Matrizes especiais Matriz linha Matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[ ], do tipo 1 x 4. Matriz coluna.

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3 Matrizes especiais Matriz linha Matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[ ], do tipo 1 x 4. Matriz coluna matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, do tipo 3 x 1.

4 Matrizes especiais Matriz Nula
Todos os Elementos são nulos

5 Matrizes especiais Matriz Quadrada
Igual número de Linhas e Colunas

6 Diagonal Principal e Diagonal Secundária
Matrizes especiais Matriz Quadrada Diagonal Principal e Diagonal Secundária Diagonal Secundária i+j =n+1 1+4 = 4+1 2+3 = 4+1 3+2 = 4+1 4+1 = 4+1 Diagonal Principal i=j 1=1 2=2 3=3 4=4

7 Matrizes especiais Matriz Identidade Matriz em que a diagonal principal é composta apenas pelo número 1 e todos os outros elementos são compostos pelo número 0

8 Matrizes especiais Matriz transposta A transposta de uma matriz é a matriz obtida pela troca das linhas pelas colunas da matriz original, de modo que a coluna j da matriz original passe a ser a linha j da matriz transposta e a linha i da matriz original passe a ser a coluna i da matriz transposta. A= m x n AT= n x m

9 Exemplos: Matriz Transposta

10 Matrizes especiais Matriz simétrica Uma matriz é dita simétrica se ela for igual à sua transposta. A = AT = Uma matriz A, simétrica, é necessariamente quadrada e aij = aji.

11 Exemplos: Matriz simétrica

12 Matriz anti-simétrica
Matrizes especiais Matriz anti-simétrica Uma matriz é dita anti-simétrica se ela for simétrica à sua transposta. A = - AT A = AT = - AT = Os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são necessariamente nulos.

13 Matriz anti-simétrica
Exemplos:

14 Operações envolvendo Matrizes

15 Igualdade de matrizes

16 Soma de matrizes Duas matrizes podem ser adicionadas se e somente se elas forem da mesma ordem. Soma de matrizes = somar seus elementos individualmente. O resultado da soma será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais. Simbolicamente, temos que, se C = A + B, então cij = aij + bij, para todo i e j.

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18 Subtração de matrizes Duas matrizes podem ser subtraídas se e somente se elas forem da mesma ordem. Subtração de matrizes = subtrair seus elementos individualmente. O resultado da subtração será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais. Simbolicamente, temos que, se C = A - B, então cij = aij - bij, para todo i e j.

19 Subtração de matrizes Uma matriz pode ser multiplicada por um escalar, multiplicando-se cada elemento da matriz por este escalar.

20 Multiplicação de uma matriz por uma constante
Basta multiplicar todos os elementos da matriz pela constante

21 Então E - F = E + (-F). Por exemplo.
Subtração de matrizes Subtração entre duas matrizes é equivalente a somar a primeira com o produto da segunda pelo escalar -1. Então E - F = E + (-F). Por exemplo. F multiplicada por -1

22 Subtração de matrizes Exemplo:

23 Produto de duas matrizes
O produto de duas matrizes somente pode ser efetuado se o número de linhas da matriz à esquerda for igual ao número de colunas da matriz à direita. O produto de matrizes é, em geral, não comutativo, ou seja, dadas duas matrizes A e B e seu produto, AB, o produto BA pode não existir e, se existir, pode não ser igual a AB. O produto de duas matrizes tem o número de linhas da matriz à esquerda e o número de colunas da matriz à direita. Ou seja, sendo C = AB, se A é m x n e B é n x p, C é m x p.

24 Produto de duas matrizes

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26 Produto de duas matrizes
Exemplo:

27 Produto de duas matrizes
Exemplo:

28 Produto de duas matrizes
Exemplo:

29 Produto de duas matrizes
Exemplo:

30 Produto de duas matrizes
Exemplo:

31 Produto de duas matrizes
Exemplo:

32 Produto de duas matrizes
Exemplo:

33 Produto de duas matrizes
Exemplo:

34 1) Determine X e Y de modo que se tenha:
2) Determine X,Y,Z e t de modo que se tenha: 3) Calcule: 3.1 C = A+B 3.2 D = A-B 4) Dadas: Calcule: 4.1) D = A+B 4.2) E = A+C 4.3) F = A+C 4.4) G = A+B+C 4.5) H = A+B-C 4.6) I = A-B-C 4.7) J = (A+B) +(C-B) 4.8) k = (A+C) +(B-C)

35 5) Dadas: Determine a matriz X tal que X+A = B-C 6) Determine a matriz X tal que: 7) Calcule: 7.1 C = 4A 7.2 D = (1/3) B 7.3 E = ½ C + 2D 8)Calcule a, b,c para que:

36 9) Calcule: (Exercício Resolvido)

37 10) Calcule: 11) Calcule:

38 12) Calcule: 13) Calcule: 14.1 AB 14.2 (AB)C

39 14) Resolva a Equação Matricial (Exercício Resolvido):
Solução:

40 15) Calcule: a, b, c d 16) Calcule: x e y 17) Calcule: X

41 19) Calcule x,y e z para que a Matriz A seja simétrica
18) Calcule A .B 19) Calcule x,y e z para que a Matriz A seja simétrica 20) Calcule x,y e z para que a Matriz A seja anti-simétrica