectante frontal e contém a recta p. f θ hθhθ H1H1 H2H2 F1F1 F2F2 i 2 i1i1 F1F1 F2F2 i1i1 A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de AB tem que ser obtida pelo processo de rebatimento. (h φ ) e 1 e 2 A r BrBr V.G. i 2

7 São dados dois planos oblíquos e paralelos, θ e δ. O plano θ corta o eixo x num ponto com -4 cm de abcissa, com o seu traço horizontal a fazer um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x, e o seu traço frontal a fazer um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. O plano δ corta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa. Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. x y z fθfθ hθhθ fδfδ hδhδ Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. p1p1 p2p2 Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar α, que é projectante horizontal e contém a recta p. fαfα h α H1H1 H2H2 H1H1 H2H2 F1F1 F2F2 i2i2 i 1 i2i2 A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de AB tem que ser obtida pelo processo de rebatimento. (f υ ) e 2 e 1 BrBr A r V.G.

8 Distância entre Dois Planos de Rampa via Rebatimento Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. x fρfρ hσhσ hρhρ fσfσ Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. p1 p 2 Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar π, que é plano de perfil e contém a recta p. Para se determinar os pontos A e B é necessário recorrer ao processo de rebatimento. f π h π H2H2 H1H1 F 1 F2F2 i 1 i 2 F2F2 F 1 i 1 i 2 e 1 h πr (e 2 ) f πr H r FrFr irir FrFr irir prpr ArAr BrBr V.G. A r B r é a V.G. da distância entre os dois planos. Invertendo o rebatimento do plano π, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB]. A1A1 A2A2 B1B1 B2B2

9 São dados dois planos de rampa paralelos ao β 2,4, ρ e σ. O traço frontal do plano ρ tem 2 cm de cota e o traço horizontal do plano σ tem 5 cm de afastamento. Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. x fρfρ hσhσ hρhρ fσfσ Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. p1 p 2 Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar π, que é plano de perfil e contém a recta p. Para se determinar os pontos A e B é necessário recorrer ao processo de rebatimento. f π h π H1H1 H2H2 F 1 F2F2 F2F2 i 1 i 2 F 1 H1H1 i 1 i 2 H 2 e 1 (e 2 ) h πr f πr H r FrFr irir FrFr irir prpr ArAr BrBr V.G. A r B r é a V.G. da distância entre os dois planos. Invertendo o rebatimento do plano π, obtêm- se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB]. A1A1 A2A2 B1B1 B2B2

10 Distância entre Dois Planos de Rampa via Mudança de Diedro de Projecção Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. x hσhσ hρhρ fρfρ fσfσ Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. p1 p 2 São determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos, depois de transformar os dois planos em planos projectantes via a mudança de diedro de projecção. Um ponto auxiliar P, que pertence a h ρ, vai permitir determinar h 4ρ, que passa por P 4 e é concorrente com f ρ no eixo x. 2 1 x 2 4 P1P1 P2P2 P4P4 h 4ρ h 4σ p4p4 A4A4 B4B4 V.G. A 4 B 4 é a V.G. da distância entre os dois planos, pois os dois planos são projectantes horizontais, no novo diedro de projecção. Invertendo a mudança de diedro de projecção, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB]. A2A2 B2B2 A1A1 B1B1

11 São dados dois planos de rampa paralelos ao β 2,4, ρ e σ. O traço frontal do plano ρ tem 2 cm de cota e o traço horizontal do plano σ tem 5 cm de afastamento. Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. x hρhρ fρfρ hσhσ fσfσ Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. p1 p 2 São determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos, depois de transformar os dois planos em planos projectantes via a mudança de diedro de projecção. Um ponto auxiliar P, que pertence a h ρ, vai permitir determinar h 4ρ, que passa por P 4 e é concorrente com f ρ no eixo x. x 2 4 P1P1 P2P2 P4P4 h 4ρ h 4σ A4A4 B4B4 A 4 B 4 é a V.G. da distância entre os dois planos, pois os dois planos são projectantes horizontais, no novo diedro de projecção. Invertendo a mudança de diedro de projecção, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB]. V.G. A2A2 B2B2 A1A1 B1B1 2 1


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