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PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Matemática Dorta. O determinante de uma matriz quadrada é nulo se: Observação: válido para as três primeiras propriedades.

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1 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Matemática Dorta

2 O determinante de uma matriz quadrada é nulo se: Observação: válido para as três primeiras propriedades que serão citadas nesta aula.

3 P 1 ) A matriz apresenta uma fila de zeros (fila nula).

4 P 2 ) A matriz possui filas paralelas proporcionais:

5 P 3 ) Uma fila é a combinação linear de outras filas paralelas:

6 P 4 ) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.

7 P 5 ) Teorema de Binet det (A.B) = det A. detB

8 P 6 ) Troca de filas paralelas Dada uma matriz A nxn, se trocarmos as posições de duas filas de A, teremos uma nova matriz B nxn, cujo determinante é igual ao determinante de A mudando-se apenas o sinal (+ ou -).

9 Exemplo da P 6

10 P 7 ) k. (fila) Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um número real k não- nulo, o seu determinante ficará multiplicado por k.

11 Exemplo da P 7

12 P 8 ) Conseqüência da propriedade anterior Se multiplicarmos uma matriz A mxn por um número real k não-nulo, obtemos uma matriz B mxn = k. A mxn tal que det B = k n.det A.

13 Exemplo da P 8

14 P 9 ) Válida para matrizes triangulares Se os elementos situados abaixo ou acima da diagonal principal de uma matriz quadrada são todos iguais a zero, o determinante da matriz é o produto dos elementos da diagonal principal.

15 Exemplos da P 9

16 P 10 ) Válida para matrizes similares as triangulares Se os elementos situados abaixo ou acima da diagonal secundária de uma matriz quadrada são todos iguais a zero, o determinante da matriz é o produto dos elementos da diagonal principal multiplicados por (-1) [n.(n-1)]/2 ; em que n é a ordem da matriz.

17 Exemplos da P 10

18 P 11 ) Soma de determinantes São dadas três matrizes, A, B e C, de ordem n, com n-1 filas correspondentes iguais. Se os elementos da outra fila de C forem iguais à soma dos elementos correspondentes das outras filas de A e B, então det C = det A + det B.

19 Exemplo da P 11

20 P 12 ) Teorema de Jacobi Multiplicando-se uma fila de uma matriz A por um número real não- nulo e adicionando-se o resultado à outra fila, o seu determinante fica inalterado.

21 Exemplo da P 12

22 P 13 ) Determinante de Vandermonde Um determinante de ordem n maior ou igual a 2 é chamado determinante de Vandermonde se na primeira linha os elementos forem todos iguais a 1; na segunda, números reais quaisquer; na terceira, seus quadrados; na quarta seus cubos, e assim sucessivamente.

23 Cálculo do determinante de Vandermonde Os elementos da segunda linha no determinante de Vandermonde são chamados de elementos característicos. Um determinante de Vandermonde é calculado por meio do produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo de cada um dos elementos característicos os elementos que os precedem.

24 Exemplo da P 13


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