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Vetores V. Produto Misto Sejam u, v e w vetores quaisquer. O produto misto dos vetores u, v e w, indicado por [u, v, w], é o número real [u, v, w]= (u.

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1 Vetores V

2 Produto Misto Sejam u, v e w vetores quaisquer. O produto misto dos vetores u, v e w, indicado por [u, v, w], é o número real [u, v, w]= (u x v). w

3 Exemplo 1 Dados os vetores u = (1,0,2), v = (-1,1,3) e w = (0,3,-2), temos: [u, v, w] = ? [v, u, w] =?

4 Exemplo 1 Dados os vetores u = (1,0,2), v = (-1,1,3) e w = (0,3,-2), temos: [u, v, w] = [(1,0,2) x (-1,1,3)]. (0,3,-2) = (-2,-5,1). (0,3,-2) = -17 [v, u, w] = [(-1,1,3) x (1,0,2)]. (0,3,-2) = (2,5,-1). (0,3,-2) =17

5 Interpretação geométrica Seja o paralelepípedo de arestas AB, AD e AE. Sabemos que o volume V desse paralelepípedo é: V = área da base x altura

6 Considerando a altura h desse paralelepípedo, em relação à base ABCD e aplicando cálculo vetorial obtem-se V =| AB x AD | h Interpretação geométrica

7 A altura pode ser calculada como o módulo da projeção do vetor AE na direção de AB x AD, pois AB x AD é ortogonal ao plano ABC h = | proj (AB x AD) AE| = | (AE.(ABxAD)º) (AB x AD)º| = | (AE.(AB x AD)º)| = | AE | | cosθ| onde θ é o ângulo entre os vetores AE e ABxAD Interpretação geométrica

8 Logo, V = | AB x AD| | AE | | cos θ | = |(AB x AD ).AE |= | [AB,AD,AE] | Ou seja, V = | [AB,AD,AE] | Interpretação geométrica

9 Interpretação Geométrica Considere agora o tetraedro de arestas AB, AD e AE. Seja V T o volume desse tetraedro Logo V T = 1/3 áreaBase X altura

10 Considerando a base ABD desse tetraedro, nota-se que a altura relativa a essa base coincide com a altura do pa- ralelepípedo anterior

11 Logo, V T = 1/3 (1/2 | AB x AD|) |AE ||cosθ| =1/6 |(AB x AD ).AE | = 1/6| [AB,AD,AE] |

12 Exemplo 2 Considere o paralelepípedo de arestas OA, OB e OC, onde OA = (1,0,2), OB = (1,1,3) e OC = (2,1,0). Calcule o volume V deste paralelepípedo

13 Exemplo 2 Considere o paralelepípedo de arestas OA, OB e OC, onde OA = (1,0,2), OB = (1,1,3) e OC = (2,1,0). Calcule o volume V deste paralelepípedo V =| [OA,OB,OC] | = | (OA x OB). OC| =| (-2,-1,1). (2,1,0) | = 5 u.v.

14 Exemplo 2 Calcule a altura deste paralelepípedo

15 Exemplo 2 Calcule a altura deste paralelepípedo

16 Observação Considere uma base {v 1, v 2, v 3 } do espaço. Pela definição do produto vetorial a base {v 1, v 2, v 1 x v 2 } é positiva. Assim, se v 3 estiver no mesmo semi-espaço que v 1 x v 2, em relação a um plano que contiver representantes de v 1 e v 2, a base {v 1, v 2, v 3 } será também positiva, já que o observador não muda de posição. Caso contrário esta base será negativa

17 Observação Pode-se verificar se v 3 está no mesmo semi-espaço que v 1 x v 2 em relação a um plano que contiver representantes de v 1 e v 2, através do ângulo entre estes vetores. Caso este ângulo seja agudo, então v 3 está no mesmo semi-espaço que v 1 x v 2, caso contrário, não

18 Observação Por outro lado, para determinar se o ângulo entre dois vetores é agudo ou obtuso, basta calcular o produto escalar entre eles (v 1 x v 2 ). v 3 > 0, temos que o ângulo entre os vetores é agudo, logo a base {v 1, v 2, v 3 } é positiva, caso contrário, negativa

19 Observação Podemos então concluir que uma base {v 1, v 2, v 3 } é positiva se o produto misto [v 1, v 2, v 3 ] > 0 e será negativa se [v 1, v 2, v 3 ] < 0

20 Propriedade 1 [u, v, w] = 0 u, v e w são coplanares Se [u, v, w] = 0, então o volume do paralelepípedo cujas arestas são representantes de u, v e w é zero Assim, esse paralelepípedo é degenerado, e portanto, u, v e w são coplanares

21 Propriedade 2 [u, v, w]= [v, w, u]= [w, u, v] Temos que | [u, v, w] | = | [v, w, u] | = | [w, u, v, ] |, como volume de um mesmo paralelepípedo. Se u, v e w são L D, então | [u, v, w] | =| [v, w, u] | =| [w, u, v ] |= 0

22 Propriedade 2 Se u, v e w são LI, então as bases {u, v, w}, {v, w, u} e {w, u, v} pertencem a mesma classe. Logo [u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v ]

23 Propriedade 3 [u, v, w]=- [v, u, w] [u, v, w] = (u x v). w= -(v x u). w= -[(v x u). w] = - [v, u, w]

24 Propriedade 4 (u x v). w= u.(v x w) (u x v). w= (v x w). u = u.(v x w)

25 Propriedade 5 [u 1 + u 2, v,w] = [u 1,v,w] + [u 2,v,w] Deve-se demonstrar a distributividade do produto vetorial em relação à adição de vetores u x (v + w) = (u x v) + (u x w)

26 Propriedade 5 u x (v + w) - (u x v) - (u x w) = 0 Considere a= u x (v + w) - (u x v) - (u x w) a. a = a.(u x (v + w) - (u x v) - (u x w)) = a.(u x (v + w)) - a. (u x v) - a. (u x w) = (a x u). (v + w) – (a x u). v – (a x u). w = (a x u). (v + w) - (a x u). (v + w) = 0 Logo a = 0

27 [u 1 + u 2, v,w] = ((u 1 + u 2 ) x v).w = ((u 1 x v) + (u 2 x v) ).w = ((u 1 x v).w) + ((u 2 x v).w) = [u 1,v,w] + [u 2,v,w] Propriedade 5

28 Propriedade 6 6) t [u, v,w]= [t u, v,w]= [u, t v,w] =[u, v, t w] [tu, v,w] = (tu x v). w =(u x tv).w= [u, tv,w]

29 Expressão Cartesiana Dada uma base ortornomal positiva {i, j, k} e dados os vetores u = (x 1, y 1, z 1 ), v = (x 2, y 2, z 2 ) e w = (x 3, y 3, z 3 ) [u, v, w] = (u x v). w = (y 1 z 2 - z 1 y 2, z 1 x 2 - x 1 z 2, x 1 y 2 - y 2 x 1 ). (x 3, y 3, z 3 ) = (y 1 z 2 -z 1 y 2 )x 3 +(z 1 x 2 - x 1 z 2 )y 3 +(x 1 y 2 - y 2 x 1 )z 3

30 Expressão cartesiana

31 Exemplo 3 Do tetraedro de arestas OA, OB, e OC, sabemos que OA = (x,3,4), OB = (0,4,2) e OC = (1,3,2) Calcule o valor de x, para que o volume desse tetraedro seja igual a 2 u.v.

32 Exemplo 3 Sabemos que o volume V T do tetraedro é dado por: 1/6| [AB,AD,AE] | Como V T = 2 u.v., temos:1/6 | 2x - 10 | =2 Logo, x = 11 ou x = -1


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