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©Prof. Lineu MialaretAula 5 - 1/29Cálculo Numérico Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 5: Matrizes (2) Instituto Federal de Educação, Ciência.

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1 ©Prof. Lineu MialaretAula 5 - 1/29Cálculo Numérico Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 5: Matrizes (2) Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática 1 0 Semestre de 2013

2 ©Prof. Lineu MialaretAula 5 - 2/29Cálculo Numérico Determinante (1) n Seja uma matriz quadrada A, então pode-se estabelecer seu determinante, que é um escalar denotado por |A| e é definido como se segue, H Onde o elemento é o j-ésimo elemento da i-ésima linha e |Aij| é a matriz obtida eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz A. (i = 1). H Obs.: Pode-se eliminar qualquer linha.

3 ©Prof. Lineu MialaretAula 5 - 3/29Cálculo Numérico Determinante (2) n Exemplo 1: Seja a matriz A ao lado. H Eliminando-se a primeira linha.

4 ©Prof. Lineu MialaretAula 5 - 4/29Cálculo Numérico Determinante (3) n Há alguns casos especiais de cálculo de determinantes. n Matriz A de ordem 2. n Exemplo 2: Cálculo do |A|.

5 ©Prof. Lineu MialaretAula 5 - 5/29Cálculo Numérico Determinante (4) n Matriz A de ordem 3: n Exemplo 3: Cálculo do |A|.

6 ©Prof. Lineu MialaretAula 5 - 6/29Cálculo Numérico Determinante (5) n Sintetizando, H Determinante de uma Matriz A de ordem 2. H Determinante de uma Matriz A de ordem 3.

7 ©Prof. Lineu MialaretAula 5 - 7/29Cálculo Numérico n Há três operações elementares realizadas nas linhas de uma matriz. H Permuta da i-ésima linha pela j-ésima linha (L i L j ) H Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k (L i k.L i ) Operações Elementares em Linhas (1)

8 ©Prof. Lineu MialaretAula 5 - 8/29Cálculo Numérico H Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha (L i L i + k.L j ) n Matrizes Equivalentes: H Dadas duas matrizes A e B, de ordem m x n, diz-se que B é linha equivalente a A, se B é obtida de A por meio de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A, e denota-se isso por A B ou A B. Operações Elementares em Linhas (2)

9 ©Prof. Lineu MialaretAula 5 - 9/29Cálculo Numérico n Seja A uma matriz m x n. Diz-se que a matriz A está em Forma de Escada (ou em Escada de Linhas) se, para cada linha da matriz se verifica: H Caso 1 – Se a linha i é nula 4 Então para todo r > i, a linha r é nula; e H Caso 2 – Se a linha i não é nula 4 Então se a is é o primeiro elemento não nulo da linha i (chamado de pivot) então para todo l > i e para todo c s, a lc = 0. n A matriz A está na Forma Condensada (ou em Escada de Linhas Reduzida) se está em forma de escada e para cada linha i H O pivot é a identidade; e H Se a is é o pivot, então para todo l < i, a ls = 0. Operações Elementares em Linhas (3)

10 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico n Exemplo 4: A matriz apresentada a seguir está em forma de escada. n Exemplo 5: A matriz apresentada a seguir está em forma condensada. Operações Elementares em Linhas (4)

11 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico n Propriedade de uma matriz qualquer: H Toda matriz pode ser transformada, por meio de operações elementares, numa matriz em forma de escada ou em uma matriz condensada. n Exemplo 6: Transformação para a forma condensada. Operações Elementares em Linhas (5)

12 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico n Se |A| = 0, denomina-se a matriz A de Matriz Singular. Caso contrário, ela é chamada de Matriz Não Singular. n Seja A uma matriz quadrada de ordem n não singular, como apresentada a seguir. n Há uma matriz A -1, chamada de Matriz Inversa de A, de tal forma que AA -1 = A -1 A = I n, onde I n é a Matriz Identidade de ordem n. Matriz Inversa (1)

13 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico n Exemplo 7: Seja as matrizes A e A -1, dadas a seguir. H Então tem-se que Matriz Inversa (2)

14 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico n Caso Especial: Inversa de uma matriz A de ordem 2. n Exemplo 8: Seja a matriz A dada a seguir. Encontrar A -1. Matriz Inversa (3)

15 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico n Exemplo 9: Achar a inversa de matriz A de ordem 3, apresentada a seguir. H Pode-se achar a inversa dessa matriz fazendo-se uso da seguinte informação: 4 Uma matriz A de ordem n é inversível se e somente se A é linha equivalente a I (matriz identidade) e, nesse caso, toda sequência de operações elementares que transforma A em I também transforma I em A Caso se posicione as matrizes A e I lado a lado, formando a matriz [A I] então as operações elementares nessa matriz produzem operações idênticas em A e I. Ou existem operações elementares que transformam A em I e I em A -1 ou, a matriz A não é inversível. Matriz Inversa (4)

16 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico H O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito, como se segue, H O objetivo agora é somar ou subtrair linhas multiplicadas por escalares de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo. 4 1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por 1. 4 Com essa operação, consegue-se 1 no elemento a 11 (primeira linha, primeira coluna) da matriz esquerda, como se segue. E os elementos a 12 e a 13 tornaram-se nulos. Matriz Inversa (5)

17 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico H Fazer as próximas operações: 4 2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por 2. 4 Com as operações acima, os elementos a 12 e a 13 tornaram- se nulos, formando a primeira coluna da matriz unitária. 4 3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por 3. 4 Essa operação forma a segunda coluna da matriz identidade. Matriz Inversa (6)

18 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico H Fazer as próximas operações: 4 3ª linha = 3ª linha multiplicada por 1. 4 Multiplicação executada para fazer 1 no elemento a 12 da matriz esquerda. 4 2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por 1. 4 Essa operação forma a terceira e última coluna da desejada matriz identidade no lado esquerdo. Matriz Inversa (7)

19 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico H Finalmente, 4 a matriz inversa é a parte da direita da matriz [I A -1 ] Matriz Inversa (8)

20 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico n Há algumas propriedades especiais para matrizes inversas (a s matrizes A, B e C são tais que as suas inversas existam e os produtos sejam definidos). H (A 1 ) T = (A T ) 1 H (AB) 1 = A 1 + B 1 H Se a inversa de uma matriz A existe, então |A| = 0. Matriz Inversa (9)

21 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico n Uma matriz quadrada A é denominada ser uma Matriz Ortogonal se suas linhas, consideradas como vetores, são mutuamente perpendiculares e de comprimento 1, o que equivale a dizer que AA T = I. n Exemplo 10: Seja a matriz A apresentada a seguir. Ela é uma matriz ortogonal. n Obs.: H Uma matriz A é ortogonal, se e somente se, A T = A 1. Matriz Ortogonal (1)

22 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico n Exercício 1: Seja a matriz A apresentada a seguir. Mostrar que ela é uma matriz ortogonal. Lembrar que uma matriz ortogonal, AA T = I. Matriz Ortogonal (2)

23 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico n O rank (posto) de uma matriz A de ordem m x n é fornecido pelo número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes (LI) da matriz A. n Exemplo 11: Seja a matriz A apresentada a seguir. H Neste exemplo, todas as colunas ou linhas da matriz A são linearmente independentes (LI). Rank de Matriz (1)

24 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico n Exemplo 12: Seja a matriz B apresentada a seguir. H Neste exemplo, a primeira coluna da matriz B é uma combinação linear das demais, ou seja, essa coluna não é linearmente independentes (LI). Rank de Matriz (2)

25 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico n Uma outra forma de se determinar o rank de uma matriz A é contabilizar o número de linhas nulas que se obtém a partir de uma nova matriz B em forma de escada que possa ser obtida a partir de A por meio de operações elementares. n Exemplo 13: A matriz apresentada a seguir tem rank = 2, pois está em forma de escada e tem duas linhas não nulas. Rank de Matriz (3)

26 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico n Exemplo 14: Determinar o rank da matriz A apresentada a seguir. H Para contabilizar o rank, da matriz A, deve-se transforma- la, por meio de operações elementares, numa matriz em forma de escada. Faz-se então as seguintes operações: 4 L 2 L 2 + L 1 (1/2)(L 2 + L 1 ) 4 L 3 L 3 + (-1)L 1 Rank de Matriz (4)

27 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico H Na matriz B faz-se então as seguintes operações: 4 L 1 L 1 + (-2)L 2, L 3 (1/8)L 3 4 L 1 L 1 + 3L 3, L 2 L 2 + (-2)L 3 4 Obtém-se então 3 linhas não nulas. H Logo, o rank da matriz A é 3. Rank de Matriz (5)

28 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico n Seja uma matriz quadrada A de ordem k, então pode-se definir o traço de A, denotado por tr(A), como sendo dado pela soma dos elementos de sua diagonal principal. n Exemplo 15: Sejam as matrizes A e B dadas a seguir. Traço de Matriz (1) )

29 ©Prof. Lineu MialaretAula /29Cálculo Numérico n Há algumas propriedades envolvendo o traço de uma matriz. Propriedades: Seja um escalar, A e B matrizes, então tr(A) = tr(A); H tr(A ± B) = tr(A) ± tr(B); H tr(AB) = tr(BA); H tr(B 1 AB) = tr(A); e H tr(AA) =. Traço de Matriz (2)


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