GEOMETRIA DESCRITIVA A

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano Problemas Métricos Distância entre Dois Planos © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES A distância entre dois planos é medida numa recta ortogonal aos dois planos, para planos paralelos entre si. A distância entre dois planos é a distância entre quaisquer dois pontos dos planos (um ponto de cada plano) contidos numa mesma recta ortogonal aos planos. α δ p A d B

3 Distância entre Dois Planos Projectantes
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. fα p2 fδ Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como os planos são projectantes frontais, as intersecções são determinadas nos cruzamentos da projecção frontal da recta com os traços frontais dos planos. A1 A2 V.G. B1 B2 x A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta frontal, pelo que a V.G. de AB está na projecção frontal de AB, A2B2. p1 hα hδ

4 São dados dois planos verticais, α e γ
São dados dois planos verticais, α e γ . O plano α faz um diedro de 45º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. O plano γ corta o eixo x num ponto situado 4 cm para a direita do ponto de intersecção do plano α com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. fγ Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. fα p2 A1 A2 B1 B2 Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como os planos são projectantes horizontais, as intersecções são determinadas nos cruzamentos da projecção horizontal da recta com os traços horizontais dos planos. x V.G. A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta horizontal, pelo que a V.G. de AB está na projecção horizontal de AB, A1B1. hγ hα p1

5 Distância entre Dois Planos Oblíquos
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. fγ fα p2 fθ i’2 Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar γ, que é projectante horizontal e contém a recta p. F1 F2 B1 B2 (fυ) ≡ e2 i2 A1 A2 x H’1 H’2 H1 H2 ≡ Ar A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de AB tem que ser obtida pelo processo de rebatimento. V.G. p1 ≡ hγ ≡ i1 ≡ i’1 ≡ e1 Br hα hθ

6 É dado um plano oblíquo α, ortogonal ao β1,3
É dado um plano oblíquo α, ortogonal ao β1,3. O traço frontal do plano α faz um ângulo de 40º (a.e.) com o eixo x. É dado um plano μ, paralelo ao plano α. O plano μ corta o eixo x num ponto situado 8 cm para a esquerda do ponto de intersecção do plano α com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. p2 fα ≡ fθ ≡ i2 ≡ i’2 ≡ e2 Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. Br F’1 F’2 fμ Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar θ, que é projectante frontal e contém a recta p. B1 B2 V.G. F1 F2 A1 A2 ≡ Ar H1 H2 x (hφ) ≡ e1 A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de AB tem que ser obtida pelo processo de rebatimento. i1 p1 hμ i’1 hθ hα

7 São dados dois planos oblíquos e paralelos, θ e δ
São dados dois planos oblíquos e paralelos, θ e δ. O plano θ corta o eixo x num ponto com -4 cm de abcissa, com o seu traço horizontal a fazer um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x, e o seu traço frontal a fazer um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. O plano δ corta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa. Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. y ≡ z Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. fα fδ fθ p2 i2 Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar α, que é projectante horizontal e contém a recta p. (fυ) ≡ e2 A1 A2 i’2 B1 B2 F1 F2 H’1 H’2 x H1 H2 ≡ Ar A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de AB tem que ser obtida pelo processo de rebatimento. hθ V.G. hδ p1 ≡ hα ≡ i1 ≡ i’1 ≡ e1 Br

8 Distância entre Dois Planos de Rampa via Rebatimento
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ i’1 ≡ i’2 ≡ e1 ≡ hπr Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar π, que é plano de perfil e contém a recta p. Para se determinar os pontos A e B é necessário recorrer ao processo de rebatimento. fσ F’2 fρ F2 B2 A2 H2 ≡ F1 ≡ F’1 ≡ (e2) x ≡ fπr Fr F’r Ar A1 V.G. ir B1 Br i’r hρ H1 ≡ Hr ArBr é a V.G. da distância entre os dois planos. Invertendo o rebatimento do plano π, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB]. pr hσ

9 São dados dois planos de rampa paralelos ao β2,4 , ρ e σ
São dados dois planos de rampa paralelos ao β2,4 , ρ e σ. O traço frontal do plano ρ tem 2 cm de cota e o traço horizontal do plano σ tem 5 cm de afastamento. Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ i’1 ≡ i’2 ≡ e1 ≡ hπr Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. fσ F’2 Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar π, que é plano de perfil e contém a recta p. Para se determinar os pontos A e B é necessário recorrer ao processo de rebatimento. ir B2 fρ F2 A2 H2 ≡ F1 ≡ F’1 ≡ H’2 ≡ (e2) x ≡ fπr Fr F’r Ar A1 i’r V.G. hρ H1 ≡ Hr B1 Br ArBr é a V.G. da distância entre os dois planos. Invertendo o rebatimento do plano π, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB]. pr hσ H’1 ≡ H’r

10 Distância entre Dois Planos de Rampa via Mudança de Diedro de Projecção
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. x’ 2 4 p1 ≡ p2 São determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos, depois de transformar os dois planos em planos projectantes via a mudança de diedro de projecção. Um ponto auxiliar P, que pertence a hρ, vai permitir determinar h4ρ, que passa por P4 e é concorrente com fρ no eixo x’. fσ p4 fρ B2 V.G. B4 A2 A4 h4σ P1 P2 2 1 P4 x h4ρ A4B4 é a V.G. da distância entre os dois planos, pois os dois planos são projectantes horizontais, no novo diedro de projecção. Invertendo a mudança de diedro de projecção, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB]. A1 B1 hρ hσ

11 São dados dois planos de rampa paralelos ao β2,4 , ρ e σ
São dados dois planos de rampa paralelos ao β2,4 , ρ e σ. O traço frontal do plano ρ tem 2 cm de cota e o traço horizontal do plano σ tem 5 cm de afastamento. Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. p1 ≡ p2 Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. x’ 2 4 fσ São determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos, depois de transformar os dois planos em planos projectantes via a mudança de diedro de projecção. Um ponto auxiliar P, que pertence a hρ, vai permitir determinar h4ρ, que passa por P4 e é concorrente com fρ no eixo x’. B2 B4 V.G. h4σ fρ A2 A4 P1 P2 2 1 P4 x h4ρ A1 A4B4 é a V.G. da distância entre os dois planos, pois os dois planos são projectantes horizontais, no novo diedro de projecção. Invertendo a mudança de diedro de projecção, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB]. hρ B1 hσ