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Matrizes especiais Matriz linha Matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4. Matriz coluna.

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3 Matrizes especiais Matriz linha Matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[ ], do tipo 1 x 4. Matriz coluna matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, do tipo 3 x 1.

4 Todos os Elementos são nulos Matrizes especiais Matriz Nula

5 Igual número de Linhas e Colunas Matriz Quadrada Matrizes especiais

6 Diagonal Secundária i+j =n = = = = 4+1 Diagonal Principal i=j 1=1 2=2 3=3 4=4 Diagonal Principal e Diagonal Secundária Matriz Quadrada Matrizes especiais

7 Matriz em que a diagonal principal é composta apenas pelo número 1 e todos os outros elementos são compostos pelo número 0 Matriz Identidade Matrizes especiais

8 A transposta de uma matriz é a matriz obtida pela troca das linhas pelas colunas da matriz original, de modo que a coluna j da matriz original passe a ser a linha j da matriz transposta e a linha i da matriz original passe a ser a coluna i da matriz transposta. Matriz transposta A= m x n AT= n x m

9 Exemplos: Matriz Transposta

10 Matrizes especiais Uma matriz é dita simétrica se ela for igual à sua transposta. Matriz simétrica Uma matriz A, simétrica, é necessariamente quadrada e aij = aji. A = A T =

11 Matriz simétrica Exemplos:

12 Matrizes especiais Uma matriz é dita anti-simétrica se ela for simétrica à sua transposta. A = - A T Matriz anti-simétrica Os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são necessariamente nulos. A =A T = - A T =

13 Matriz anti-simétrica Exemplos:

14 Operações envolvendo Matrizes

15 Igualdade de matrizes

16 Soma de matrizes O resultado da soma será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais. Duas matrizes podem ser adicionadas se e somente se elas forem da mesma ordem. Soma de matrizes = somar seus elementos individualmente. Simbolicamente, temos que, se C = A + B, então cij = aij + bij, para todo i e j.

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18 Subtração de matrizes O resultado da subtração será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais. Duas matrizes podem ser subtraídas se e somente se elas forem da mesma ordem. Subtração de matrizes = subtrair seus elementos individualmente. Simbolicamente, temos que, se C = A - B, então cij = aij - bij, para todo i e j.

19 Subtração de matrizes Uma matriz pode ser multiplicada por um escalar, multiplicando-se cada elemento da matriz por este escalar.

20 Basta multiplicar todos os elementos da matriz pela constante Multiplicação de uma matriz por uma constante

21 Subtração de matrizes Subtração entre duas matrizes é equivalente a somar a primeira com o produto da segunda pelo escalar -1. Então E - F = E + (-F). Por exemplo. F multiplicada por -1

22 Subtração de matrizes Exemplo:

23 Produto de duas matrizes O produto de duas matrizes tem o número de linhas da matriz à esquerda e o número de colunas da matriz à direita. Ou seja, sendo C = AB, se A é m x n e B é n x p, C é m x p. O produto de duas matrizes somente pode ser efetuado se o número de linhas da matriz à esquerda for igual ao número de colunas da matriz à direita. O produto de matrizes é, em geral, não comutativo, ou seja, dadas duas matrizes A e B e seu produto, AB, o produto BA pode não existir e, se existir, pode não ser igual a AB.

24 Produto de duas matrizes

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26 Exemplo:

27 Produto de duas matrizes Exemplo:

28 Produto de duas matrizes Exemplo:

29 Produto de duas matrizes Exemplo:

30 Produto de duas matrizes Exemplo:

31 Produto de duas matrizes Exemplo:

32 Produto de duas matrizes Exemplo:

33 Produto de duas matrizes Exemplo:

34 1) Determine X e Y de modo que se tenha: 2) Determine X,Y,Z e t de modo que se tenha: 3) Calcule: 3.1 C = A+B 3.2 D = A-B 4) Dadas: Calcule:4.1) D = A+B4.2) E = A+C4.3) F = A+C 4.4) G = A+B+C 4.5) H = A+B-C4.6) I = A-B-C 4.7) J = (A+B) +(C-B)4.8) k = (A+C) +(B-C)

35 5) Dadas: Determine a matriz X tal que X+A = B-C 6) Determine a matriz X tal que: 7) Calcule: 7.1 C = 4A 7.2 D = (1/3) B 7.3 E = ½ C + 2D 8)Calcule a, b,c para que:

36 9) Calcule: (Exercício Resolvido)

37 10) Calcule: 11) Calcule:

38 12) Calcule: 13) Calcule: 14.1 AB 14.2 (AB)C

39 14) Resolva a Equação Matricial (Exercício Resolvido): Solução:

40 15) Calcule: a, b, c d 16) Calcule: x e y 17) Calcule: X

41 18) Calcule A.B t 19) Calcule x,y e z para que a Matriz A seja simétrica 20) Calcule x,y e z para que a Matriz A seja anti-simétrica


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