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INE5381 - Fundamentos Matemáticos da Computação Parte I - Elementos básicos: 1. Lógica Matemática 1. Lógica Matemática 2. Conjuntos e subconjuntos 2. Conjuntos.

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1 INE Fundamentos Matemáticos da Computação Parte I - Elementos básicos: 1. Lógica Matemática 1. Lógica Matemática 2. Conjuntos e subconjuntos 2. Conjuntos e subconjuntos - Operações sobre conjuntos - Operações sobre conjuntos 3. Indução e recursão 3. Indução e recursão 4. Números inteiros 4. Números inteiros - Divisão nos inteiros, inteiros módulo n - Divisão nos inteiros, inteiros módulo n 5. Matrizes 5. Matrizes 6. Seqüêncas e somas 6. Seqüêncas e somas

2 Matrizes Matrizes são usadas para representar relações entre elementos de conjuntos.Matrizes são usadas para representar relações entre elementos de conjuntos. Exemplo: redes de comunicaçõesExemplo: redes de comunicações Definição: uma matriz é uma tabela numérica arranjada em um número m de linhas e um número n de colunas.Definição: uma matriz é uma tabela numérica arranjada em um número m de linhas e um número n de colunas.

3 Matrizes A i-ésima linha de A é:A i-ésima linha de A é: A j-ésima coluna de A é:A j-ésima coluna de A é:

4 Matrizes – Notações e terminologia A mxn : matriz A com m linhas e n colunas A nxn : matriz quadrada de tamanho n : diagonal principal de A a ij : elemento da i-ésima linha e da j-ésima coluna da matriz A [a ij ]: denota uma matriz A onde a dimensão está definida

5 Exemplos de matrizes

6 Matrizes Definição: Uma matriz quadrada A=[a ij ] em que todos elementos fora da diagonal são iguais a zero, isto é, a ij =0 para i j, é chamada de matriz diagonal. Exemplos:

7 Matrizes Definição: Duas matrizes mxn A=[a ij ] e B=[b ij ] são ditas iguais se a ij =b ij para 1 i m e 1 j n. Exemplo: A=B se e somente se x=-3, y=0, e z=6.A=B se e somente se x=-3, y=0, e z=6.

8 Aritmética de matrizes Def.: Se A=[a ij ] e B=[b ij ] são duas matrizes mxn, então a soma de A e B é a matriz C=[c ij ], de ordem mxn, definida por: Exemplo: c ij = a ij + b ij (1 i m, 1 j n)

9 Aritmética de matrizes Definição: Uma matriz cujos elementos são todos nulos é chamada de matriz nula e é denotada por 0. Exemplos:

10 Propriedades da soma de matrizes Teorema: a) A + B = B + A b) (A + B) + C = A+ (B + C) c) A + 0 = 0 + A = A

11 Aritmética de matrizes Def.: Se A=[a ij ] é uma matriz mxp e B=[b ij ] é uma matriz pxn, então o produto de A e B (AxB) é a matriz C=[c ij ], de ordem mxn, definida por:

12 Produto de matrizes Exemplo:

13 Propriedades do produto de matrizes As propriedades básicas do produto de matrizes são dadas pelo seguinte teorema:As propriedades básicas do produto de matrizes são dadas pelo seguinte teorema: Teorema:Teorema: a) A(BC) = (AB)C b) A(B + C) = AB + AC c) (A + B)C = AC + BC Note que, dadas duas matrizes A mxp e B pxn, então A.B pode ser calculada (mxn). Quanto a B.A pode ocorrer:Note que, dadas duas matrizes A mxp e B pxn, então A.B pode ser calculada (mxn). Quanto a B.A pode ocorrer: 1. o produto B.A pode não ser definido 2. (m=n) e B.A é definida mas A.B B.A (tamanho) 3. A.B e B.A podem ter o mesmo tamanho mas A.B B.A 4. A.B = B.A

14 Propriedades do produto de matrizes Exemplos:

15 Multiplicação de matrizes Questão: quantas operações são necessárias para calcular o produto C mxn de duas matrizes A mxp e B pxn ? Resp.:- Há mxn elementos no produto de A mxp e B pxn Questão: Em que ordem as matrizes A 1 (30x20), A 2 (20x40) e A 3 (40x10) devem ser multiplicadas (matrizes de inteiros) para usar o menor n o possível de operações? A 1 (A 2 A 3 ) para obter a matriz 20x10 A 2 A para multiplicar por A 1 = 14000A 1 (A 2 A 3 ) para obter a matriz 20x10 A 2 A para multiplicar por A 1 = Para encontrar cada elemento são necessárias p (x) e p (+) - Logo, um total de m.n.p (x) e m.n.p (+) são usadas. (A 1 A 2 ) A = (!)(A 1 A 2 ) A = (!)

16 Matriz identidade Definição: a matriz diagonal n n na qual todos os elementos da diagonal são 1s é chamado de matriz identidade de ordem n e é denotada por I n.Definição: a matriz diagonal n n na qual todos os elementos da diagonal são 1s é chamado de matriz identidade de ordem n e é denotada por I n. Nota: se A é uma matriz m n, vale:Nota: se A é uma matriz m n, vale: I m.A = A.I n = A

17 Potências de matrizes Pode-se definir potências de matrizes quadradas.Pode-se definir potências de matrizes quadradas. Se A é uma matriz quadrada nxn, temos:Se A é uma matriz quadrada nxn, temos: A p = A.A...A p vezes onde: A 0 = I n Também se pode provar as leis de exponenciação:Também se pode provar as leis de exponenciação: A p A q = A p+q (A p ) q = A p.q

18 Matrizes transpostas Definição: Se A é uma matriz mxn, então a matriz nxm: onde: é chamada de transposta da matriz A. Exemplos:

19 Propriedades de matrizes transpostas Teorema: Se A e B são matrizes, então: Exemplo: a) (A t ) t = A b) (A+B) t = A t + B t c) (A.B) t = B t.A t Definição: Uma matriz A=[a ij ] é chamada simétrica se A t =A se A é simétrica, A deve ser uma matriz quadrada.se A é simétrica, A deve ser uma matriz quadrada.

20 Matrizes booleanas Matrizes constituídas apenas de zeros e 1s são frequentemente utilizadas para representar estruturas discretas (como as relações - parte II).Matrizes constituídas apenas de zeros e 1s são frequentemente utilizadas para representar estruturas discretas (como as relações - parte II). Definição: Uma matriz booleana é uma matriz mxn em que os elementos são zeros ou uns. Exemplo:

21 Operações com matrizes booleanas Def.: sejam A=[a ij ] e B=[b ij ] duas matrizes booleanas, 1) A B=C=[c ij ] é a junção de A e B, dada por: 2) A B=D=[d ij ] é o encontro de A e B, dado por: Note que A e B devem ter o mesmo tamanho

22 Operações com matrizes booleanas Exemplo: Calcule a junção e o encontro de: Solução:

23 Operações com matrizes booleanas Def.: Sejam as matrizes booleanas A=[a ij ] (mxp) e B=[b ij ] (pxn). O produto booleano de A e B é a matriz C mxn cujos elementos são dados por: c ij = (a i1 b 1j ) (a i2 b 2j )... (a ip b pj ) Denota-se este produto por A BDenota-se este produto por A B Note que esta operação é idêntica à multiplicação matricial ordinária em que:Note que esta operação é idêntica à multiplicação matricial ordinária em que: - a adição é substituída por - a adição é substituída por - a multiplicação é substituída por - a multiplicação é substituída por

24 Produto booleano Exemplo: Encontre o produto booleano de A e B, onde: Note que #-colunas de A deve ser = #-linhas de B

25 Operações com matrizes booleanas Teorema: Se A, B e C são matrizes booleanas, então: 1)a) A B = B A b) A B = B A 2)a) (A B) C = A (B C) b) (A B) C = A (B C) 3)a) A (B C) = (A B) (A C) b) A (B C) = (A B) (A C) 4)A (B C) = (A B) C


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