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Veja a tabela abaixo com as notas de um aluno qualquer, em cinco disciplinas durante o ano de 2010. Matrizes – Conceitos Básicos.

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3 Veja a tabela abaixo com as notas de um aluno qualquer, em cinco disciplinas durante o ano de Matrizes – Conceitos Básicos

4 Nada mal, embora ele precise melhorar em português e matemática. Porém, nosso negócio aqui é matemática, então repare que cada número tem o seu lugar nesta tabela; Se destacarmos apenas a parte numérica, a tabela ficará assim: A tabela acima é uma MATRIZ. 6,03,55,07,05,5 4,04,55,08,05,0 4,55,55,0 3,06,56,05,57,5 Matrizes – Conceitos Básicos

5 Colocando em notação matemática teremos: Esta matriz é do tipo 4x5, pois tem 4 linhas e 5 colunas. Matrizes – Conceitos Básicos

6 As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como a ij. Matrizes – Conceitos Básicos

7 a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 1n x n = b1b1 a 11 x 1 + Matrizes – Conceitos Básicos a11a11 a12a12 a13a13 a21a21 a22a22 a23a23 a1na1n... a2na2n a31a31 a32a32 a33a33 a3na3n am1am1 am2am2 am3am3 amnamn A mxn = [a ij ] mxn Matriz de ordem m por n de elementos a ij Sendo dado o sistema... + a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b2b2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = b3b3... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = bmbm Vamos considerar uma tabela com os coeficientes das incógnitas A =

8 Matrizes – Conceitos Básicos Elementos de uma matriz: 3x5 a 13 = a 34 = 2 7

9 A mxn = [a ij ] mxn As matrizes podem ser classificadas segundo: A natureza dos elementos A forma Matrizes – Conceitos Básicos

10 Segundo a forma em: 1. Retangular 2. Quadrada 4. Coluna 3. Linha Se o número de linhas é diferente do número de colunas Se o número de linhas é igual do número de colunas Se o número de colunas é igual a um Se o número de linhas é igual a um Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m Matrizes – Conceitos Básicos

11 Segundo a natureza dos elementos em: 5. Real: 6. Complexa: 7. Nula: se todos os seus elementos são reais se pelo menos um dos seus elementos é complexo se todos os seus elementos são nulos Matrizes – Conceitos Básicos

12 Segundo a natureza dos elementos em: 8. Triangular Superior 9. Triangular Inferior uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são nulos Matrizes – Conceitos Básicos

13 Segundo a natureza dos elementos em: 10. Diagonal 11. Escalar uma matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos uma matriz diagonal em que os elementos principais são iguais Matrizes – Conceitos Básicos

14 Segundo a natureza dos elementos em: 12. Identidade: Matriz com n linhas e n colunas, diagonal principal com todos os elementos iguais a 1, e os demais elementos iguais a zero. Matrizes – Conceitos Básicos 13. Simétrica se os elementos a ij são iguais aos a ji

15 Segundo a natureza dos elementos em: 14. Densa 15. Dispersa se a maioria dos seus elementos são não nulos se a maioria dos seus elementos são nulos Matrizes – Conceitos Básicos

16 Soma de Matrizes Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição. Matrizes – Operações com Matrizes

17 goza das seguintes propriedades: Comutativa Associativa Tem elemento neutro Todos os elementos têm inversa A soma de matrizes do mesmo tipo Matrizes – Operações com Matrizes

18 goza das seguintes propriedades: Comutativa Associativa Tem elemento neutro Todos os elementos têm inversa A soma de matrizesdo mesmo tipo Assim o conjunto M mxn mxn forma um um Grupo Aditivo Comutativo Matrizes – Operações com Matrizes

19 Produto por um escalar (número real) Sejam A uma matriz e um escalar O produto de por A é uma matriz C que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por do mesmo tipo de A Matrizes – Operações com Matrizes

20 e os escalares e as seguintes propriedades são válidas: Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo Matrizes – Operações com Matrizes

21 a11a11 a12a12 a13a13 a21a21 a22a22 a23a23 a1na1n... a2na2n a31a31 a32a32 a33a33 a3na3n am1am1 am2am2 am3am3 amnamn Matriz de ordem m por n de elementos a ij Consideremos o sistema a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 1n x n = b 1 a 11 x a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = b 3... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = b m = b1b1 b2b2 b3b3... bmbm x1x1 x2x2 x3x3 xnxn Matrizes – Operações com Matrizes

22 Multiplicação de Matrizes CASO 1 Multiplicar uma matriz linha por uma matriz coluna Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. C = A.B A = B = A.B = [ (-1).(-1) + 2.5] = [11] Matrizes – Operações com Matrizes

23 Multiplicação de Matrizes CASO 2 Matrizes – Operações com Matrizes Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz coluna Faz-se o produto de cada linha da primeira matriz pela coluna. Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas da matriz for igual ao número de elementos da matriz coluna. C = A.B

24 = x 3 3 x 3 iguais 2x 3 Matrizes – Operações com Matrizes Multiplicação de Matrizes - CASO 3 O elemento c ij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B

25 = x3 3x3 8 2x 3 Matrizes – Operações com Matrizes O elemento c ij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B Multiplicação de Matrizes - CASO 3

26 = x3 3x3 8 2x 3 12 Matrizes – Operações com Matrizes O elemento c ij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B Multiplicação de Matrizes - CASO 3

27 = x3 3x3 8 2x Matrizes – Operações com Matrizes O elemento c ij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B Multiplicação de Matrizes - CASO 3

28 = x3 3x3 8 2x Matrizes – Operações com Matrizes O elemento c ij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B Multiplicação de Matrizes - CASO 3

29 = x3 3x3 8 2x Matrizes – Operações com Matrizes O elemento c ij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B Multiplicação de Matrizes - CASO 3

30 = x3 3x3 8 2x Matrizes – Operações com Matrizes O elemento c ij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B Multiplicação de Matrizes - CASO 3

31 = x3 3x3 8 2x Matrizes – Operações com Matrizes O elemento c ij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B Multiplicação de Matrizes - CASO 3

32 Produto de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo O produto de A por B é uma matriz C do tipo cujos elementos são dados por: mxp e escreve-se C = AB. nxp. O produto de matrizes não é comutativo Matrizes – Operações com Matrizes

33 Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos, as seguintes propriedades são válidas: Dadas as matrizes A, B e C, e a um escalar. Matrizes – Operações com Matrizes

34 Iguais Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo O produto de A por B é uma matriz C do tipomxp nxp. Produto de Matrizes Lembre-se: linhas da 1ª x colunas da 2ª

35 Transposição de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn. Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que: e escreve-se B = A T Matrizes – Operações com Matrizes

36 Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas, as seguintes propriedades são válidas: Dadas as matrizes A e B e a um escalar. Matrizes – Operações com Matrizes

37 A matriz B diz-se OPOSTA da matriz A se os elementos de B forem os opostos dos elementos correspondentes de A. Conclusão: B = - A Matrizes – Matriz Oposta

38 Se A é uma matriz quadrada e existe B tal que: AB = BA = I então diz-se que A é invertível e escreve-se: B = A -1 Matrizes – Matriz Inversa

39 Como encontrar a matriz inversa de uma matriz A dada? Vamos lembrar que sendo: B = A -1, então teremos: A. B = I ou ainda, A. A -1 = I Matrizes – Matriz Inversa

40 Resolvendo os sistemas obtidos: Assim a matriz inversa será: Matrizes – Matriz Inversa


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