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Amintas engenharia. Unidade 5 – Produto Escalar e Produto Vetorial.

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Apresentação em tema: "Amintas engenharia. Unidade 5 – Produto Escalar e Produto Vetorial."— Transcrição da apresentação:

1 Amintas engenharia

2 Unidade 5 – Produto Escalar e Produto Vetorial

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4 1. Vetores 2. Reta 3. Plano 4.Distâncias 5. Cônicas 6. Superfícies

5 Uma base é formada por vetores que são L.I. Sejam u e v, vetores. Se u = kv u, v são L.D u, v não formam uma base. Sejam u, v e w, vetores. Se u = av + bw u, v e w são L.D u, v e w não formam uma base. As bases usuais, que são chamadas de bases canônicas E= {(1, 0), (0, 1)} E={(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)}

6 a b u |u| = (a 2 + b 2 ) Módulo de um vetor Comprimento de um vetor Dados os vetores u = (a, b) e v = (a, b, c) denota-se por módulo de u e módulo de v: |u| = (a 2 + b 2 ) |v | = (a 2 + b 2 + c 2 ) Usando o teorema de Pitágoras, temos: 1.9 Módulo de um Vetor

7 Propriedades I) u.v = |u||v|cos II) Se u.v = 0 u v v u 1.10 Produto Escalar de Vetores Geometricamente, utilizamos o produto escalar entre dois vetores quando o interesse é: Determinar o ângulo entre esses vetores. vetores u = (a 1, b 1, c 1 ) e v = (a 2, b 2, c 2 ) é: u.v = a 1.a 2 + b 1.b 2 + c 1.c 2

8 Dados os vetores u e v, decompondo v = v 1 + v 2 com v 1 // u e v 2 u. v2v2 v1v1 v u v2v2 v1v1 v u O vetor v 1 é chamado de projeção ortogonal de v sobre u e é denotado por: v 1 = proj u v proj u v = v.u.u u.u

9 O produto vetorial ao contrário do produto escalar resulta em um vetor. Notação do produto vetorial: u x v. i j k u x v = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 Ex: Calcule u x v sendo que u = (a 1, b 1, c 1 ) e v = (a 2, b 2, c 2 )

10 O vetor u x v é simultaneamente ortogonal a u e v. u u x v v v x u Observações u x v = - (v x u), a ordem de colocação dos vetores altera o sentido do vetor resultante. (u x v).u = 0 e (u x v).v = 0 u x v = 0 se e somente se u // v (vetores L.D.).

11 Se é o ângulo entre os vetores u e v então: |u x v| = |u||v| sen O |u x v| é a área de um paralelogramo de lados iguais ao |u| e |v|. |u| |v| |v| sen

12 Ex: Seja A r e o ângulo de r com o eixo x, para a determinação da equação da reta usa- se ( I ). As retas são funções matemáticas escritas da seguinte forma: f(x) = ax +b I)Equação fundamental II)Equação Geral III)Equação vetorial IV)Equação paramétrica

13 Sejam os pontos A(x 0, y 0 ) e P(x, y) r. A equação fundamental da reta é dada por: Obs: AP = P - A é chamado de vetor diretor da reta I) Equação fundamental da reta tg = y - y 0 x - x 0 y - y 0 = m(x - x 0 ) A P x 0 x yy0yy0 r: y - y 0 = m(x - x 0 ) m = tg, é o ângulo entre r e o eixo x.

14 engenharia


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